книги из ГПНТБ / Григоркина Р.Г. Прикладные методы корреляционного и спектрального анализа крупномасштабных океанологических процессов

Вследствие того, что функция взаимной корреляции в

о б щ е м

случае не является четной, трансформанта

Фурье функции Sxy (со)

есть комплексная величина в отличие от

т р а н с ф о р м а и т ы

Ф у р ь е

ный спектр. Комплексную величину

Sxv(uj)

м о ж н о

представить

в следующем

виде:

Вещественную

Sxy{a) =CoXy.(®)+'LQxy((£>).

(3.2):

часть

взаимной

спектральной

плотности

Соху(со)

называют коспектром

(косинус-спектр), мнимую

часть

Qxy(®)—квадратурным

спектром (синус-спектр). Вещественная

часть

взаимного

спектра

находится как косинус - преобразование

Фурье четной части взаимной корреляции

п

Cov „ (со) = —^— { R+{x)

cos

axdx,

(3,3)

где

п

о

/ г + ( Т ) =

+

*

^

>

.

(.з.4>

И з

(3.4) следует,

что

R+{x)

является

четной

функцией, т. е..

R+(x)=R+(—т).

Существенно,

что

в

силу

четности

функции

R+i(%) ее можно рассматривать как некоторую

корреляционную

функцию

(Лившиц,

Пугачев,

1963).

Так

как

R+(x)—четная

функция, то и коспектр является четной функцией и

его н а з ы в а ­

ют четной (симметричной) частью взаимного спектра.

Операцией (3.4) осуществляется сглаживание э ф ф е к т а асим ­

метрии функции взаимной корреляции RXv(t),

которая

в

общем

случае не является симметричной. Симметрия

R+{x)

относитель­

но нулевого сдвига означает, что разность фаз между

процесса­

ми

равна

нулю, т. е., что

процессы

происходят

синхронно

(син-

ф а з н о ) . Коспектр,

будучи

спектральным

представлением

R+(x),

соответственно

характеризует распределение

по

частотам

энер­

гии

синхронного

взаимодействия.

Д р у г и м и

словами,

коспектр-

характеризует

в к л а д

энергии колебаний

различных частот

в об­

коспектр ( Л а м л и , Пановский,

1966

и др.)-

К а к

следует

из

(3:3)

и >(3.4), знаки коспектра

не

зависят

от

последовательности

выполняемых

расчетов

[x(t),

y(t)

или

y(t),

x(t)].

М н и м а я

часть взаимного

спектра

находится

как синус-

преобразование

Фурье нечетной части взаимной корреляции

со

Q*2/(co) =

—— jR-(x)

sincoTdr,

(3,5)

где

л

о

R-[x)=

5

•

(3.6}

асимметрии, который имеет место в функции Rxy(x).

R-(x)

яв ­

ляется нечетной функцией: R-{x) =—R-(—x).

Асимметрия

функ­

ции /? - (т) проявляется в смещении максимума R-{x)

на

некото­

рый

сдвиг

хФО.

П р и

отсутствии

асимметрии

R-(x),

Qxy—0.

Неравенство

нулю

R-(x)

означает,

что процессы

имеют

некото­

рую разность фаз, т. е. происходят

несинхронно.

Квадратурный

спектр, будучи

спектральным

представлением

R~(x)

характеризует распределение

по частотам

энергии

несин­

характеризует

в к л а д

энергии

гармоник различных частот в об­

щ у ю ковариацию . ряда при условии, что гармоники,

содержа ­

щиеся во временном

ряде

x(t),

сдвинуты на четверть

периода

н а з а д по отношению к временному ряду

y(t).

Приближенное вычисление

(3.3)

и

(3.5)

осуществляется по

ф о р м у л а м

т

Со*

(со) =

- £ ^ 2

Hl)L(lAt)

c o s - ^ - .

(3.7)

7

2 л

~

тАх

т

Q

*

(со) =

~

2

б (/) М (/АО sin

•

(3.8)

(Обозначения

в

формулах

(3.7)

и (3.8)

см. в главе 1). Вычис­

ленные по (3.7)

и (3.8) функции

Со*у

(со) и

Q*y (со) в

дальней ­

персией

выражением

со

RxV(0)=jsxy(a)dw

(3.9)

—со

И Л И

со

Rxy(0)

= j Coxy((o)d(o.

(3.10)

—со

Приведенные выше определения коспектра и квадратурного

спектра,

а т а к ж е смысл

выражени й (3.9)

и ;(3.10)

поясним сле­

дующи м примером . П о данным

буйковой станции

продолжитель ­

ностью 92 суток (дискретность

наблюдений 1 час),

поставленной

в одном из арктических

морей, вычислены

взаимные корреляции

ставляющих скорости

на

горизонте 12 м (временные

м а с ш т а б ы

13 суток — 6 часов) . Дисперсии и и v

оказались приблизительно

одинаковыми и равными 300 см2/секг,

но в з а и м н а я

дисперсия

Ruv(0)

(ковариация

на

нулевом

сдвиге) составила лишь

смотря на то, что энергия

к а ж д о й

из компонент скорости значи ­

тельна, их о б щ а я в з а и м н а я

энергия

невелика.

