книги из ГПНТБ / Коваленко И.Н. Полумарковские модели в задачах проектирования систем управления летательными аппаратами

Система (2. 14) может быть решена численными мето­

дами, например, методом сеток. При v(0'=v = const ре­ шение получается в замкнутой аналитической форме, если применить преобразование Лапласа и известные теоремы операционного исчисления (о свертке и др.).

Опуская промежуточные выкладки, запишем решение системы (2. 14) в изображениях:

^ o ( s )=={5 + X + il + v [ l - g - ( s - f Х+ г р ] } - і ;

Для системы, способной функционировать (по край­ ней мере на отдельных участках траектории полета) с не­ исправным, но отключенным (во избежание ложной адап­ тации) контуром самонастройки, множество благоприят­ ных состояний

Следовательно, вероятность безотказной работы системы в изображениях

80

Математическое ожидание времени до первого вне­ запного отказа (полной поломки) системы можно опреде­ лить из выражения (2.9), ие прибегая к обратному пре­ образованию Лапласа, а именно:

То—T>Q(s) |г=о— [X-j-T]-|-v(l —g-(X-l-Ti))] 1X

(2. 8)

Если безотказная работа контура адаптации необхо­ дима на всей траектории полета, то множество благо­ приятных состояний образуется из со0(/), coi(l'), u>2(t). В этом случае вероятность безотказной работы адаптив­ ной системы в изображениях

При известном законе распределения времени само­ настройки, применяя обратное преобразование Лапласа, можно получить характеристики безотказности адаптив­ ной системы в оригиналах.

В важном для приложений частном случае экспонен­

81

82

то

гдеу(г') — единичная функция.

Если при этом условия полета предусматривают не­ обходимость деятельности КС на івсей траектории, то ма­ тематическое ожидание времени до первого попадания

мгновенной интенсивности ѵ потока параметрических отказов. При бесконечно большой скорости адаптации (р—ѵоо) эффект влияния параметрических отказов сво­ дится к минимуму, кривая функции Г„=/(р) асимптоти-

83

При синтезе самонастраивающихся систем на стрем­ ление повышать быстродействие КС накладываются ограничения, связанные с необходимостью обеспечения его устойчивости. Приведенные выше формулы и графики

(см. рис. 2.5) дают дополнительный материал для суж­ дения о необходимом

конечном быстродей­ ствии контура самона­ стройки . в целях обес­ печения достаточно вы­ соких субоптимальных значений Тп при _фик-

сированных К, т], ѵ. Реальные самона-

Рнс. 2.5. Графики зависи­ мости математического ожи­ дания времени до первого параметрического отказа от скорости процесса адаптации

страивающиеся системы .обладают ограниченной приспо­ собляемостью: они не способны компенсировать любые рассогласования или косвенно влиять на вынужденную составляющую переходного процесса от возмущений дюбой величины. Поэтому значение вероятностей состоя­ ний целесообразно использовать в качестве части исход­ ных данных для оценки эффективности системы:

где <?,(/') — эффективность адаптивной системы в t-м со­ стоянии в момент t (это может быть, например, условная вероятность выполнения требований технического зада­ ния к точности стабилизации).

Таким образом удается отобразить процесс реального функционирования системы с учетом (внешних возмуще­ ний и изменения работоспособности элементов с течением времени і[29—34].

Учет частичной приспособляемости адаптивной систе­ мы стабилизации к внезапным отказам элементов ОК (к ^.-вариациям вектора внутренних параметров) приводит

84

к изменению некоторых коэффициентов системы интегродифференциальных уравнений.

Обозначим суммарную интенсивность внезапных отказов, компенсируемых за счет деятельности КС, бук­

Алгебраическое суммирование интенсивностей отка­ зов вытекает из того, что пуассоновский поток является самопроизводящим по отношению к операции суперпо­ зиции.

Изложенный здесь подход к построению и исследова­ нию математической модели надежности многоконтур­ ных адаптивных систем может быть использован для аналитического изучения надежности СНС с иной струк­ турной организацией (например, СНС с двухкратной инвариантностью (39] и ультраустойчивых самоорганизу­ ющихся систем, основанных на методе избыточных пере­ менных [17]).

Отметим еще возможность сведёния немарковского процесса к марковскому путем расширения пространства состояний [21].

Пусть закон распределения случайного времени само­ настройки аппроксимируется суперпозицией законов Эрланга различного порядка

т

85

где С) ■— постоянные положительные величины, в сумме равные единице;

л — плотность вероятности закона Эрланга і-го по­ рядка с масштабным параметром щ.

Для этого случая простои прием построения марков­ ского процесса с конечным числом состоянии заключа­ ется в следующем. В качестве состоянии процесса доста­

разыгрывается случайная ситуация с возможными исхо­ дами 1, 2,..,,т, с соответствующими вероятностями Р ь

Р2,-,Рт-

Если имеет место г'-й исход, то процесс попадает в состояние і, 0. Из состояния /, г( 0 ^ г<Аі—2) возможен переход® состояние і, г+1, а из состояния і, ki—1 — воз­ можен переход лишь в состояние 0. Интенсивность пере­ хода в обоих случаях равна ц. (Пример применения это­ го способа к построению системы уравнений, описываю­ щих эволюцию состояний двухконтурной самонастраи­ вающейся системы с синусоидальным пробным сигналом дан в конце главы).

