книги из ГПНТБ / Коваленко И.Н. Полумарковские модели в задачах проектирования систем управления летательными аппаратами

системы, длящаяся

конечное время, причем стоимость

ее проведения есть

сп.п) и проверка, неотказавших, либо

лее. описанная процедура принятия

решения

повто­

ряется. Очевидно, са.п>сп.п. Считаем,

что момент to= 0

есть момент последней регенерации.

п) число

отказав­

Обозначим через Of, (Аі= 0, 1,...,

ших элементов в системе в момент наблюдения

/,• (/ = О,

ки или ремонта системы принимается

в зависимости от

значении

Х,-(Х,- = 0, 1,..., п) и

k (/= 0 ,

1, 2. .. ) .

Как и в задаче, описанной выше,

выбор

стратегии

обслуживания

системы определяется

разбиением обла­

сти А = {Х{, /і}

(в рассматриваемом случае

вновь

0; =

= ti) на

непересекающиеся

подобласти

Аіу А2,

/13

(/К U А2 U АЪ=А), при попадании в которые

точки

{Хі,

ti\ принимается

решение соответственно

о

проведении

контроля, профилактики или ремонта.

что­

Наша задача заключается по-прежнему в том,

бы некоторым оптимальным

отказом

определить обла­

где

і2, . .., /„ — номера

отказавших элементов

парал­

лельной

группы к моменту /л_(, при­

чем 0 < q < m , F(t) = 1—F(t),

Ф(і) =

= 1 - Ф ( 0 .

Ясно, что все точки { ^ -ь

4 -і},

удовлетворяющие

условию (4.45), принадлежат области

С о е д и н е н и е

э л е м е н т о в

с н с т ем ы

по

в е т в я щ е й с я с х е м е

блока

Пусть элементы системы или ее отдельного

соединены по ветвящейся схеме

(рис. 4.9). Все элемен­

ты нагружены

и рав-

нонадежмы. Число вет­

вящихся

структур рав­

но I.

Так как все они оди­

наковы, то мы сначала

рассмотрим

одну

вет­

вящуюся

структуру

(рис.

4.10),

которую

будем характеризовать

«коэффициентом

вет­

вления»

К и количест­

вом

«рангов»

М.

Для

определенности

оста­

новимся

на

структуре

РангИ РвнгШ Ранг!?Ранг7

Рис. 4.9.

Структура

ветвящемся

Рис. 4.10. Ветвящаяся струк-

схемы соединения элементов снс-

тура

тем ы

с К = 4 и

М = 5.

Считаем, что

в структуре допустимое

наблюдения

(/ = 0, 1, 2,...)

использовать для

принятия оптимальных решений на

обслуживание си­

стемы [см. формулу

[4.45) J, не представляется возмож­

течение времени Лі до следующего момента

контроля.

Далее, описанная

процедура принятия решения

повто­

ряется. ичевидно, что са.п.>сп.п-

Считаем, что момент

t0 = Q есть

момент

последней

регенерации. Если

через

А*= 0, 1,..., іп+1

обозначить

число отказавших

выходных элементов системы

в мо­

мент наблюдения

Zf (i = U, i, 2, .. .),

то решение о конт­

Вновь выбор стратегии обслуживания

системы опре­

деляется разбиением области л={А*,

на

непересе-

кающиеся подобласти Аи Д2, А3 (AiU A2

UЛ3=А),

при

попадании в которые точки {А*, /Д принимается

соот­

ветствующее решение о проведении контроля,

профи­

лактики или ремонта системы.

P J K ,

L + 1 , f . ) = V

P n{K, L, t) Cs-'nK

ns-"«(t)qK s

(/),

nTi

KL-"K

(4. 46)

где

— целая часть

числа

, 0

Очевидно, для L — 1

(начальные условия):

Я0Х ,

1, і ) = п г(іУ,

Ру(К, М ) =?(*);

0 < s < / X ,

'

1 < 7 < Л 4 - 1 .

(4.47)

/>4«w=?(/)= 2 2 2

2 р*лк,м,і)х

Ji-=0 Ss=0

s,=0

1___----------------------------------------

,

(4.49)

F (tfc— | )

( С р . п

г , г > п ) ( / г ■ 1 )

где F(t) определяется зависимостью (4.48).

