книги из ГПНТБ / Григоркина Р.Г. Прикладные методы корреляционного и спектрального анализа крупномасштабных океанологических процессов

Процент

значении,

превышающих

данное

Степени

свободы

95

90

10

5

2

0,05

0,10

2,30

2,99

3

0,12

0,20

2,08

2,60

4

0,18

0,26

1,94

2,37

5

0,23

0,32

3

3

1,85

2,21

6

0,27

0,37

1,77

2,10

8

0,34

0,44

1,68

1,94

•10

0,39

0,49

1,60

1,83

12

0,43

0,53

1,53

1,75

15

0,48

0,57

1,48

1,66

20

0,54

0,62

1,42

1,51

30

0,62

0,69

1,34

1,46

50

0,69

0,75

1,26

1,34

100

0,77

0,82

1,18

1,22

7 ' о = т т = 6

0

суткам, q=40,

Д т = Д ^ = ! 1

суткам.

Н а

основании (3.25) определим дискретность эмпирического

спектра

Д ш = 0 , 0 5

рад/сутки.

Г р а ф и к полученной оценки

пока­

зан

на рис. 5. К р и в а я функции

спектральной

плотности исследу­

емого

процесса

имеет один

максимум

на

частоте

0,25—

0,30

рад/сутки. Доверительные границы максимума, определен­

ные

с вероятностью

0,90, "показаны

на рис. 5

стрелкой.

Такой

вид

спектральной

плотности,

к а к

отмечалось

ранее,

характерен д л я процесса, в котором энерговозбуждение

проис­

ходит в пределах узкой полосы

частот. П е р и о д

энергонесущего

колебания,

определенный

по частоте максимума, на­

ходится

в

пределах

20—

1

'Лзом!

над

.25

суток.

П а р а м е т р

а,

2,5

вычисленный

по

эффек ­

Г

тивной

ширине

эмпири­

ческого

спектра,

равен

0,09 I/сутки,

т.

е.

близок

к значению, которое

было

получено по функции ав­

токорреляции.

П р и м е р

2.

Поставим

0,25

0,51

0,76

1,01

/,27

7,5?

1,77 2,03

з а д а ч у определения

ха­

рад/сцткч

рактерных

временных

Рис.

5. Спектр

впутримесячных флукту­

масштабов

колебаний

ации

вертикального

градиента

темпера­

уровня

в

Чукотском

мо­

туры

в термоклине

ре

и Беринговом проливе.

С

этой

целью

воспользуемся

наблюдениями

за

уровнем

моря

у

о. Колючий

и

о. Р а т м а н о в а

продолжительностью

90

суток с

ток. Анализ графиков функций спектральной

плотности позво­

л я е т выделить

несколько энергонесущих зон

в спектрах коле­

баний

уровня,

локализующихся в области временных

м а с ш т а б о в

•б—8;

2,5; 1,8;

1,6; 1 и 0,5 суток. Представляется в а ж н ы м про­

извести оценку

вклада дисперсий этих спектральных

компонент

Dj=S*

(ю)Асоэф,

т д е 5 m i ( o ) ) — з н а ч е н и е

максимума

спектральной

плотности

на

энергонесущей

частоте.

Р е з у л ь т а т ы

расчетов приводятся в табл .

3.

Дисперсия колебаний уровня, см2

Т а б л и ц а

3

Период

Период

Дисперсия

остальных

6—8

суток

0,5

суток

колебании

Пункункт

Общая

вычис­

% от

об­

вычис­

% от общей

иычис-

% от общей

ленная

щей диспер.

ленная

диспер.

ленная

диспер.

о. Колючин

С39

525

82

57

9

57

9

•о. Ратманова

388

227

58

94

25

67

17

в этих

ж е

временных м а с ш т а б а х

определяется

доминирующими:

6—8-суточиой и полусуточной

спектральными

компонентами.

Сумма дисперсий этих двух компонент составляет 83%

от общей

дисперсии

колебаний уровня на

о. Р а т м а н о в а .

Дисперсия всех

остальных

перечисленных

выше

энергонесущнх

спектральных

компонент

составляет всего

9%

(о. Колючий) и

17%

(о. Р а т м а ­

нова)

от

общей дисперсии. Таким образом, результаты спект­

рального

анализа показывают, что при исследовании

изменчи­

вости

колебаний уровня во

временных м а с ш т а б а х

4

ч а с а — 1 0 '

сущнх компонент спектра: 6—8-суточиой и полусуточной.

С л е д о ­

вательно, если предсказать две основные энергонесущие

компо­

ненты, то это предсказание может по существу считаться

удовле­

творительным прогнозом изменчивости колебаний уровня

в у к а ­

занных временных масштабах .

ции, тем больше будет максимум спектральной плотности на н у ­

левой

частоте.

