книги из ГПНТБ / Коваленко И.Н. Полумарковские модели в задачах проектирования систем управления летательными аппаратами

2. Вероятность того,, что заняты обслуживанием k ка­ налов системы:

(1.14)

'•<3

3. Вероятность того, что обслуживанием требований заняты все п каналов системы н s требовании ожидают обслуживания:

4. Среднее число требований, ожидающих обслужи­ вания:

5. Вероятность отказа в обслуживании требования:

6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием:

11

7. Коэффициент загрузки каналов обслуживания:

В целях облегчения вычислений составлены таблицы для определения Рк и Р0?к при /г^/г с тремя входами а, ß, п (см. [35]).

Для приближенных расчетов можно заменить беско­ нечные суммы их приближенными значениями:

а V

Формулы (1. 13) — (1.24) получены в предположении, что время обслуживания требований и их ожидания а очереди распределены по показательному закону. Ста­ тистическое моделирование СМО смешанного типа в ста1 ционарном режиме при различных законах распределе­ ния случайного времени обслуживания и ожидания [35] свидетельствует о том, что эти зависимости приближенно выполняются и для других законов. Для иллюстрации приведем таблицу расчетов івероятности отказа в обслу­ живании Ротк методом Монте-Карло (табл. 1.1).

12

Из таблицы видно, сколь малыми оказываются по­ грешности от замены экспоненциальным законом законов распределения Релея, усеченного нормального и равно­ мерного і[35].

Подобное обстоятельство имеет место далеко не для всех СМО и функционалов, характеризующих их эффек­ тивность.

В качестве примера приведем следующий результат. Пусть имеется резервированная система, т. е. такая, для которой выход из строя одного элемента не приводит к отказу системы. Задается множество отказовых состоя­ ний системы R. Допустим, что попадание в множество R возможно лишь при условии , что имеются неисправные элементы, ожидающие восстановления (изза занятости восстанавливающих каналов). Пусть Хң — интенсивность отказов элементов в различных состоя­ ниях, Н ц ( х) — функции распределения времени восста­ новления элементов в различных состояниях, F{x) — функция распределения времени вхождения системы в множество состояний R, О(х) — аналогичная функция распределения для случая, когда Нц(х) заменены экспо­ нентами с теми же математическими ожиданиями. Тогда параметры можно подобрать таким образом, что G будет сколь угодно близко к 1 —е- *. В то же время F(x) будет сколь угодно близко к единице или к нулю по нашему

желанию.

Третий класс систем, который будет рассматриваться в дальнейшем, — это СМО с приоритетным обслужива­ нием. В таких системах могут быть различные варианты дисциплины обслуживания. Системами массового обслу-

13

живания с абсолютным приоритетом называются такие системы, в которых заявка, обладающая приоритетом, немедленно принимается к обслуживанию каналом, за­ нятым обслуживанием заявки без приоритета в обслужи­ вании. После того, как требование, обладающее приори­ тетом, будет обслужено и других требований, обладаю­ щих приоритетом, нет, возобновляется прерванное обслу­ живание требования, не обладающего приоритетом. При этом возможны различные варианты:

—требование, обслуживание которого прервано, на­ чинает обслуживаться заново;

—прерванное обслуживание требования начинается

стого места, где оно было прервано;

—требование, обслуживание которого было прерва­ но, вообще теряется.

Системами массового обслуживания с относительным приоритетом называются такие системы, в которых тре­

бование, не обладающее приоритетом, обслуживается до конца, после чего принимаются к обслуживанию требо­ вания, обладающие приоритетом [36].

Мы рассмотрим наиболее простую систему из этого класса, а именно, одноканальную СМО с абсолютным приоритетом. На вход системы поступают два независи­ мых простейших потока требований с интенсивностями М и Х - Требования первого потока с интенсивностью М обладают приоритетом в обслуживании. Длина очереди для требований обоих видов не ограничена. Если канал обслуживает заявку первого потока, то интенсивность простейшего потока обслуживаний равна рі. Требования второго потока обслуживаются с интенсивностью рг.

При сделанных допущениях нет различия между сле­ дующими двумя дисциплинами обслуживания:

—прерванное обслуживание требования начинается

стого момента, где оно было прервано;

—требование, обслуживание которого было прерва­ но, начинает обслуживаться заново.

