Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Григоркина Р.Г. Прикладные методы корреляционного и спектрального анализа крупномасштабных океанологических процессов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 183 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

э к с п е р и м е н т а л ь н ы ми оценками автокорреляционных функций часто можно добиться при использовании семейства функций

				2 D j e - « i l T i k		c o s (Зд.				(2.22)
				3=1
П а р а м е т р ы		Dj,	а; и	(3; этой суммы могут быть					приблизительно
оценены по функции				спектральной плотности				(см. § 3). Ка к бу
дет	показано в гл. I I I и IV, автокорреляционная								функция (2,22)
описывает		внутренние связи широкого					класса	океанологических
процессов, а параметры D,-, a.;, \ij в ряде случаев									имеют вполне
определенный			физический		смысл.
~—	Рассмотрим		вопрос о		погрешностях		определения			автокорре
ляционной		функции		по	оценке	вида	(2.4). Среднее			значение

к в а д р а т а ошибки этой оценки может быть представлено в виде

M{[Rx(T)~Rs(xm=M{[MR		(х)-Rx(r)V}	+
+M{[R'X	(x)-MRx(x)Y-}=,r[R*X	(*)] •	(2.23)

Первое слагаемое суммы (2.23) есть к в а д р а т смещения оценки, второе — дисперсия оценки. Смещение оценки при фиксирован ной продолжительности наблюдений зависит от сдвига т и мо жет быть определено следующим образом (Романенко, Сергеев, 1968):

Ьпх	=	^ Д —		J	(	1 - - = Д —		) R ( 0 + ; т ) d@ .	(2.24)
		1	п X	0	4	I ц	X
Смещение	оценки		уменьшается				при	увеличении Г,,,	и при
[Тш—т)->-оо оценка			(2.4) является асимптотически не смещенной.
Дисперсия		оценки		(2.4)		определяется выражением			( Р о м а
ненко, Сергеев, 1968)
		а ^ = М { [ Я * ( т ) р } - [ М Д * ( т ) Р =
^		Г я - т	Тп-х
(Гп-r)-	-	J	J М { [ х ( Л ) х ( / 1 + т ) ] [ х ( / 2 ) л - ( 4 + т ) ] } ^ 2 -
(Гп-r)-		и	0

- [ ^ ( т ) - - ^ Д —			j (1-- ^Д—)				Rx(e+x)d®¥		(2.25)
Ти-х		X	•'	\ *	7 >	X '
1 тг		X		\	J п	X '
Д л я стационарного	случайного				процесса		с нормальным		распре
делением ординат вместо				(2.25)	получим
					Т„-т		0	\
							0	\
								X

			X	+Rx(В+т)		Я* (6 — г ) ]	d 6 -
			Т„-%	Т„-х Т „ - т
			I	I	J	[Rx(h-t2-r)Rx(h-t3+r)-\-
( 7	»	т	) 3 о	о	о
			+RA*i-ts)		Rx (ii-h)	] dtidhdt3+
				T,,-x
	+			J ( i - ^ ) « . ( « « » ] +
		Г ж	- т
+ - ^ r - 5	-	J	1 -	^ —	• [7У?, ( 0 - T ) -<3RX		(в+т) ] d 6 -
- ч м - P - ' f					( . - ^ Д - ) j w e + o * + :
					О

Т.—г

(2.26>

о- »

где /н( — математическое ожидани е случайного процесса.

Из (2.26) следует, что дисперсия оценки зависит от величины математического ожидания, продолжительности наблюдений и

сдвига х. В этом			случае, когда		процесс имеет		нулевое математи
ческое ожидание			или /n t определено достаточно точно,					в ы р а ж е
ние	(2.26)	упрощается
				9	Т " ~ Х
				Н и — т ; -		„
		X	[ ^ ( в ) + / ? , ( г + 0 ) / ? , ( т - в ] ^ 0 .					(2.27)
П р и	вычислении		о£ (т, Гц) по (2.26)			и (2.27)	истинное	значение
автокорреляционной функции ^ ( т ) заменяют ее оценкой.
Оценка		вида	(2.4)	является	состоятельной, та к как			квадра т
ее ошибки		стремится к		нулю при (Тп—т)—>-оо,			т. е.

I i m M { [ ^ . : ( T ) - ^ ( t ) ] 2 } = 0 .

