книги из ГПНТБ / Коваленко И.Н. Полумарковские модели в задачах проектирования систем управления летательными аппаратами

В процессе работы ЗЭ восстановлений или замен отказавших элементов не производится, а осуществляет­ ся лишь автоматическое подключение резёрвных эле­ ментов вместо отказавших основных. Зарезервирован­ ный элемент считается отказавшим при выходе из строя одного из основных элементов и при отсутствии исправ­ ных резервных элементов.

времени от t до t+x, через р(х, t), а функцию распре­ деления времени безотказной работы ЗЭ (случайной ве­ личины X),через F(t) = Р {X<t} .

Вначале предположим, что время между двумя по­ следовательными моментами профилактического обслу­ живания ЗЭ является случайной величиной Y с функци­ ей распределения G (t) = Р {У </}.

Так как после каждого профилактического обслужи­ вания ЗЭ возвращается в первоначальное состояние, то времена между двумя моментами окончания профилак­ тических обслуживании ZKобразуют вновь процесс вос­ становления.

Величина Z может принимать следующие значения:

140

причем У]/Л-(^) = 1 и P i ( Y ) , і = О, 1, 2,. . п обозначает

; =0 вероятность к началу профилактического обслуживания

иметь і отказавших элементов.

Формула (4.32) дает возможность выбирать период Тк профилактического обслуживания ЗЭ, исходя из за­ данной величины р(х, ТІ(). Однако, наибольший ин­ терес представляет отыскание оптимальной величины Тѵ, обеспечивающей максимум функции р(х, Тк) и опре­ деляемой из условий

при существовании (для каждого конкретного случая) единственности максимума р{х, Тк).

Для определенности рассмотрим ЗЭ (а для получе­ ния окончательных результатов перейдем впоследствии к еще более частным случаям), состоящий из одного ос­ новного элемента (m= 1) и п—1 резервных элементов, которые находятся в состоянии ненагруженного резерва. Тогда время безотказной работы ЗЭ

:где A4 — время безотказной работы основного элемента; Х2— время безотказной работы первого резервного

элемента; Хп — время безотказной работы (п—1)-го резервно­

го элемента. Следовательно,

У-\-Т0, если А'1> К ;

К + 7 \, если А ^ < Г , Х г-\-Х%> У \

Z = \Y-VT2, если Х г+ Х 2< Г , Х ^ Х ъ + Х ^ У і ( 4 .3 5 )

Y -\-Tn, если X < yY .

141

Очевидно, для случая ненагружепного резерва

при условии, что интенсивность отказов каждого элемен­ та остается постоянной п равной X, а характер потока отказов элемента простейший. В этом случае выраже­ ние (4.32) принимает вид

Р{х, Тк)=

Рассмотрим для примера случай: »z=l, я=2, т. е. когда ів состав системы входят один основной и одни ре­ зервный элемент и для каждого элемента поток отказов простейший с параметром X. Тогда

Убеждаясь в существовании единственного максиму­ ма функции р{х, Тк) и используя условие (4.33), полу­ чаем следующее уравнение:

е - хѴ [27\.(1 + ^ ) + Г2 (1—ХГК)—2 ( 7 \ - 7 ’0) +

Уравнение (4.39) легко решается графически (рис. 4.7). При этом удобно все члены, зависящие от Г1(, обо­

И2

значить через функцию Ф(Г,<). В табл. 4.5 приведены ре­ зультаты вычислении значений ТІ;оѵі для случаев т=1;

резерв) или при применении так называемой «схемы ги- ■бели и размножения» к исследованиям резервных систем,

4.4. ОПТИМАЛЬНОЕ ОБСЛУЖИВАНИЕ СИСТЕМЫ ПО НАРАБОТКЕ И СОСТОЯНИЮ СОСТАВЛЯЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ

Опишем сначала кратко модель, подробно изложен­ ную ів работе [6]. Рассмотрим, пренебрегая простоями системы, ее непрерывную работу.

143

Обозначим через v(t) параметр, характеризующим состояние системы в процессе работы:

,,, _ I 0, если система исправна в момент /;

ласть Л0: при {v(t), О(0}<=Л0 система считается отка­ завшей. Пусть далее в момент ^о = 0 начинается эксплуа­

В противном случае либо принимается решение о прове­ дении предупредительной профилактики системы, либо о продолжении ее эксплуатации до следующего момен­ та контроля ti+l = ti+At и т. д. Считаем, что после про­ филактики или ремонтов система является работоспо­ собной и ее наработка равна нулю.