Показатели эффективности функционирования такой СМО в стационарном режиме определяются по приводи­ мым ниже формулам.

1. Среднее число приоритетных требований, находя­ щихся в очереди:

где аі= (М/рі).

14

2. Среднее время пребывания в очереди требования, обладающего приоритетом:

В заключение укажем основные причины, в силу кото­ рых имеет практический интерес теория массового обслу­ живания в простейших предпосылках.

1. Замена непуассоновских потоков событий пуассо­ новскими с теми же интенсивностями приводит в боль­ шинстве практических задач к решениям, столь мало от­ личающимся от истинных, что этой погрешностью (3— 5%) можно пренебречь. Лишь в редких случаях погреш­ ность доходит до 10—12%, что приемлемо при решении ряда задач проектирования систем й Это объясняется1

1 При решении сложных задач, когда нет уверенности в том, что замена реальных потоков пуассоновскими потоками приведет к малым ошибкам, рекомендуется проверять аналитическое решение методом Монте-Карло [36].

15

\

3. Никакие изменения состояния v(t), кроме перехо­ да из состояния «О» в состояние «1» невозможны.

Проверим первое свойство. Если ѵ(/о)=0, то, очевид­ но, v(t) =0 при всех i < t 0. Это означает, что при данном условии величины ѵ(і) ( t < t 0) являются детерминирован­ ными. Отсюда следует, что поведение процесса v(t) при t > i о от них не зависит. (Известно, что любая случайная величина или случайный процесс не зависят от любой детерминированной величины). Пусть теперь ѵ(Ф) = 1. Тог­

Итак, оба свойства, сформулированные выше, выпол­ няются.

Заметим еще, что К(і) неотрицательна, непрерывна и

00

^ \{t)dt = cо. Действительно,

Отсюда

[ Ч 7)< Я = 1п [1 -Я (0)]-1п [1 -Я (Л )]. ^ (1. 35)

17 −

*<«Гг .

VЧИ1У>ЛЬМО?ч

Так как при Л->-оо F(A)-+-1 и ln [1—F(A)]-*~—оо, то

о

Поставим теперь вопрос: однозначно ли первое и вто­ рое свойства определяют случайный процесс (в статисти­ ческом смысле)? Не будем учитывать существование случайной величины |, определяющей процесс v(t), и предположим, что существует случайный процесс v(t), удовлетворяющий первому и второму свойствам, а также условию ѵ(0)=0, причем К( і ) — неотрицательная непре­ рывная функция с бесконечным интегралом. Обозначим через Ф(0 вероятность события {ѵ(^)=0}. Рассмотрим два момента времени: t и t + h, где Іг> 0 — малое число.

Ясно, что если ѵ(і+Іг) =0, то и ѵ(0 =0. Поэтому

Можно показать, что это уравнение сохраняет смысл и для двусторонней производной функции Ф(іО, но тогда

d In Ф(t) dt

t

Теперь обозначим через g момент времени, когда про­ цесс v ( t ) испытывает скачок, равный единице. Если

F(I.) —функция распределения случайной величины g, то

Продифференцировав это выражение по t, найдем, что

случайная івличина g обладает плотностью

Итак, исходя из рассмотренных выше свойств случай­ ного процесса, мы выразили его через некоторую случай­ ную величину g так, что ѵ(^)=0 при ^sclg и ѵ(^) = 1 при *>!*.

Если j со, тогда величину g приходится

о

интерпретировать как величину, зависящую от случая и способную принимать значение оо с положительной ве­

роятностью

При конечных t, как и прежде

I

Определим теперь марковский процесс с конечным или счетным множеством состояний. Это будет некоторое построение, в котором процессы типа, рассмотренного выше, будут играть роль составных элементов.

Пусть Й — множество состояний марковского процес­ са. Определим две системы функций: %i(t),i € й и пц(і),

1 Строго говоря, непрерывность ѵ{і) слева не следует из рас­ смотренных выше условий и свойств X(t) и вводится как дополни­ тельное условие. При применении это не может вызвать неоднознач­ ного толкования.

19