Д л я

океанологических процессов понятие тенденции среднего1

ном смысле

условным и тесным образом связано с длиной ана­

лизируемой

реализации . С о с т а в л я ю щ а я

процесса, которая в реа­

лизации данной длины

рассматривается

к а к переменное матема ­

тическое ожидание, при

соответствующем увеличении продолжи.-

детерминированной

или случайной

компоненте исследуемого

процесса. Например, в суточной серии непрерывных

измерений

температуры воды

суточный

ход часто формально

трактуется

к а к циклическое изменение

оценки

математического

ожидания,

колебания . П р и увеличении продолжительности

наблюдении, на­

пример

до

месяца, т е ж е суточные

колебания могут рассматри ­

ваться

как флуктуации

температуры

воды. З а переменное мате­

матическое

ожидание

в

данном случае

может

быть

принято

обусловленное сезонным

ходом изменение

температуры,

которое

риодом,

близким к

длине реализации или превосходящим ее.

Д л я

устранения

иестационарности по математическому ожи­

д а н и ю необходимо

из исходной реализации исключить все низ­

д а в л я ю т с я

все гармоники

вне определенного

интервала частот

полосы пропускания

фильтра .

Поставим задачу

исключить низкочастотные

составляющие

д о

частоты

coo^s

так,

чтобы

спектральная плотность S.v(co) преобразованного ря­

д а

имела

вид

(4.1)

где Sz (со) — спектральная

плотность

исходного ряда

Z(t).

Это требование будет

выполнено,

если, умножить

спектраль­

ную плотность S2 (co) на

функцию

£/'"(«),

удовлетворяющую

условию

(4.2)

и л и

если

преобразовать

реализацию процесса

следующим об­

р а з о м :

(4.3)

при

h'(x)=

c o s — - — s i n — 7 Г — •

(4.4)

JtT

I

I

Функции

у'(со)

и h'(%), определяемые

зависимостями

(4.2) и

(4.4), являются

характеристиками

высокочастотного идеального

фильтра:

у' (со)

—

амплитудная

частотная

характеристика,

h'(%) — в е с о в а я

функция. В идеальном фильтре ф а з ы и

ампли ­

туды пропускаемых

гармоник не изменяются,

остальные

состав­

л я ю щ и е

подавляются . Д л я конечного дискретного ряда

н а б л ю ­

м

хп =

L(Z„) =

2

l>mZn+m,

(4.5)

m=-.V

где | n | = 0 , '1, • • •, — .

NAt=Tn

—

продолжительность

н а б л ю ­

дений, 1г,п

— последовательность весовых

коэффициентов

фильт­

ра, | m | = 0 , 1, . . . ,

М;

2MAt—T0

— интервал

задания

весовой

функции,

— интервал дискретности наблюдений; L — оператор.

Рассмотрим

линейное преобразование

(4.5)

в случае, когда Zt

содержит

одну

гармонику

Zt=A

cos (юоН-ф).

(4-6)

Подставив

(4.6)

в

(4.5)

м

Xi=A

2

hm

cos

[coo(H-»0+<pJ

=

т=-ЛГ

—А

соб(соо^+ф) 2

h™ c o s

woo—A

(соо^+ф) 2

h m s i n

m c o °'

7?i=—ДГ

m=—ЛГ

получим ряд, с о д е р ж а щ и й

составляющую той ж е частоты, с амп ­

литудой,

умноженной

на

м

^f

у 2 ( а ) = ( 2

h

m

c o s " г о ) о + 2

l l ' n s i n " ш °

)

(4-7^

m=—M

m——M

и фазой,

измененной

на

м

2

h>n sin /»мо

т—-М

i | : = a r c t g —

•

(4.8>

2

* .\ т C O S ШСОо

т=-М

Д л я получения идеального фильтра

необходимо

коэффициенты

lim подобрать так, чтобы амплитудная

частотная

характеристика

полагая /г,,, =/?._,„. Тогда

выражение

(4.7)

можно

записать

м

уЦа) =

( Л 0 + 2 2

/г™ cos

'««о ) •

(4.9}

#(о)) = — — j " h (т) cos axdx,

(4.10)

h(x) = 2 J" у (со) cos сот/аЪ •

( 4 . П )

условию (4.2). Невозмож ­

ность практической

реализа ­

ции идеального фильтра за­

7,0i

ставляет прибегать к раз ­

1

личным аппроксимациям д л я

0,8

1

амплитудной

характеристи-

ки (рис. 6).

Д л я высокоча­

0,6

стотного

фильтра

целесооб­

1

разно

было

бы

выбрать

ом

подходящее

выражение д л я

1

2

летворяет

зависимость

sin

я

со

СОо

\

0)2 /

Функция

i(4.12) является квадратом

амплитудной характеристи­

превышает

0,03. П р е о б р а з о в а н и е

(4.12)

неоднократно

применя­

лось при фильтрации наблюдений разнообразных

океанологиче­

ских характеристик (Ямпольский,

1965;

Ильин и др., 1968 и др . ) .

Фильтру Тыоки соответствуют весовые

коэффициенты

,

,

2л т .

