книги из ГПНТБ / Коваленко И.Н. Полумарковские модели в задачах проектирования систем управления летательными аппаратами

лагается, что по реализациям случайной функции ѵ(/) можно прое-ледить за всеми изменениями, которые проис­ ходят в системе: моментами появления заявок, момента­ ми окончания обслуживания и т. п.). Примером процесса ѵ(0 может служить число заявок, находящихся в СМО в произвольный момент времени і.

Иногда естественно рассматривать процесс ѵ(£) как совокупность нескольких параметров, имеющих тот или иной физический смысл. Так, например, при рассмотре­ нии системы управления с приборами, которые могут от­

число неисправных приборов в тот же момент времени. Если известны вероятностные законы, управляющие входящим потоком требований, а также распределение длительности обслуживания и порядок обслуживания за­

явок, то ѵ(/) задан как случайный процесс.

Перейдем к изложению смысла метода вложенных цепей Маркова, предложенного Д. Кендаллом {14, 71].

Изучается некоторый случайный процесс ѵ(£), о кото­ ром известно, что он не обладает марковским свойством. Выбираются такие моменты времени {£,,}, (tn<tn+1 ), что

значения процесса {ѵ(£„)} образуют цепь Маркова. За­ тем методами, обычными для цепей Маркова, исследует­ ся распределение случайных величин v(tn). Наконец, по этому распределению делают выводы о свойствах исход­ ного процесса ѵ(/). Во многих случаях этот последний этап исключается, поскольку сами величины ѵ(£„) дают исчерпывающую информацию о функционировании СМО.

Чаще всего рассматривается случай, когда множество возможных значений процесса ѵ(/), а следовательно, и вложенной цепи Маркова конечно или счетно. Однако можно рассматривать и непрерывное множество состоя­ ний, С этой точки зрения метод вложенных цепей Марко­

следовательность значений процесса в специально выб­ ранные моменты времени {/„}; эти значения образуют цепь Маркова. Подчеркнем, что моменты {/„}, как пра­ вило, оказываются не детерминированными, а случай-

30

мыми, зависящими от поведения самого процесса л>(/). О моментах {/„} здесь ничего не говорится.

посредством определения полумарковского процесса, ко­ торое мы приведем, .следуя работам (14, 42].

Пусть N—некоторое конечное или счетное множество и пусть для каждого і из этого множества определены:

Будем считать также заданным распределение случай­ ного вектора (go. ѵо), первая компонента которого—неот­ рицательная случайная величина, а вторая — может при­ нимать значения из множества N.

Полумарковский процесс конструируется из введен­ ных объектов по следующему принципу.

Пусть случайный вектор (g0, ѵо) принял некоторое значение (х, і) в соответствии с распределением, о кото­

После этого выбирается значение случайной величины \ \ = у в соответствии с законом распределения Fj(x), что позволяет определить процесс ѵ(£) в более широком про­ межутке времени:

Вслед за этим производится новый выбор элемента %’а из множества N. На этот раз вероятность того, что Ѵ2

примет значение k, равна Pjk, ft 6 N. Коль скоро стало известно, что ѵг= It, выбирается значение случайной ве-

31

личины І2 = 2 в соответствии с распределением Fh(x), что

дает:

ит. д.

Врезультате такого построения случайный процесс

ѵ(0 определится в интервале времени (0, і*), где

Чаще всего £*=оо, так что процесс определяется при всех С>0. Это и будет пОлумарковский процесс

Наконец, дадим определение линейчатого процесса, которым мы также будем пользоваться в дальнейшем.

Пусть имеется полумарковский процесс v(t), причем с вероятностью единица он продолжается неограниченно

шедшее с момента последнего выбора случайной вели­ чины. Более точно

известно, что при фиксированном t v(t) = 1, у* (t) =х. Это означает, в частности, что последний «цикл» длится уже X единиц времени. Но тогда вероятность окончания цикла в интервале (t, t + y ) составляет

Л - (•* + У ) — Fi (X)

1 - F d x )

До окончания цикла процесс v(t) не изменит своего значения, а процесс у* будет все время возрастать с еди-

1 Полумарковскиіі процесс определяется и несколько иначе: счи­ тают, что время пребывания в данном состоянии зависит от после­ дующего состояния процесса. Оба определения эквивалентны. Для перехода от одного из них к другому может потребоваться лишь из­ менение множества состоянии процесса.

32

иичной скоростью. Если же цикл окончился, то известно, что может произойти дальше: с вероятностью Рц процесс v(t) переходит к значению v(l) = j и все дальнейшее опре­ деляется независимо от того, чтобыло до момента t.

Сделаем еще одно замечание. Если для некоторых і из множества N функция распределения Fi(x) имеет вид

Fl (x) = l — e~xF- * > 0 ,

то при ѵ(і:)=і не нужно определять вторую компоненту процесса, т. е. у*{t): остаток длительности цикла, как легко видеть, зная основное свойство показательного рас­ пределения, не зависит от у* (t).

Таким образом можно рассматривать процесс g*^), в который обязательно включается компонента v(t)\ вто­

рая компонента, именно у*{t), определяется лишь для тех случаев, когда Fi(x) имеет вид, отличный от показатель­ ного {14].

Термин «линейчатый марковский процесс» для про­ цессов несколько иного типа был предложен Ю. К. Бе­ ляевым [8]. Заметим также, что линейчатый процесс — есть функционал от полумарковского процесса.