<Тц -т)-мх>

Р а с ч е т е 2 (-г, т п ) непосредственно по (2.26) или (2.27) связан

с громоздкими вычислениями, которые по объему сравнимы с вычислением самой оценки автокорреляционной функции. З а д а ча существенно облегчается, если известно аналитическое выра жение Rx(x). В этом случае дисперсия оценки может быть выра -

ж е н а через п а р а м е т р ы				аппроксимации.			В	частности, дл я авто
корреляционной		функции типа затухающей косинусоиды (2.15)
В. А. Р о ж к о в ы м		(1968)		была получена			следующая		зависимость
.для дисперсии		оценки
,	т , _	D*	/	2 а 2 + Р 2	,	Г	,	2°а +,Р=	1	v
а - < л ( т , У „ ) -			1 2 а ( и - + р 2 ) +			LТ +		2 а ( с г + р Ч J		Х
X —	- 2 Р Т	+ [-2 + \|р\|^;2 Р 0					] х в - ^ 5 Щ 2 р т } .			(2.28)

'Согласно (2.28), минимальное значение дисперсия оценки прини мает, когда автокорреляционная функция пересекает ось абс цисс, а наибольшего значения достигает при т = 0

/У 9r/2_l-R2

Подставив в			(2.29)	выражение дл я интервала			корреляции (2.17),
лолучим
						лп"
				an АО,	TB) =	-j±-T$op.			(2.30)
•Формула		(2.30) может			быть	т а к ж е выведена		непосредственно
из	(2.28)	п р и т = 0 .
	Д л я остальных			ординат автокорреляционной				функции
				anjr,					(2.31)
И з	(2,30)	и	(2.31)	следует, что дисперсия оценки тем					меньше,
чем быстрее			затухает автокорреляционная				функция.		В то ж е

время дисперсия оценки зависит от сдвига т. С увеличением т

при

фиксированном

Г ш

точность

ординат оценки

понижается .

Поэтому

необходимо,

чтобы

выдерживалось

т а к ж е

определен

ное соотношение м е ж д у

хт

Тп,

или

учитывая,

что хт

обычно

целесообразно

назначать

равными

. м е ж д у

т ^ р

Г н . Н а й

д е м

по

(2.31)

продолжительность

наблюдений,

необходимую

д л я

получения

оценки

R*x (х)

точностью

1 %

от

дисперсии

процесса. Приняв, таким

образом,

а1

(т, Т„) —0,0\D\,

получим

7 ^ - т « 4 0 0 т Г О р

•

(2.32)

Для/?д!(т)

при т = Т т = т ( ^

(2.32) имеет вид

Тп^Шх®

+ т «

•

(2.33)

HOP '

l!OP

Так как д а ж е для динамически неустойчивых крупномасштаб ных океанологических процессов т ' ^ , как правило, имеет по рядок суток, то для получения оценки автокорреляционной функ ции этих процессов с точностью 10% продолжительность наблю дений д о л ж н а быть не менее года. П р и практическом применении зависимости (2.33) для определения продолжительности наблю дений возникают затруднения, так как необходимо располагать априорной информацией для выбора т}^ и • Обычно т а к а я

информация отсутствует.

Необходимую продолжительность наблюдений можно при ближенно найти па основе предложенных В. В. Солодовииковым (1960) зависимостей, связывающих среднеквадрэтическую ошиб ку R* ( т ) с Длиной реализации и периодом самой низкочастот ной составляющей исследуемого процесса. Известно, что любой стационарный случайный процесс на бесконечном интервале мо жет быть с достаточной степенью точности аппроксимирован линейной комбинацией гармонических колебаний со случайными

амплитудами Аи	и ф а з а м и cp/t
	*(t) = 2	А* sin(co; ,/+cP ; [ ) .	(2.34)
		к
2 я
где О)Й= - =	круговая	частота 1 /г-й гармоники,	период коле-
Л k

бамий которой 7V Тогда среднеквадрэтическая ошибка оценки автокорреляционной функции к а ж д о й составляющей может быть

представлена

в следующем виде (Солодовников,

I960;

Котюк

и др.,

1967):

i t

sin 2сй? £ (Ги —т)

. „

I о

/о Q,K\

г|нх

г)

—

(Тв,

—

— co s [ < в л

( Г я — т ) + 2 ф й 1 .

