книги из ГПНТБ / Коваленко И.Н. Полумарковские модели в задачах проектирования систем управления летательными аппаратами

х(0)>0. Дополним график функции x = x(t) (рис. 1.2) в точках разрыва отрезками прямых, параллельных оси Ох так, чтобы в результате получилась непрерывная кри­

Представим себе, что имеется бесконечный запас элемен­ тов с ресурсами надежности £0, іь • • •. Èn,__ Когда ре­ сурс надежности п-го элемента исчерпывается, этот эле­ мент отказывает и немедленно заменяется (п+1)-м элементом. Обозначим через y(t) ресурс надежности эле­ мента, служащего в момент L Если ресурс надежности исчерпывается со скоростью, равной единице, то у (t) бу­

y{t )=yt (см. выше). Если же ресурс надежности исчер­ пывается со скоростью y{t), тогда у'(t) = —ij(t) в интер­ валах между скачками процесса y(t). Если процесс х(() имеет производную, то х'(і) =у(і).

Так, например, представим себе устройство периоди­ ческого действия, отказы которого возможны в интерва­ лах длины ті, сменяющихся интервалами длины to, в ко­ торых отказы невозможны. Поведение функции у (f) в этом случае будет таким, как показано на рис. 1.3,6. Описанная ситуация характерна для практики эксплуа­ тации сложных систем.

Предположим, что процесс восстановления является стационарным и É (+0) =0. Пусть, далее x(t) непрерывно дифференцируема с вероятностью, равной единице. Обоз­ начим через \(t)dt вероятность того, что в интервале (t, t+dt) произойдет восстановление для процесса {ип}. Тогда

40

Рис. 1.3. Ресурс надежности элемента как функция времени

Формула для q{T\, Т2) имеет вид

вероятность события, состоящего в том, что в каждом из

предположив, что такая плотность существует. При этом предположении справедлива формула

где H { t ) — функция восстановления процесса (АД.

41

Пусть при тех же условиях \.\,(Tu...,Tm)dT[...dTm— ве' роятность события, состоящего в том, что в каждом^ из интервалов (Ти T\ + d T \ ) (7\„, Tm+dTm) произойдет по одному восстановлению процесса {м,Д, а в промежу­ точных интервалах (T\ + dTu 7\);...; + d T m~i, Tm) не будет ни одного восстановления. Тогда справедлива

цесс. траектории которого представляют собой ступенча­ тые функции со значениями «О» п «1». Допустим, что су­ ществует последовательность моментов t \ < t 2< . . . < t n<..~,

вкаждый из которых процесс изменяет свое состояние. Возможны два случая: 1) v ( t ) = 0, 0<^<^; 2) v(t) = 1,

0< /< г‘|. В первом случае ѵ (/)= 0 в интервалах (to, (з),

зависимые случайные величины. Если в интервале (0,£і) v(t) = 1 с вероятностью р, то Р (Л < 0 = С?0(Л; если v(t) = = 0 с вероятностью q = 1—р, то Р (Л <t) —Fo{t).

Длина каждого интервала (tn, Л1+1 ) ( п ^ \ ) , если в

этом интервале ѵ(Т)=0 распределена по закону P{tn+X— —tn< t) =F(t); если же v(t) = 1, то закон распределения P(tn+\—tn< t ) = G(t). Определенный таким образом про­ цесс v(t) называется альтернирующим процессом восста­ новления.

Обозначим через p(t) вероятность того, что ѵ(£) = 1. Для того, чтобы вычислить эту вероятность, введем вспо­ могательный альтернирующий процесс восстановления, у которого F(t) и G(t) — те же, что и у процесса v(t), но в качестве р и G0(t) взяты соответственно «1» и G(t). Обозначим через po{t) .вероятность того, что вспомога­ тельный процесс принимает значение «1» в момент t.

42

Пусть Ho(l') — функция восстановления простого про­

Пусть имеется некоторое множество S управлений s. Если мы выберем управление s £ S, то происходит неко­ торый процесс случайной длительности |(s) с ограничен­ ным по всему множеству 5 положительным математичес­ ким ожиданием x(s) и ,в течение этого времени выраба­ тываются случайные значения iii(s),...,rim(s) некоторых числовых характеристик.

Так, например, допустим, что поставлена в эксплуата­ цию новая система. Управление s определяется режимом ее эксплуатации, профилактическими работами, функци-

43

опальным контролем, ремонтом пли заменой элементов системы. Через случайное время |(s) система выйдет из строя и должна будет замениться новой. Тогда числовы­ ми характеристиками, выработанными за период £(s), будут следующие:

T|I (S) — объем работы, выполненной системой, .в опре­ деленных единицах;

il2 (s) — затраты на эксплуатацию системы.

По истечении времени £(s) процесс повторяется, т. е. мы снова выбираем управление (скажем, s'), в результа­ те чего происходит процесс случайной длительности |(s') и вырабатываются характеристики гр (s') ,...,r]m(s'). Пред­ положим, что этот процесс повторяется до бесконечности, так что имеем последовательность управлений s0= s', Si = =s',...sn... п соответствующую последовательность дли­

тельностей процессов £(s0), !(si),.-.,£(s„),-.. и числовых характеристик г| (su) , т| (si) , . . . , 1 1 (s„),..., где

ri(s)= (ri1(s ),..., \,(s )).

Основным предположением будет следующее. Если sn

n^. О, то эти моменты, вообще говоря, не будут образовы­ вать процесс восстановления. Однако, легко понять, ес­ ли si= s 2= ... = 5n=..., тогда это будет процесс восстанов­ ления.