Алгоритмом

(4.49)

следует пользоваться при X/,_t<

< 4 т. Все точки

{Х„-и

h-i},

удовлетворяющие условию

М

Л

П(5)= ( GXn(u)dF{ii) + Qxn{ T) {\ - F{T) \ .

(4.50)

о

В связи с тем, что функция F(t)

неизвестна,

будем

определять такой план проверок Z*, при котором дости­

гает минимума supyWcOx

(l)=!i x ,

т. е. необходимо оп-

р

И

П

ределить

|хл-* =

тіп[ху

(4.51)

X ,

Решим задачу

для

функции

Oxß)

следующего

вида:

пс, Ü>7;

'

пс + ѵ{Т — \), х п<_ ^<Т\

k c ^ р[ѵ{хк+1—\)-\- с\-\- р 2

(1 — РУ У\

сз

ю

X

(хи+*+і—£)-Hs+ *) СН~

+ { \ - р ) п- к[ ѵ { Т - \ ) + {ѣ- к)с\,

\ X k < i;

(Ä = 0,

1 , ■ • • j

П

l)i

где

с — стоимость одной проверки;

от

пребывания

си­

и — потери в единицу времени

стемы в состоянии отказа.

Oxß.)

при Хь.<1^

Преобразуем

выражение

для

<g;X)t+u введя обозначения: k + s = i;

q = \ —р.

Тогда

по­

лучим

Охп(У=

Р {k “Ь1) с лг Pv ixk+i

0 ~f

+ р

2

К* + 1 ) с +

X» (JC,+i-i)] +

<7nfc[«c +

'y (7'-^)]=

i=fc+l

=

g(JCx, X2, . . . ,

x„,

£) (/e—0,

1, . . . ,

n — 1).

(4. 53)

С учетом

соотношения

(4.53) перепишем

выраже­

ние (4.52):

пс,

£ >Г;

О ,ѵ,(8= nc-\-v{T — Q,

-v„ <

£ < 74

g (x v .. ., x„;

$), -vÄ< ^ < ^ +1 (A = 0, 1, . . . ,

n —1).

Средние потери MpG являются линейным функциона­

лом относительно функции

F. В силу следствия

1 (см.

леммы 4.1 it 4.2), излагаемого ниже, supMjrG

достигает?

F

f\v„=^uP MFQ = max Gx

{х).

О < л* < 7

Из выражения (4.52) следует, что

max Gx (х) =

О<л-<Г

= max g ( x u . . хп; хл + 0) = g ( x u ..

*s+ 0),

л

где xs— точка максимума.

ема п, для которого Хі,.. ,,хп определяются

из условия:-

§ 0 ^ 1 > • • • I

-^ /р •

Х

о

— S

(-Хі, ■ • ■ ,

Х п,

A l j - j - O ) ;

=

. . . =

g

{

x

хи\ Л 'л + 0);

(4. 54)

См*— U Сп-

л<Ж

проверок X * ^ C N*,

Докажем, что оптимальный план

т. е. число проверок в оптимальном

плане

не превосхо­

дит N*, где N * — максимальное

положительное число,

для которого выполняется неравенство

7 Ѵ ( 7 Ѵ - 1 ) < — .

(4.55)

П у с т ь Х п — п р о и з в о л ь н ы й

п л а н

п р о в е р о к

и з к л а с с а

С „ ,

а

n>N*-. П о

к а

ж е

м с н а ч а л а ,

ч т о

д

л я

л

ю б

о г о

п л а н а

п р о в е р о к Х п н а й д е т с я

л у ч ш и й

п л а н

п р о в е р о к

X и з

к л а с ­

с а

С д г *

:

>

рХт. О ч е в и д н о ,

ч т о

Ѵ-х,, >

tlc-

П л а н

п р о в е р о к

Х е С Л >*

в о з ь м е м

и з б о л е е

у з к о г о

к л а с с а

С

дг*,

п о

э т о м у

д л

я т а к о г о

п

л а н

а

и м е

е м

g{xl t . . . .