П о с т а в и м перед собой следующий вопрос: является ли энер­

гообмен поперечных и продольных горизонтальных

д в и ж е н и й

слабым во всем диапазоне частот

спектра, или в одних времен­

ных м а с ш т а б а х v и и более интенсивно обмениваются

энергией,,

тогда

ка к в других м а с ш т а б а х энергообмен м е ж д у ними мал?-

Ответ

на этот вопрос дает анализ коспектра и квадратурного'

спектра пульсаций

компонент

скорости

(рис. П а ) . Рассмотрим

вначале

коспектр

Соиъ'(ю). Ка к видно

из графика

на рис. Па,,

взаимная

энергия

пульсаций

и я v распределена

по коспектру

0,042

0,054

0,126 . 0,167 0,209 0,251

•областях

спектра:

низкочастотной

(со = 0,010—0,111

рад/час)

и

в

окрестностях

полусуточной

приливной

частоты

(со =

— 0,50 рад/час).

В

остальных

частотных

интервалах

коспектра

в з а и м н а я

энергия

пульсаций

значительно

меньше,

чем в

двух

названных областях. Так, если

в з а и м н а я

дисперсия

в полосе ча­

стот

со =

0,010—0,030

рад /час

(определяемая ка к

S (со) Лео, где

Лео — ширина

основания спектрального максимума)

составляет

16,1

см2/сек2,

а

в

полосе

частот

0,030—0,110

рад/час

—

13,4 см2/сек2,

то во всех других

частотных

интервалах

коспектра

она имеет, как правило, порядок 0,1—0,9

см2/'сек2

(табл. 4), т. е.

приблизительно в 160—20 раз меньше взаимной

дисперсии в ос­

новных «энергообменных» зонах коспектра.

Таким

образом,

основной в к л а д в общую взаимную

ковариа -

цию

вносят низкочастотные компоненты и полусуточная

прилив­

н а я

компонента,

тогда

как в к л а д

колебаний

других

частот в об­

щ у ю ковариацию

v и и мал. П о д р о б н о е

представление о

распре­

дисперсии пульсаций v

и и в к а ж д о й энергонесущей полосе кос­

пектра. Рис. П а показывает, что все

главные энергонесущие

компоненты коспектра

коррелируют

отрицательно. В соответ­

но в 8 ра з превосходит сумму

взаимных

дисперсий

колебаний,

коррелирующих

положительно.

Этим

определяется

отрицатель­

ный знак

общей

корреляции v

и и, а т а к ж е

уменьшение

общей

взаимной дисперсии v и и вследствие знакопеременное™

корре­

л я ц и и v

и и на

разных частотах. Рассмотрим теперь квадра ­

турный

спектр

QU«(CU) компонент

v

и

и. К а к

показывает

рис. 11а, при сдвиге компонент

v и и на четверть периода

отно­

цессов

принципиально не изменяется.

По - прежнему

ведущая

р о л ь

в энергообмене принадлежит колебаниям

низких

частот, а

т а к ж е колебаниям полусуточной частоты.

С у м м а взаимных дисперсий колебаний, коррелирующих от­

рицательно, ка к видно из данных табл .

5

(гр. 3),

равна

—69,6 см2/сек2,

причем в к л а д низкочастотных

колебаний, а так ­

ж е

колебаний

полусуточной

частоты

в эту

сумму

составляет

•более 90%. О к о л о 60% взаимной энергии колебаний,

коррели­

рующих,

положительно, т а к ж е

сосредоточено

в низкочастотной

области

спектра

(гр. 6, табл . 5), ио эта часть

взаимной

энергии

почти в

10 раз меньше, чем аналогичная

величина для

колеба­

ний,

коррелирующих отрицательно. Этим

определяется

отрица­

реляционной функции, не равных

нулю.