В общем случае мы исключим из рассмотрения управ­ ления, при которых с положительной вероятностью

Рассмотрим функционирование системы в течение времени Т. Пусть tnT ^ T<tjvr +i• Тогда можно опре­ делить суммарные значения характеристик:

44

Записанные равенства можно интерпретировать сле­ дующим образом. Если па отрезке времени [О, Т] уложи­ лось некоторое число циклов, то суммарное значение ха­ рактеристики r|j за время Т есть сумма значений этой характеристики по данным циклам плюс некоторая часть значений Ртой характеристики по циклу, не уложившему­ ся полностью на отрезке {О, Г].

Теперь сформулируем следующую задачу. Обозначим

где и —(so, s 1 ,...,sn,...).

Обозначим через 50 множество стратегий и, для кото­ рых существуют такие постоянные Zj(u), что для любого

е > 0

Р (I г } (и, Т) - г, (и) |< е) —>1 (Г —>оо).

Требуется выбрать стратегию и £ S0 таким образом, чтобы вектор {z\ (и) ,...,2 т_і (и) } принадлежал некоторо­

му выпуклому множеству Ф и при этом функция zm(u) была бы минимально возможной.

Типичным примером является требование минимиза­ ции z m(u) при условии, что

(и)1 < у < / п — 1.

Будем считать, что множество 5 замкнуто и допуска­ ет операцию смешивания. Последнее означает следую­ щее. Пусть S i , . .. ,s N — управления из множества 5. Тогда

существует рандомизированное управление, при котором Si применяется с вероятностью ри где PU--->PN — любое распределение вероятностей. Нам понадобится лишь од­ но следствие этого свойства, а именно такое: множество векторов {t(s), i()i(s),...,Tj}m(s) } является выпуклым, где

Будем считать, что эти величины конечны для любого s € S и пусть

Далее можно определить

Ь * № = ^ Т Т ’ 1 < / < т - T(S)

Предположим, что выполнены следующие условия.

45.

1.Для любой последовательности управлений {sn}

где s* — некоторый элемент множества 5;

H — множество тех s, для которых^* (•s),...,<j'^_1(s))€ Ф; Н е — множество тех s, для которых (Ій* (s),..., (s))

принадлежит е-окрестности Ф£ множества Ф1.

Теорема 1. Стратегия «*=(s*, s *,.... s*,...) принад­ лежит So и является решением поставленной задачи.

Эта теорема носит экзистенциальный характер. Сле­ дующая же теорема указывает способ построения опти­

1 Совокупность векторов, каждый из которых либо входит в Ф, либо находится на расстоянии, меньшем е, от некоторого вектора из множества Ф, называется в-окрестностыо множества Ф.

46

Приведенная теорема позволяет во многих практи­ ческих случаях сводить задачу построения оптимальной решающей функции с неаддитивной функцией убытка

кзадаче с аддитивной функцией убытка.

Вкачестве примера рассмотрим задачу выбора опти­ мального плана профилактики, решенную в гл. IV иным методом.

Пусть время X жизни элемента распределено по за­ кону F ( t ) = P ( X < t ) . Если элемент отказал, то он заме­ няется новым, причем среднее время замены равно Ts. Если произведена профилактика ранее отказа элемента, то средняя длительность профилактики равна T,n< T s. Требуется оптимальным образом выбрать функцию рас­ пределения G(x) момента Y проведения профилактики с тем, чтобы максимизировать вероятность застать эле­ мент'в исправном состоянии.

Обозначим через т среднюю длительность цикла между возвращениями элемента в исходное состояние, а через ф — среднее время пребывания элемента в нера­ бочем состоянии (замены или профилактики) в течение одного цикла. Тогда готовность элемента

r _ P ( X < Y ) T s + P ( X > Y ) T m '

Tm)F' (/)) [1 ~ G 00] ^-KXu-h^i) 7'/n-

47

Если Ао и Ао + Аі одного знака, то решение будет вы­

всех t > 0. Очевидно, оба этих случая не реальны.

Если Ао< 0 и Ао + Аі>0, тогда решение будет одним из двух предыдущих.

Остается случай Ао>0, а Ло + Аі<0.

вале изменения Лі/А0.

Поскольку при t < y выражение в фигурных скобках положительно, а при t > у отрицательно, то оптимальным будет выбор

для Р, в которое подставлено последнее выражение G(t), и найти его максимум по у.

1.6. ПРАВИЛА ОСТАНОВКИ

Предположим, что наблюдается некоторая последова­

иимеющая следующий смысл. Пусть ѵ (хи х2, ... х„,...) =

=т. Тогда, если g, = JCI....... gm = xm, процесс наблюдения случайной последовательности заканчивается на пг-м

блюдений должно приниматься на основании уже имею­ щихся, а не будущих наблюдений,

48

\

Если v(gi, g2, ■■•, i«,...) =0, то это означает, что при­ нято решение вообще не производить наблюдений над случайIIыми величинами.

Рис. 1.4. «Дерево» процесса реализации случайных величин

Правила остановки хорошо представить в том слу­ чае, когда каждая из случайных величин может прини­ мать лишь конечное число значений. В этом случае, как

Фп

показано на рис. 1.4, процесс реализации случайных величин gi, g2, ■■• можно представить в виде «дерева». Каждой вершине 1-го ранга соответствует некоторое зна­ чение gi; каждой вершине 2-го ранга — некоторое значе­ ние пары (gi, g2) и т. д. Правило остановки в этом случае

49