xN*; ^o +

0) =

g-(x1,. . . ,

xN*,

-*i + 0) =

= . . . = g

{xv

xN*; jQv +

0),

(4. 56)

T. e. X. £ CJV* d С м * cz С ң * .

П о к а ж е м ,

ч т о д л я

в ы б р а н н о г о

п л а н а

^ = { ^ + ^ Ч

( у , + ')/> + 2 ]}

pN. \ r

-

и - 87)

В с а м о м д е л е , п р и k ^ N '*— 1

£■(•*!, •••>

-^Ä+

O) = p { k Jr l)c-{-pv(xk+1— x!!)-1r

N * —l

+ P 2

? ,'~ * [ ( г + 10

С + ' 0 ( * < Ч1 - Л:А)] +

i-Ä+1

дг*__1

P

P 2

k- \ - N * q N

_

i-ft+i

N*

-

Г

N*—1

1

=

p 2

* " * 2 ÄS+

^ " " ft2 AS

1=ft

-S=>Ä

j =fe

-

Г

N*—\

-

g ( x v . . . , xN»;

+

0) —qg (л^, . . . ,

xN*, -*Ä+ 0) +

i - cpk + v ^

;

ст>

g ( л у , . . .

, Хм*’> X N *-\-0) — CN * -\-ѵкм*

ю

( f e = l ..........N*).

ЕСЛИ

g(.V'b . . ;XN*\ Xk-i -г 0) —g(x i, . . xN*\ x(l+0) {k =

= 1, . . N

*), то имеем дело с планом проверок Х е С м* ,

для. которого из выражений (4.59) получим

^•(лу,. . . . л'л'*;

xk-\-Qi)= ck-\-— Дл- !

(k■— 1,

2 ,

. . N*).

(4.60)

С учетом зависимостей

(4.56)

и (4.60)

имеем N*— 1

уравнение

Л* =

Л * -1 -—

( Ä=l ,

N * - \ )

’

(4.61)

V

и уравнение

Д*= ^=Х (k=

N*).

(4.62)

Из уравнений

(4.61) и (4.62)

с учетом нормирующего

N*

условия

2 Ді—Т непосредственно следует:

1= 0

Г=Длг»(14-pN*)-{- —

2

;

V

Т — сp N * ( N * — 1) 2v

(4.63)

Дд'* =

■

p N * +

1

Поэтому для

плана

X £ См*

на основании выражений

(4.59) и

(4.63)

имеем

(Х Ѵ ■• • > X N*\

Х м * - \- 0) =

N '" C -|- V&.M* —

1

vT + — N * c [р { N * + 1) + 2]

p N * +

1

’

Теперь покажем,

что

^хя ^

^ € C/Vt.

Так как ѵ-х ^ пс и n^>N*, то с учетом выражения

(4.55)

v T + — N *c [р ( N * + 1) + 2]

> 0 .

хл І^х ^

ѣс~

p N * + 1

p N * +

1

Значит, оптимальный план Х*£См».

Далее

покажем,

что Х *^ С п*

(п—произвольное),

n*^N * (п* соответствует плану X*)

п опоеделим значе­

ние п*.

что

произвольный план

объема

Убедимся в том,

ся условие

(4.54). Для этого необходимо доказать, что

max[g{xv

. . . , х п\ хк +

vT +

пс [р (п + 1) 4- 2]

0)) > --------------- — ------------- -

ft

рп -+- 1

(4. 64)

Покажем справедливость

условия

(4.64) методом от

противного.

Пусть справедливо обратное, утверждение:

vT +

пс [р (я + 1) +

2]

max (g(jcx,

-^ft + O)) <

-------------------—------------•

k

рп + 1

Это значит, что при любом k

g (хѵ . . . ,

х п\ ^ + O) <

vT +

- ^ ~ пс [р ( п + 1) + 2)]

--------------- — --------------•

(4. 65)

рп -р 1

Тогда

2 g - ( ^ i . - . - .

■*„; ^ *+ 0)= -5я<

1

vT + — пс [р ( п -1- 1) + 2]

(4. 66)

< ---------—

------------- =

s -’

рп + 1