(2.Эо>

Li СО ьд i n

Как

следует

из

(2,35),

относительная

среднеквадратическэя

ошибка имеет

порядок

2 ц ( Г „ т) _ М

Т п

> г )

{ 2 Щ

З а д а в ш и с ь

величиной

максимального

сдвига

автокорреляцион

ной функции,

равной

периоду

самой низкочастотной

гармоники,

присутствующей в процессе, получим соотношение м е ж д у про должительностью наблюдений, максимальным сдвигом хт и от носительной среднеквадратической ошибкой

1 Нередко вместо круговой частоты оперируют с циклической частотой fr

измеряемой в циклах в единицу времени. Круговая частота связана с цикли ческой соотношением со=2я/ .

23'-

г н ^ т ™ ( 1 + - ^	- ) .	(2,37)
И з (2.37) следует, что для вычисления	ординат	оценки с точно

с т ь ю , например, 3% от общей дисперсии процесса	необходимо,
чтобы
Г н « . ( 5 - = - 6 ) т т ,	(2.38а)
а с точностью 2%
TBfis9xm.	(2.386)

Таким образом, надежное определение ординат оценки автокор

реляционной функции возможно		лишь дл я тех составляющих
процесса, период	которых в б—10 раз меньше продолжительно
сти наблюдений.	Если в процессе	имеются более низкочастотные

компоненты, то при помощи фильтрации их предварительно ис ключают из реализации .

	В ряде случаев для определения погрешности ординат						оце
нок	нормированных		автокорреляционных функций			применяют
т а к ж е		выражение для дисперсии коэффициентов			парной корре
ляции		(Лукьянов, Фролов, 1969)
			* ' , = ° 7 v * ) 2 -			(2-39)
где г2х—коэффициент			парной	автокорреляции	(т. е. значение
нормированной автокорреляционной функции на					фиксированном
			2
сдвиге		г,) . Дисперсия	аГх обратно пропорциональна			числу	чле
нов	ряда наблюдений		и зависит	от абсолютной	величины		коэф

фициентов автокорреляции, достигая максимума в нулях норми рованной автокорреляционной функции и минимума в ее экстре мумах . В случае, когда гх невелики, отклонение коэффициентов •автокорреляции от их истинного значения распределены по нор мальному закону; тогда доверительные границы дл я оценки нор мированной автокорреляционной функции с доверительной ве роятностью 0,95 могут быть найдены ка к

•(2.40)

У Г п - T i	X

Погрешность автокорреляционной функции за счет дискрети зации непрерывного процесса может быть приближенно найдена

по следующей зависимости (IKOTIOK И др., 1967) :

	N-l
1 < А ' ) =	Л ^ Т 2 Г ( / A / - 0 , 5 A 0	ffi^',	•	(2.41):
где f" (j—At—0,5At)	— в т о р а я производная	произведения		x(t) X
Xx(t-\-x) в точке	(jAt—0,5Д/). Эта погрешность будет		минималь
на, если выполняется соотношение
	Д * = — .			(2.42)
	10С0в
где сов — высшая	частота составляющей процесса. И з (2.42) сле
дует, что дл я получения оценки автокорреляционной			функции по

дискретным данным необходимо, чтобы на период самой высоко

частотной гармоники приходилось ЙО наблюдений.	В качестве
соЕ, ка к правило, выбирают частоту, выше которой	гармониче

ские составляющие имеют незначительную амплитуду. Тогда


высокочастотные гармоники не могут оказать существенного					вли
яния на характер изменения автокорреляционной функции					(Вол
гин, Каримов, 1967). Индикатором		наличия	значительных			по-
амплитуде высокочастотных	составляющих,		период	которых
сравним или меньше интервала дискретности, служит				изменение
/?* до первого нуля функции. Если первый нуль /?* (т)				приходит
ся на сдвиг n=At, то м о ж н о	полагать, что в процессе			присутст
вуют высокочастотные составляющие		с периодом, меньшим				At.

Д л я нормальных стационарных случайных процессов опти мальный интервал дискретности может быть т а к ж е найден при условии, что известен максимальный интервал корреляции . Ка к было показано В. -В. Волгиным и Р . Н. Каримовым (1967), дл я восстановления нормированной автокорреляционной функции подискретным данным необходимо, чтобы

* < 4 ^ * \| " ( - т - ) \| - .	<2 "4 3 )
где J и ^ — g — / J — м а к с и м а л ь н о допустимый	уровень погреш

ности восстановления нормированной автокорреляционной фун кции по ее дискретным значениям, которые разделены интерва лом Ат. П о л а г а я At=Ax и задавшись максимально допустимой погрешностью, можно определить оптимальный интервал дис

кретности наблюдений. Н а п р и м е р , при г) ( ~ 7 j ~ ) ^ 0 , 0 5	имеем
(о
A ^ J ^ E _ .	(2.44)-

