книги из ГПНТБ / Коваленко И.Н. Полумарковские модели в задачах проектирования систем управления летательными аппаратами

Из выражений (4.59), добавляя тождество pg{xо, Ли, ■.

pg {хѵ . . . ! •*«> -^й+о)—s'(-*r> • ■■> ■*«; * * + °)

ßS„= —(1 —р)£(*о, А , •••. хя\ JC„+0)+

П—1

Откуда с учетом того, что g( x \, .. ,,хп\ х„ + 0) = сп + ѵД„, имеем

/>+, + <7£*(-*о> *і. • • •. х я; *Q+ 0) = ѵТ + ^ѣс[2-\- р(п-\-\)\.

(4. 68)

Так как правая часть выражения (4.68) не зависит от плана проверок, то уравнение (4.68) справедливо и для плана из класса С„*. Поэтому

+ ?£(■*„, ■*„; -*0 + 0) =

= PSn + <Ig(x0, x lt . . . , х п\ л„+ 0).

В силу неравенства (4.66) Sn*>Sn. Следовательно,

g (x 0, x v . . . , х„; XQ-I-0) g* (х0ух ѵ . . . , х п; *0 + 0) =

= + + f ! W * + 1 ) + 2 1 )

что противоречит принятому предположению (4.65). Зна­ чит, при любом it план из класса ,С„* лучше другого плана того же объема. Поэтому с учетом предыдущего

оптимальный план X* надо искать в классе Суѵ*, т. е. можно записать

X я"^ Сдг» с Cf/*,

160

Теперь определим объем оптимального плана X*, т. е. при каком n*!£ZN* меняет знак разность

k/i—1

то для определения величины /г*, обеспечивающей мини-

мум функции р * как функции /г, необходимо исследо-

хп

вать числитель выражения (4.69), представляющий со­ бой квадратичный трехчлен. Обозначим его через f(n).

При анализе поведения функции f(n) необходимо учесть два варианта: либо п* определяется как наиболь­

Покажем, что n*^N*, для которого еще справедливо условие (1.55), т. е.

N 2 - N - — =® (Л 0 < 0.

с р

Определим теперь в интервале [0, УѴ*] искомое значе­ ние n* = N. Из выражения (4.69) имеем

/ (п)—п2- n Q + g ) I 2 (с — Тѵр) -~Ѣ2— Ѣ-

Рср*

2Тѵ 2 , 2л'

с р

откуда ясно, что при n = N = 0

2vT

/(0)><р(0) =

ср

І (N) —2 N — 1 < / ' ( n ) = 2 N - 1 + -

161

Зависимости cp(N) и f(N) представлены графиками

на рис. 4.11.

Запишем явное выражение для плана X*. Из зависи­

Рис. 4. 11. К определению оптимального плана про­ верок САУ, находящейся на хранении

Покажем, что для моментов проверок, определяющих оптимальный план X* (см. также [54]), имеет место сле­ дующая формула при любом /е = г+1>0, k^. N— 1:

162

Определение плана проверок хранящейся системы при наличии минимальной информации о ее надежности. Конечное время

Рассмотрим вновь работу системы на конечном интер­ вале времени. Будем считать, что отказ системы обнару­ живается при первой проверке, следующей за моментом отказа (/7 = 1 ), а стоимость проверок и стоимость пребы­

вания системы 'в состоянии отказа примем, как и рань­ ше, равной в соответствии с выражением (4.52), но в предположении, что /7 = 1 .

Пусть нам известно значение функции распределения F(t) времени жизни системы | в некоторой точке т, т- е.

В силу того, что функция распределения F(t), кроме одного значения, остается неизвестной, применим вновь минимаксный подход к решению задачи минимизации максимальной средней стоимости, связанной с проверка­ ми и отказами системы.

Будем искать план проверок системы X, который яв­ ляется набором т + п точек, таких что

О - ^ 1 ■Хщ^ Т* ^ -*7тН »1 ^ х т+ п ^ F •

Сформулируем задачу более строго. Поставим в соот­ ветствие любому плану проверок X функцию стоимости Gx(W> которая является стоимостью, связанной с систе­ мой, имеющей время жизни £.

Тогда средняя ожидаемая стоимость для заданной

ремум берется по всем положительным функциям рас­ пределения случайных величин, удовлетворяющим соот­

163

ношению (4.73). Задача заключается в отыскании такого

ожидаемые потери. Приведем конечный результат реше­

где п является либо нулем, либо таким наибольшим по­ ложительным целым, при котором

Здесь k равно наибольшему целому, при котором

. (4.79)

(2 — л) с

В противном случае, если условие (4.78) не выполня­ ется, план проверок, аналогичный выражению (4.76), за­ дается следующим образом:

при m = k, причем k определяется из условия (4.79).

