книги из ГПНТБ / Коваленко И.Н. Полумарковские модели в задачах проектирования систем управления летательными аппаратами

3.2. УПРАВЛЕНИЕ ЗАПРАВКОЙ САМОЛЕТОВ В ВОЗДУХЕ

Вопросам увеличения дальности полета самолета и способности при минимальном запасе топлива доставлять грузы на предельные расстояния по-прежнему уделяется большое вшім.ание. Одним из эффективных средств по­ вышения дальности полета и полетной нагрузки считают системы заправки самолетов в воздухе (см., например,

147]).

В настоящее время системами заправки оснащаются не только бомбардировщики и военно-транспортные са­ молеты, но и истребители. В качестве заправщиков ис­ пользуются как специализированные, так и боевые само­ леты, снабженные подвесным заправочным оборудова­ нием. Специализированные заправщики применяются для дозаправки самолетов ВВС Англии, США, Франции и других стран.

Создание систем, обеспечивающих заправку в полете, идет несколькими путями и диктуется соображениями, связанными с выбором оптимальных параметров для различных целевых назначений.

Основные тенденции в развитии систем заправки та­ ковы:

— расширение диапазона скоростей и высот за­ правки;

—■сокращение времени обнаружения, стыковки и пе­ релива;

—снижение веса системы;

—обеспечение автономности энергопитания;

—снижение нагрузок на топливоприемники заправ­ ляемого самолета;

—унификация заправочного оборудования.

Ведутся работы по автоматизации контактирования; при этом используется опыт наведения ракет на цель и стыковки космических аппаратов на орбите. Сколько-ни­ будь детальное рассмотрение применяемых за рубежом систем заправки и организации их эксплуатации выхо­ дит за рамки этой главы. Заинтересованного читателя отсылаем к работе [47].

Если пренебречь инфинитезимальным поведением системы заправки и учитывать лишь временные и отчасти качественные характеристики процесса заправки, то та­ кая система с позиций теории массового обслуживания может быть рассмотрена как СМО смешанного типа.

120

Приведем иллюстративный пример, из которого ста­ новится ясным, какие характеристики системы заправки в полете могут быть определены при подходе к этой проб­ леме с позиций исследования операций и какие исходные данные являются для этого необходимыми и достаточ­ ными.

Пример 3.3. В районе дозаправки постоянно дежурит п самоле- тов-дозаправщмков. Если дозаправка началась, то опа осуществля­ ется до конца и длится в среднем 10 мин. Если все дозаправивши заняты, то самолет нуждающийся в дозаправке, некоторое время мо­

район дозаправки за час прибывает 24 самолета. Число самолетов, ожидающих дозаправки, ничем не ограничено.

духе за единицу времени; с9 — ущерб от простоя одного дозаправщика за единицу вре­

мени; с:і — затраты на эксплуатацию одного дозаправщика за едини­

приведенных в книге [35]. определяем характеристики гипотетичес­ кой СМО.

1. Вычисляем параметры а и ß:

10

а = 24— = 4 ,

60

_Ю_б0

= 0,5.

6020

2.На основе накопленного опыта в организации систем доза­ правки ориентировочно определяем область допустимых значений

числа каналов обслуживания. Пусть л=1, 2, 3, 4, 5. Для этих значе­

На основании изложенного можно отметить, что не­ которые задачи организации и управления воздушным

121

Глава IV

ПЛАНИРОВАНИЕ ОБСЛУЖИВАНИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

4.1. ПЛАНИРОВАНИЕ ЗАМЕНЫ ОТДЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ ПРИ МГНОВЕННОЙ ИНДИКАЦИИ ОТКАЗОВ

В процессе работы САУ возникает необходимость в периодической замене отдельных наиболее важных и наименее надежных элементов.

Рассмотрим элемент с функцией распределения вре­ мени безотказной работы F(t) =Р(Х<1) и монотонно возрастающей интенсивностью отказов (F'(t) = f (t) ).

(4.1)

'1 — F (0

Здесь X — случайная величина времени от момента возвращения элемента ів исходное состояние до отказа. Для элемента назначается профилактическое обслужива­ ние (контроль) через случайное время Y, распределен­ ное по закону

G ( t ) ^ P ( Y < t ) .

I

Выполняется профилактическое обслуживание через min (X, Y) единиц времени. Другими словами, если пос­ ле предыдущего возвращения в исходное начальное сос­ тояние (момент (2 на рис. 4. 1) элемент безотказно рабо­ тал время У (в этом случае X>Y) , то профилактическое обслуживание проводится сразу же по истечении времени Y, причем время проведения профилактики предполага­ ется случайным. Обозначим его символом V; функция распределения величины V Fv{t) произвольна, а матема­ тическое ожидание '.М{У]= Гп<оо.

Если же после предыдущего возвращения в исходное состояние (после моментов времени /= 0 и t=U) элемент отказал до истечения срока, равного У=г/і и У=£/з и т. д.

123

величиной U, имеющей произвольную функцию распре­ деления Fc(t) и математическое ожидание M[U] = T3< oo .

Будем считать, что Ти< Т я.