Существенное влияние на репрезентативность оценок авто корреляционных функций оказывает нестационарность процес-

са. Океанологические процессы часто можно считать квазистацноиарными, т. е. процессами стационарными (как правило, в широком смысле) лишь па определенных временных отрезках. Стационарные в широком смысле процессы ( § 1 ) имеют постоян ное математическое ожидание и постоянную дисперсию. Авто

корреляционная функция таких	процессов зависит лишь от вре
менного сдвига т. Вопросы обнаружения		и устранения иестацио-
нарности по математическому	о ж и д а н и ю		обычно не	встреча
ют существенных затруднений	(см.	§	4). Труднее	устано

вить нестационарность по дисперсии и автокорреляционной функции.

Исследования стационарности крупномасштабных океаноло

гических процессов по	автокорреляционной	функции практиче
ски отсутствуют. М е ж д у	тем можно ожидать,	что некоторые оке

анологические процессы определенных временных масштабов являются нестационарными. Причины иестациопарности по ав токорреляционной функции могут быть различными: изменение стратификации среды, модуляция внешнего воздействия и т. д. Так, например, интенсивность ветрового перемешивания верхне го слоя океана в средних шпротах летом, когда воды обычно зна чительно стратифицированы, будет зависеть от того, происходи

ло ли ветровое перемешивание в предыдущие				моменты времени,
т.	е. эта	интенсивность	зависит от предшествующей		ситуации.
В	зимний	период, когда	воды верхнего слоя	океана	гомогенны,

интенсивность ветрового перемешивания не зависит от предысто рии. Очевидно, что в связи с этим автокорреляционные функции глубины залегания верхнего гомогенного слоя в летний и зимний

период будут значительно			отличаться.
Экспериментальная проверка стационарности требует нали
чия по	крайней	мере нескольких реализаций процесса, которые
д а л е к о	не всегда	имеются	в распоряжении исследователя. Ч а щ е
располагают лишь одной			реализацией достаточной длины. П р е д

п о л а г а я эргодичность процесса, эту реализацию разбивают на

отдельные,		одинаковые	по	продолжительности		интервалы,	д л я
к а ж д о г о	из	которых	вычисляется		оценка автокорреляционной
функции.	Если расхождения			м е ж д у	оценками	превышают	2—3

среднеквадрэтические ошибки их определения, то процесс сле дует считать нестационарным . Сравнение оценок рекомендуется

производить на		сдвиге т = 0 ,	а	т а к ж е д л я тех	ординат, абсолют
ные нормированные значения				которых л е ж а т	в пределах		0 , 4 ^
^	\| ^ ( т г ) \| ^ 0 , 6	(Котюк и др.,		1967). Признаком		нестационарно
сти	по автокорреляционной		функции д а ж е в		том	случае,	когда

расхождения м е ж д у ее оценками находятся в пределах точности вычисления, может служить закономерное изменение сравнивае мых ординат. Рассмотрим следующий пример.

П о результатам автокорреляционного анализа срочных на блюдений н а д температурой поверхности воды на станции пого ды «Танго» было установлено закономерное увеличение от лета

к зиме дисперсии температурных колебаний

с временными

м а с

ш т а б а м и

от 6 часов до

10 суток

(табл.

1). О т сезона

к сезону из

менялись т а к ж е и ординаты нормированной

автокорреляционной'

функции па других фиксированных сдвигах

т ;

(табл. 1). М е ж с е

зонная

изменчивость дисперсий

данном случае,

по-видимому..

Т а б л и ц а

Статистические характеристики

колебаний

температуры воды' на станции погоды «-Танго*

(29° с. ш., 153° в. д.)

по наблюдениям за период

5 VII 1951

—5 VII 1953

гг.

Коэффициент

Сезоны

Дисперсия

автокорреля

грасГ>

ции

на

сдвиге ции ни сдвиге

Т / = 3

час

•^=24

час

Лето

. . .

0,29

0,47

0,39

Осень . . .

1,49

0,54

—0,03

Зима

. . .

3,72

0,84

—0,10

Весна . . .

0,31

0,84

0,44

Лето

. . .

0,37

0,69

0,37

Осень . . .

1,21

0,73

0,34

Зима

. . .

2,67

0,76

0,01

Весна . . .

0,43

0,73

0,11

связана с адвекцией тепла течением при

существенно

и з м е

няющейся

от

сезона к

сезону

горизонтальной

стратификацией

среды.