1+cos -

9 М - И

н* = 1 - - ш + Г -

/г '» =

М + Г - -

( 4 ' 1 3 )

Если весовая функция з а д а н а в интервале

2хт=-?—=Та=2М+>1,

(4.14)

СОо

то спектральная плотность

ряда Zt практически

не

изменится в

результате

фильтрации, начиная

с частоты

соо.

Спектральная

Необходимо

т а к ж е учитывать, что

при использовании

филь­

тра с интервалом

сглаживания T 0 = i ( 2 M - | - l )

теряется по

М зна ­

чений в начале

и

в конце исходного

ряда .

Рассмотрим

опреде­

точным

данным . П р е д п о л о ж и м , что этот

ряд может

быть пред­

ставлен

в

виде суммы

гармоник

со случайными амплитудами,

2я

ф а з а м и

и

постоянными

периодами

7\—

от двух

до 365 су-

ток, отличающимися друг от друга на одни

сутки

:шг>

Возможностью появления составляющих с периодами

больше

1 года пренебрегаем. П о формулам § 2 определение оценки

авто­

корреляционной

функции с

ошибкой

в

2%

возможно,

если

Т щ ~ 3 0

суток.

Тогда, сумму

всех составляющих с периодами,

превышающими

30 суток, можно считать оценкой переменного

математического

ожидания . Н а х о д и м

по (4.14)

величину

интер­

вала задания весовой функции

7 о « ' 2 т ш ~ 6 0

суткам. П о с л е

филь­

трации число членов ряда сократится до 305.

Часто исключение оценки математического ожидания осуще­

ствляют

в два

этапа: предварительно

отфильтровывают

низко­

зависимостью

г/(со) =

1—у'{(л), где у(а)—амплитудная

харак ­

теристика низкочастотного фильтра . Весовые

коэффициенты

hm

при низкочастотной

фильтрации

отличаются

только знаком

от

коэффициентов высокочастотного

фильтра, за

исключением 1г0

Л о - 1 - л ; -

Возникает

вопрос,

какой из двух способов

исключения

пере­

первую

ординату, соответствующую дисперсии. И с к а ж е н и я

бу­

дут тем

больше, чем больше интенсивность долгопериодных

ко­

лебаний.

При спектральном анализе («просачиванием» энергии

низких

частот,

по всей

видимости, можно пренебречь, так

как

участок

спектра

от и> — 0 до со = соо заведомо исключается из

опи­

сания частотного распределения дисперсии.

П р и

низкочастотной

фильтрации все колебания с частотами

гических

процессов,

предложенный

,В. А. Р о ж к о в ы м 01966).

Р я д

предварительно сглаживается

скользящим

осреднением

по

ин­

т е р в а л а м

б и ш а г а м

скольжения Q

trij=

—l—

2

zi+h-

(4.1-5)

i

6

- 1

где / = 1 ,

2 , . . . , £ l /

N

)\ ,

£

II

N

I\ — о з н а ч а е т

целую

часть

частного

N

6

6

Q

Скользящее осреднение оптимально выделяет тенденцию в

среднем лишь при условии, что интервал б точно

совпадает

с пе­

риодом высокочастотных флуктуации . В остальных случаях

сгла­

женный ряд содержит случайные

отклонения.

Чтобы

избавиться от них, к а ж д ы е р точек сглаженного

ряда

выравнивают прямыми

г'-1

mi=

—

У\ (bis+'SCli-s)

•

(4.16)

Коэффициенты ciu и Ьи находятся по формулам

ап—-

рХз

—Л0Я4

(п)

(п)

Ьп

=

A I M

—Л2Лз

где

р ( р - , 1 ) ( 2 р - 1 ) ,

_

л , =

^

'

g

,

Л,— -

р—1

р—1

V —

' V I —

Аз — /

| I1ln+i-l

,

A i

— /

i >nn+i •

i=0

г=0

З а окончательное

значение тенденции принимаются

величины

т 2 = т , - + „ = / п 4 +

— а , - ,

(4.17)

где

г/ = 0, 1, . . . , ( 6 - 1 ) ,

Hi! = mi;

aj—nij+i—/Mj,

^ =

Ь

н

^

;

/ = 1 ,2 ,...,,v ,

предъявляемое

к п а р а м е т р а м осреднения и спрямления, состоит

в том, что их

величины не д о л ж н ы превосходить промежутков,

пешно исключить оценку переменного

математического

ожида ­

ния и в то ж е

время

в очень небольшой

степени сказывается на

спектральном

составе

высокочастотных

флуктуации . П р е и м у щ е ­

ством этого метода является т а к ж е и то, что число членов

исход­

спектральной плотности вычислялась

д л я ряда,

из которого го­

д о в а я компонента исключена как

методами

низкочастотной

щим центрированием. К а к видно из графика на

рис. 7, примене­

ние фильтра Тыоки несколько сгладило спектр

температурных

флуктуации .

4 Зак . 11821

49