о

Рис. 4. 1. К принципу осуществления замен через слу­ чайное время

Задача заключается в отыскании такого периода профилактического обслуживания, при котором элемент обладает максимальной вероятностью нахождения в ис­ правном состоянии в произвольно выбранный момент t (максимальная готовность) и максимальной вероят­ ностью исправного состояния на отрезке времени (, / + х (максимальная надежность за время работы в воздухе х). Обозначим р(х, і) вероятность того, что элемент окажется исправным в произвольный момент t и безот­ казно проработает в воздухе в течение времени і + х.

Время между очередными моментами возвращения элемента в исходное состояние обозначим через Z. Тогда из рис. 4. 1 ясно, что

(4.2)

Последовательные реализации случайной величины Z обозначим ZA.

Величины Zh образуют последовательность независи­ мых, одинаково распределенных случайных величин, т. е. образуют процесс восстановления с ц= M[Z] и функцией восстановления H(t) =M[Nt\, где Nt — максимальное зна­ чение п, при котором где

Sn —Z1-rZ2+ ... + Zn.

Если случайные величины X и Y обладают плот­ ностью, то dH(() можно рассматривать, как вероятность

124

того, что возвращение элемента в исходное состояние (восстановление) завершится в момент (, так как вероят­ ность такого восстановления на малом отрезке At равна H ( t +A i ) —H(t)+0(At). Математическое ожидание чис­ ла восстановлений элемента на малом отрезке времени At равно

рис. 4.2 изображена поясняющая диаграмма. Событие,

мент t—£ происходит восстановление элемента с вероят­ ностью dH(t—I), и далее в течение времени g элемент не подвергается профилактическому обслуживанию с ве­ роятностью 1 —G(%) и не отказывает за время 1+х с ве­ роятностью 1—F(E,+x). Так как £ меняется в интервале от 0 до t, то каждому значению g в данном интервале соответствует определенное значение величин H(t—g),

Отметим, что в течение фиксированного отрезка вре­ мени -V (работа ів воздухе) отказ элемента возможен,

а профилактическое обслуживание исключено, что учте­ но в выражении (4. 4). •

125

12Ö

Ітобы перейти к определению оптимального периода

контроля (профилактического обслуживания), опреде­ лим функцию G(t) следующим образом:

т. е. предположим, что контроль назначается через посто­ янное время Ти после включения элемента в работу.

Обоснование того, что наилучшее распределение

G(t) является вырожденным, дано в работе [6] и п. 4.5. Тогда

Вычислим производную выражения (4.11) по Тк, введя обозначения:

[К[ 1 - ^ И 1 ^ = А ; F(TK)= F; f ( T K) = f , (4.13)

о

использовав формулу

и считая, что действительное значение х достаточно мало для возможности такой аппроксимации. Тогда

d p (X , Т к) __ ( 1 - F - f x ) ( А + T 3F + Т П~ T nF )

127

После проведения элементарных алгебраических преобразовании, приравнивая производную нулю и пре­ небрегая членом Гп/л'-СІ, получим

о

Покажем, что при Тэ> Т п и монотонном возрастании K(t) функция р(х, Т,;) имеет единственный максимум. Для этого достаточно убедиться в том, что выражение

1 - f (Г,) + ).<ГК0 f [ l - f <»>]*»

О

при изменении Ти меняет знак плюс на минус, а это возможно лишь тогда, когда функция

монотонно убывает с возрастанием Тк, т. е. когда ее зна­ менатель при этом монотонно возрастает. Следователь­ но, производная от знаменателя выражения (4. 18) дол­ жна быть положительна:

функция и производная от нее положительна, а интеграл положителен потому, что интегрируется положительная величина.

При практическом использовании формул (4. 15) или (4. 16), в которых правая часть зависит только от вели­ чины Тк, строят график значений правой части в функции

т

Гк, а по оси ординат откладывают отношение ---- -— и

Тз+ X

128

для каждого значения отношения графическим путем

определяют оптимальное время контроля (профилактического обслуживания).

После определения ве­ личины Hjopt организация эксплуатации элемента строится так, как пока­ зано на рис. 4.3, где светлыми кружками обо­ значены моменты выпол­ нения плановых замен, а

темными — неплановых, обусловленных отказами.

Пример 4. 1. Имеется непрерывно работающая система 1 с функ- иней распределенмн времени безотказной работы следующего вида:

F (t) = 1 — е

где 9=0,0005 1/м2.

Время выполнения плановых профилактических работ на систе­ ме постоянно и равно 15 ч (Гп—15 ч); среднее время устранения от­ каза в системе с последующим возвращением ее в исходное состоя­ ние равно 20 ч (Г3= 20' ч); оперативное время работы системы 10 ч (х=10 ч). Определить из условия обеспечения максимальной го­ товности системы к работе в произвольный момент времени t и мак­ симальной надежности системы за время от t до 7+10 ч интервал вы­ полняемых на ней плановых профилактических работ Т„, если эксплу­ атация системы организуется так, как показано на рис. 4.3.

Решение. Убедимся в том, что в нашем случае функция Я(/) мо­

Расчетные данные функции <р(Т,г) для ряда значении ее аргумен­

129