Если принять, что аварийно-профилактический ре­ монт системы занимает постоянное время уа.п с коэффи­ циентом пропорциональности П О С Т О И М О С Т И Са.тт, то С Т О И ­ М О С Т Ь его проведения

^-а.п Сап\ ап■

Аналогично для стоимости сп.п проведения преду­ предительной профилактики

^П.Н~ Сі.пУ,,.,,-

Считаем, что са.п>сп.п- Стоимость проверки работо­ способной системы (контроля ее состояния) полагаем равной нулю. Моменты окончания профилактики и ре­ монтов являются моментами регенерации (обновления) процесса, описывающего состояние системы. Интервал времени между соседними моментами регенерации назо­ вем периодом регенерации.

Искомая стратегия обслуживания в период регенера­ ции полностью определяется разбиением области А воз­ можных состояний системы {v(4), tK} на три непересекающиеся подобласти Аи А2, А3 {AYUA2UA3=A), при по­ падании в которые вектора {v(tK), tK} принимается

144

ожидание затрат х\ на периоде регенерации (Мт| = ф), D — множест­ во стратегии разбиения d. Тогда суммарные затраты за время Г

щт)

;=-і

где .V (Г) — число периодов регенерации до момента Т.

н

мощью теории выпуклых фигур (применяя и рандомизированные привила разбиения) можно показать, что при некотором Q

Последнее выражение позволяет обосновать возможность пере-

т. е. использования полу-

ченных выше результатов для систем длительной эксплуатации.

Для определения оптимального разбиения Л Д Л2*, Л3*, обеспечивающего минимум средним удельным за­ тратам с(Ль Л2, Л3), воспользуемся леммой Дуба (см. п. 1.6). В работе [6] эта лемма применительно к рассмат­ риваемому случаю сформулирована следующим обра­ зом.

Пусть {Fs}, s = 1, 2, ... — последовательность а-полей в некотором пространстве W элементарных событий, FsciFs+l, а {г/Д — последовательность случайных вели­ чин, измеримых относительно Fa, и для которых сущест­ вует М{уі]. Пусть также задан некоторый класс К пра­ вил определения моментов k остановки наблюдений та­ ких, что ЛВД<оо.

146

Если существует правило, определяющее момент ос­ тановки k*, для которого:

1) Лр*]<оо;

2)

( > Уз-1. 5 > k*

для почти всех элементарных событий a ^ W , где s — моменты остановок наблюдений, определяемые другими правилами из класса К, и если существует константа С<оо такая, что для всех s

3) л Ч[ ^ +1 - ^ ] 1 ^ } < с , то данное правиле является оптимальным, т. е.

М [г/А*]==шіпУИ [ys],

где минимум берется по всем возможным правилам ос­ тановки из класса К.

В работе [6] было показано, что условия «1)» и «3)» леммы на практике всегда выполняются. Относительно выполнения условия «2)» необходимо сказать следую­ щее. Для реальной технической системы, не подвергаю­ щейся обслуживанию, естественным является предло­ жение о том, что с увеличением наработки надежность системы уменьшается. В этом случае вероятность

условия «2)», которое в рассматриваемом случае запи­ сывается так:

М [С( IFt I І

кк I> cti_ v если Р{ѵ(Я>

при [ѵ(/,), і = 0 , k — l ] l >

>

Cll.ll_______

( с а.п Cn.J(Ä-l)

В данном случае последовательность {Fts} есть по­ следовательность наблюдаемых состояний системы

=t-t, i'=--0, s),

амомент оптимальной остановки [см. выражение (4.42)] определяется с помощью неравенства

а левая возрастает при возрастании /г. Поэтому, если в качестве /г* взять такое k, для которого последний раз выполняется неравенство (4.43), то условие 2 будет выполняться.

Таким образом, все условия леммы Дуба примени­ тельно к данному случаю оказываются выполненными, и оптимальное правило остановки (нахождения оптималь­ ной границы между областями А{ и Л2) определяется с

где Л(і) — функция интенсивности отказов системы, оп­ ределяемая выражением (4.1).

Правило построения области At таково: всякая точна {v(4_j, 4)}, для которой выполняется (4.44), принадле­ жит области Л).

Обслуживание системы по состоянию составляющих ее элементов

П а р а л л е л ь н о - п о с л е д о в а т е л ь н о е с о е д и н е и и е э л е м е н т о в

На практике во многих случаях соединение элемен­ тов системы по надежности можно представить как ком­

148