Горизонтальные

градиенты

поле

температуры

резко

увеличиваются зимой и уменьшаются летом. Изменения других ординат автокорреляционной функции о т р а ж а ю т появление в летний период относительно устойчивого и значительного по ам плитуде суточного хода температуры . Интересно т а к ж е отметить,


что от года к году оценки ординат автокорреляционной							функции
для одних и тех ж е			сезонов	имеют относительно устойчивые зна
чения	(табл. 1), т. е. процесс температурных колебаний						указан
ных временных		масштабов		можно считать	стационарным в п р е
делах	к а ж д о г о	сезона.
Д л я	устранения		нестационарности по дисперсии			выполняют
нормирование		реализаций		исследуемого	процесса	по	текущим

значениям среднеквадратического отклонения а* (т) = У£>* (t)

где Xtf(t) — н о р м и р о в а н н а я реализация .

З н а ч е н ия or* определяют по отдельным интервалам реализа

ции, соответствующим участкам квазистационарности процесса. При нестационарности в отношении других ординат автокор реляционной функции от оценки вида (2.4) приходится отказы ваться и переходить к вычислению автокорреляционных функ

ций нестационарных процессов.

В заключение на конкретном примере рассмотрим использо вание автокорреляционной функции дл я решения некоторых оке анологических задач . Исследуем колебания вертикального гра

диента	температуры в	термоклине по годовому	ряду	среднесу
точных	наблюдений в	пункте, находящемся в	районе станции
погоды	«Танго». Значения вертикального градиента			температу

ры снимались с синоптических карт вертикального градиента, пе редаваемых в эфнр с о. Гуам. Исходный ря д центрировался от

носительно среднегодового значения. По формуле	(2.5) опреде
л я л а с ь оценка R*_(lAt) при N—365, / = 60, At=l	суткам и по

(2.9) вычислялась нормированная автокорреляционная функция ((рис. 2, кривая 4). Как следует из графика на рис. 2, затухание

Рис. 2. Автокорреляционная функция колебании вертикального градиента температуры в термоклине:

1 — исключена низкочастотная составляющая; 2 — аппроксимация зави симостью (гл. 1, 2.15); 3 — аппроксимация зависимостью (гл. 1, 2.20); 4 — не исключена низкочастотная составляющая

оценки происходит по закону, близкому к экспоненциальному.


П а р а м е т р затухания а, определенный		по (2.18),		о к а з а л с я	рав
ным 0,03	Аппроксимирующее	в ы р а ж е н и е		имеет вид
сутки	г* ( T ) . = e - ° . 0 3 t .
	г* ( T ) . = e - ° . 0 3 t .
Волнообразные	отклонения коррелограммы		от экспоненты		ука
з ы в а ю т на то, что в процессе, по-видимому,			присутствует квази

периодическая составляющая . Период этой составляющей, опре

деленный по коррелограмме, близок	к 20—22 суткам. Вычислен-
	(»)
ные по (2.16) интервалы корреляции	оказались равными т К о р ^

^ 3 0 суткам,

« 1 5 суткам. Фактически величина максималь

ного интервала корреляции будет намного больше 30 суток, та к к а к д а ж е на максимальном сдвиге в 60 суток г* (60) « 0 , 2 . З н а чительная временная инерция исследуемой характеристики обус ловлена преобладающим вкладом сезонной составляющей в об щую дисперсию процесса. М о ж н о предполагать, что при анализе ряда наблюдений продолжительностью в несколько лет и при соответствующем увеличении временного сдвига т т , г*, (т) при


б л и ж а л а с ь бы к периодическому колебанию с годовым				периодом.
Продолжительности наблюдений в 365 суток явно				недоста
точно дл я статистического	описания сезонной		изменчивости. В
то ж е время доминирующая	интенсивность последней			не	позво
л я е т установить по результатам		анализа статистические			особен
ности краткопериодных колебаний. Учитывая условия				(2.38 а, б)
предполагаем, что при 7 = 3 6 5		суток н а д е ж н а я	оценка		может
быть получена лишь дл я процесса, в котором период				низкоча
стотной гармоники не превышает 30-—60 суток. В связи					с этим

из ряда наблюдений с помощью высокочастотного фильтра Тыоки (см. § 4) были исключены все составляющие с периодами, «большими 30 суток. После фильтрации интенсивность внутриме-

Рис. 3. Доверительные границы (1) оценки автокор реляционной функции (2) вертикального градиента температуры в термоклине^

I Н:

<<< < Предыдущая 1 23 / 183 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