1.4. ПРОЦЕССЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ

Пусть go, |i,..., In,... — последовательность неотрица­ тельных независимых случайных величин, где gi, g2 ,... об­

ладают общей функцией распределения F(x), a go — функцией распределения F0(x). Последовательность мо­

Если некоторая из случайных величин tn равна t, го­ ворят, что в момент t происходит восстановление. С про­ цессом восстановления связывается случайный процесс Nt, определяемый как число восстановлений в интервале (О, 0. Если 0 < t 0< t i < . . . < t n<..., тогда Nt =0 при 0<.t<.to\ Nt = 1 при tQ< t < t u...; Nt = n при tn- \ < t < t n ит.д. В этом случае траектория процесса восстановления представля­ ет собой ступенчатую функцию, возрастающую единич­ ными скачками. Если некоторые моменты восстановления совпадают (скажем ti = t2= t3), возможны и большие

скачки.

Основой изучения процессов восстановления является понятие ф у н к ц и и в о с с т а н о в л е н и я .

Функцией восстановления данного процесса восста­ новления называется функция

Выведем формулу для функции восстановления. Пусть t ^ O — фиксированное число и U(x) —1 при x<t,

U( х )= 0 при x^t. Тогда, если U(tn) = 1, значит п = е вое-

оо

становление произошло ранее t. Следовательно, ^ U (tn) л=0

представляет собой общее число восстановлений, проис­ шедших ранее t, или, что то же, Nt.

Однако, U(tn) — случайная величина, принимающая од­ но из двух возможных значений: «0» или «1». Поэтому

Перейдем к преобразованиям Лапласа-Стилтьеса. Если F( t) — неубывающая функция, то преобразованием Лапласа-Стилтьеса этой функции называется функция

мому преобразованию. Если функция F(t) имеет скачки величины Ап в точках хп (0<х'і<х2<...), а в интервалах между этими точками обладает непрерывной производ­ ной F' (t), тогда

e-Wr"Ä« + f z~stF'{t)dt-\-

П6

34

Обозначим

о

Введем также функции распределения

(1.98)

и их преобразования Лапласа-Стилтьеса

Известно, что преобразование Лапласа-Стилтьеса суммы независимых случайных величин равно произве­ дению преобразований слагаемых. Тогда

Пусть имеется простой процесс восстановления. Соот­ ветствующую ему функцию восстановления обозначим Н0(і). Согласно предыдущему

Поскольку M[U(to)] = F(t), можно записать

t f o ( 0 = ^ ( 0 + ] м 2 ^ ( * Ж = * d F {X). (1.105)

Л=*1

Если to^t, то и все tn^ t , так что U(t„) =0. Таким об­ разом, в последнем интеграле можно взять в качестве верхнего предела t Далее, если известно, что t0 = x, слу­ чайная величина tn имеет то же распределение, что и слу­ чайная величина Л,_і+ л'.

Итак,

л—0

Окончательно

H 0{t) = F { t ) + ( H , { t - x ) d F { x ) .

6

Найденное соотношение носит название уравнения восстановления.

Возвратимся теперь к исходному процессу восстанов­ ления, для которого функция Fo(t) может быть отличной от F(t). Можно записать

Уравнение для вероятности события, связанного с процессом восстановления

Пусть нас интересует вероятность р некоторого собы­ тия А, определенного следующим образом. Событие А может произойти лишь в один из моментов tn (п^О). Если событие А не произошло в моменты 7,- (і < п ), то в момент tn оно произойдет с вероятностью а(і), если из­ вестно, что tn —t независимо от значений 7; (і<п).

Пусть, например, /„ — моменты отказа некоторого устройства, функционирующего на отрезке времени [0, Т]

36

в переменных условиях. Если отказ произошел в момент t, то этот отказ приведет к катастрофе с вероятностью а ((). (Естественно положить a(t) =0 при t >T). Тогда ка­ тастрофа как раз и будет событием с описанными свой­ ствами.

Для простоты вывода предположим, что |„ (л ^ 0 ) об­

qn(t)F'(x)a(t+x)didx есть вероятность следующего со­

tn; (га+1)=е восстановление и событие А произошли в момент £„+і, где tn + x < t n+l< t n+ х + dx.

Поменяв местами знаки суммы и интеграла, найдем

37

Далее имеем

^oW= /7 o'(OP(0-

Тогда

кретная случайная величина, но не все ее значения соизмеримы.

38

Стационарные процессы восстановления

Предположим, что для любого фиксированного ,ѵ>0 распределения числа восстановлении в интервале (t, t + +х) не зависит от t (t^.0). Процесс восстановления с та­ ким свойством называется стационарным процессом вос­ становления. Если задана F(t) = P(£n<t) при n ^ l , при­ чем т=М £і<оо, то необходимым и достаточным услови­ ем стационарности процесса восстановления является существование у случайной величины go плотности вида

Если же т= оо, процесс восстановления не может быть стационарным.

Для стационарных процессов восстановления Н (і) —

ность более одного восстановления в интервале (£, f+A^) составляет о (At).

Обозначим через уі время от момента t до следующе­ го после этого момента восстановления.

а х(і) — неубывающий, не зависимый от {А} случайный процесс, для которого с вероятностью равной единице

39