В результате получается система линейных дифферен­ циальных уравнений Колмогорова с переменными или постоянными коэффициентами. Здесь уместно обратить внимание на одно важное свойство решений уравнений Колмогорова, проявляющееся, когда приведенная плот­

На временных интервалах, соответствующих і|)(^)>'1, темп возникновения параметрических отказов опережает скорость адаптации и наблюдается отличное от нуля рас­ согласование между действительным и желаемым пове­ дением адаптивной системы.

Таким образом, изучение переходных вероятностей дает возможность проследить эффект запаздывания адаптации относительно изменений среды, наблюдаемый

2.5. НАДЕЖНОСТЬ КОНТУРА АДАПТАЦИИ

Контур адаптации, решающий ответственные задачи идентификации характеристик ОК и осуществления кор­ ректирующих воздействий, должен быть максимально за­

86

щищен от собственных ошибок: в двухконтурі-юй системе они уже ничем не могут быть скомпенсированы. Это справедливо для любой иерархически упорядоченной системы, поскольку выход из строя управляющего уст­ ройства высшего ранга не восполняется деятельностью подчиненных регуляторов. Вопрос о предельно допусти­ мой относительной сложности КС при фиксированной сложности и надежности ОК всегда возникает при синте­ зе адаптивных систем и представляет далеко не академи­ ческий интерес.

Введем понятие о правильно организованном контуре самонастройки. Будем называть КС правильно организо­ ванным, если он удовлетворяет трем требованиям:

■1) реагирует на все отказы ОК;

2)его собственные неисправности не приводят к то­ му, что отказавший ОК признается исправным;

3)его отказы типа «ложный сигнал» или «короткое замыкание» не приводят к ложной адаптации.

Если КС наделен первыми двумя свойствами, то к устройству идентификации КС применима формула, по­ лученная в 1962 г. С. И. Злочевским, Р. А. Мирным, А. В. Розановым:

По формуле (2. 32) рассчитана табл. 2. 1 с двумя вхо­ дами.

Из таблицы видно, что при достаточно высоких зна­ чениях коэффициента доверия (Рд^ 0,9) вероятность от­ каза устройства идентификации контура самонастройки должна быть, по крайней мере, на порядок ниже вероят­ ности отказа собственно основного контура (т. е. когда компенсаторные механизмы не действуют).

87

Таблица 2.1

при фиксированном Рл вывод об относительной сложнос­ ти Су.ц/Со.к, а именно:

казов устройства идентификации и ОК соответственно. Уместно вспомнить, что в корректирующих кодах, например, в. коде Хэмминга с исправлением одиночных

длины двоичного слова это отношение убывает, что хоро­ шо прослеживается на графике (рис. 2.6). В основе это­ го (кажущегося внешним) сходства лежат, быть может, глубокие причины. По-івидимому, любая разумная проце­ дура идентификации должна приводить к простым (отно­ сительно испытуемого объекта) физическим воплоще­ ниям.

Третье требование относится преимущественно к ис­ полнительным устройствам КС и связывается с представ­ лением о необходимости достижения их практической безотказности. Едва ли можно доверять коррекцию уст­ ройствам, собственная частота отказов которых сравни­ ма с этой же характеристикой корректируемого объекта. Суммарная интенсивность отказов корректирующих це­ пей контура самонастройки должна быть величиной, по

88

крайней мере, второго йорядка малости по сравнению с величиной г). (Справедливости ради заметим, что в не­ скольких известных нам практических примерах синтеза

самонастраивающихся систем это условие оказалось вы­ полненным) .

Рис. 2.6. Зависимость отношения минимального числа проверочных разрядов k к числу информационных разрядов т от длины двоич­ ного слова пі

Из этих рассуждений следует, что выход приведенной таблицы можно рассматривать как нижнюю грань для вероятности безотказной работы всего КС при заданных Ро.к и Рд. Вопрос о выборе значений Рд, к сожалению, до сих пор остается нерешенным. Интуитивное представле­ ние'связывает уровень коэффициента доверия Рл с тре­ буемой вероятностью достижения тех целей, для кото­ рых создается адаптивная система стабилизации или управления.

Впротивном случае действие КС не будет вне подоз­ рений, и возникнет надобность в коррекции самого кон­ тура адаптации, т. е. создания еще одного уровня управ­ ления.

Всвязи с изложенным, известный интерес представляют выска­

зывания нейрофизиологов Э. А. Асратяна и П. В. Симонова [4], каса­ ющиеся некоторых общих принципов компенсации нарушенных функ­ ций в высокоорганизованных биологических системах: «...Многоэтаж­ ная регуляция не предполагает примитивного дублирования. Каждый новый уровень приносит в регулируемую деятельность новые свойст­ ва, новое качество. Подобный принцип обладает, по меньшей мере, двумя следствиями. Подчиненные регуляторы способны функционн ровать в случае выхода из строя «командующих» механизмов.

89