164

При п —0 значения лу задаются согласно выражению (4.76), если

если п —0 и выполняется условие (4.81) или, если п> 0 и выполняется условие (4.77);

и с составляющими хі, .. .,хт, заданными согласно .выра-

165

жеиию (4.76), со значением /п= г, которое определяется из условия (4.78). Таким образом, план типа. Л включа­ ет в себя оптимальное планирование сначала на интерва­

жению (4.80), со значением m = k, которое определяется и з у с л о в и я (4.79), е с л и л = 0, или из выражения (4.83) со

значением m = q, которое определяется из условия (4.82), если л = 0.

Таким образом, план типа Б включает в себя опти­ мальное планирование вновь сначала на интервале (т, Т), а затем на интервале (0, -ѵт+і).

Если же д=0, то планирование осуществляется сразу на всем интервале- (0, Г). Как и в случае плана типа А, так и в случае плана типа Б, план справа от точки т — на интервале (т, Г) — будет оптимальным и таким, как в первом разделе п. 4.5.

В плане типа А проверка предусматривается в мо­ мент т и интервал (0, т) планируется оптимально сог­ ласно первому разделу п. 4.5. В плане типа Б не преду­ сматривается проверка в момент т, и интервал (0, хт+\) пли (0, Г), если /7 = 0, будет планироваться так же, как и в первом разделе, но с незначительными изменениями. Сравнение моделей, рассматриваевых в первом и втором разделах, подробно изложено в работе [64].

Определение плана проверок хранящейся системы при наличии минимальной информации о ее надежности. Случай бесконечного времени

По-прежнему считаем, что отказы системы выявля­ ются только при проведении проверок. Отличие решения задачи определения оптимального (в минимаксном смыс­ ле) плана проверок от решения, приведенного выше, бу­ дет заключаться только в том, что время работы систе­ мы примем равным бесконечности. Поэтому будем ми­ нимизировать максимальную среднюю стоимость, прихо­ дящуюся на единицу времени эксплуатации системы.

Наша стратегия будет заключаться в том, чтобы вос­ становить систему (до первоначального состояния) или заменить ее при первой проверке, во время которой об-

166

иаруживается отказ (с вероятностью единица), или осу­ ществить восстановление (замену) системы через время

■Здесь мы Т трактуем как гарантийный ресурс работы

..., хп, Хп+\) со значениями, расположенными в интерва­ ле (О, Т) следующим образом:

ную с системой, которая имеет случайное время до отка­ за g. Обозначим через R(\) отрезок времени, в течение которого система, имеющая случайный срок службы |, находится в эксплуатации, и назовем его циклом заме­ ны. Функционирование системы состоит из бесконечной последовательности таких циклов замен (при проверках и по истечении времени Т) .

Пусть С,- — стоимость, связанная с і-м циклом заме­ ны, а Ri — длина г'-го цикла замены. Тогда средняя стои­ мость в единицу времени эксплуатации системы

при условии, что МСі конечно.

167

Задача заключается в выборе плана X таким, чтобы минимизировать Ф(Л'), но так как Ф(Х) зависит от функции распределения F(t), которая неизвестна, за исключением единственного значения, то рассмотрим сначала

[х(0)(Х ) = тахф (^),

где максимум .берется по всем функциям распределения положительных случайных величин, удовлетворяющих (4.87). В конечном итоге необходимо, найти такой план проверок Х=Х*, при котором

p.(0)= tnin|A<0) (X ) = г т (Х).

X —

Рассмотрим случай, когда стоимость, связанная с циклом замены, имеет вид (4.52). Приведем результат решения этой задачи, полученный в работе [65]:

плану проверок. Далее план вычисляется рекуррентно из следующих соотношений:

168

\

В рассмотренных выше и во многих других практиче­ ских задачах средние потери имеют вид либо линейного, либо дробно-линейиого функционала относительно функ­ ции F(t). Поэтому для решения задачи определения наи­ худшей функции распределения представляет интерес описание вида функции распределения, на которой до­ стигается экстремум исследуемого функционала. Ответ на этот вопрос дают доказываемые ниже утверждения.

Если f(x), g(x) — непрерывные ограниченные функ­ ции, G(x) — функция распределения, то положим

j _ _ J / ( * ) dG (X)

(4.92)

°1’ g (X) dG (х)

169