О б щ а я

в з а и м н а я дисперсия

несинхронного взаимодействия

{площадь

«о д кривой квадратурного спектра) составляет

Ширина оснопашш

спектраль­

Ширина основания спектраль­

ного

максимума

-Со(«))Д ю

ного

максимума

+ Со(о))Дсо

рад/час

I

час

см'1сеи'

padjuac

см11[с с к'1

Коспектр

0,010--0,030

209

16,10

0,18--0,20

35,0—31,4

0,11

0,030--0,410

209--57

13,40

0,23--0,25

27,0—25,0

0,65

0.11--0,14

57- -45

0,53

0,38--0,42

16,5—15,0

0,5&

0,14--0,18

45- -35

0,72

0,52--0,54

12,0—11,8

0,21

0,20--0,22

31- -28,5

0,28

0,59--0,63

10.G—10,0

0,72

0,27--0,35

23 - -17,9

3,12

0,63--0,67

10,0—9,4

0,54

0,35--0,38

17,9— 16,5

0,87

0,69--0,72

9,,1—8,7

0,80

0,42--0,44

14,9- 14,2

0,24

0,72--0,75

8,7—8,4

0,90

0,44--0,48

14,2- 13,0

0,68

Ss=+-

0,48—0,52

13,0- 12,1

2,72

+4,50

0,54--0,56

11,6- -11,2

0,34

0,57--0,59

11,0—,10,6

0,12

Zi = -39,0

2,4-212=34,5

Квадратурный спектр

- Q (со) Дм

; Q(co)A®

0.008--0,050

785--125

57,60

0,05--0,08

125—78

3,60

0,08--0,11

78--57

1,10

0,11--0,15

57—42

•1,56

0,16--0,20

39--31

0,75

0,20--0,22

31—28

0,12

0,22--0,24

28--26

0,16

0,23--0,30

27—21

1,09

0,28--0,31

22,4--20,2

0,81

0,31--0,33

20,2—19,0

0,38

0,33--0,37

19,0--17,0

0,47

0,38--0,39

16,5—16,1

0,26

0,39--0,42

16jl- -14,9

0,43

0,44--0,47

14,3—13,3

0,18

0,42--0,44

14,9--14,2

0,60

0,60--0,61

10,5—10,3

0,08

0,46--0,48

13,6--13,1

0,28

22 =+7,3

0,48--0,52

13Л--12,1

4,40

0,52--0,54

12,1--11,6

1,15

0,54--0,56

11,6--1.1,2

0,19

0,56--0,60

11,2--10,5

0,80

0,61--0,64

10,2--9,8

0,19

0,04—0,66

9,8--9,5

0,67

62,3 см2/сек2,

тогда как взаимна я дисперсия синхронного взаи­

модействия

(площадь под кривой

коспектра,

см. 3 . 1 0 ) — л и ш ь

-34,5 см2/'сек2,

т. е. приблизительно

в 1,8 р а з а

меньше. Этим объ­

ясняется

тот

факт, что с увеличением сдвига

т/ корреляция ком­

понент

и

и v

возрастает и достигает максимума не на

нулевом

сдвиге,

а

на

сдвиге т = 4 0 часов

(коэффициент взаимной

корре­

л я ц и и — 0,20). Таким образом, обща я низкая

корреляция

между

компонентами и и и определяется

тем, что общая взаимна я энер­

взаимодействия м а л а по отношению к общей энергии

(диспер­

сии) к а ж д о г о из процессов (точнее

говоря, по

отношению к про­

изведению среднеквадратических

отклонений

этих

процессов) .

В приведенном выше примере

было пояснено,

к а к

связано

цессов

появляется

возможность

сравнивать взаимную

энергию

на фиксированной

частоте

с энергиями

к а ж д о г о из процессов на

той

ж е

частоте

путем

определения

отношений

этих

характери ­

стик

\Sxv(a)I

Coxy(a)

+

Qxv(a)

(З . П)

Л ( « )

= Sx(a)Sy(a)

Sx{a)Sv((£>)

Сопоставляя

(i3.ll)

и

(1.5),

/*Чсо)

можно

интерпретировать

к а к

коэффициент взаимной

корреляции на фиксированной часто­

те .

Функцию

F(o)

называют

когерентностью 1 .

Когерентность

F(o))

характеризует линейную

статистическую

связь

спектраль ­

ных

компонент

одинаковой

частоты

и аналогична

коэффициенту

линейной корреляции,

ио в

отличие от него зависит от частоты.

В силу того, что всегда

справедливо

неравенство

изменяться в пределах

от 0 до I .

П р и

определении степени

взаимосвязи

спектральных

компо­

нент

процессов

существенно в а ж н о

выяснить,

каково

соотноше­

ние взаимной энергии синхронного и несинхронного

взаимодей ­

ствия, поскольку именно от величины этого соотношения

зависит,

какова

будет

разность

фаз

колебаний

на фиксированной

частоте

юг. Из

(i3.ll)

видно, что при

Qxy(m)

= 0 ,

Соху(иц)

фО

разность

ф а з

колебаний

на

частоте

со* д о л ж н а

быть

равна

нулю,

так к а к

иость фаз спектральных

компонент па

частоте со; равна 90°, т а к

как взаимосвязь м е ж д у

колебаниями

с частотой coi имеет место-

других случаях, т. е. при

Соху(т)

Ф0, ЯхУ{ач)ФО,

разность

ф а з

спектральных компонент

фиксированной

частоты

вычисляется

по

формуле

ф,,(со)-ф.(со)

= e . ^ ( ( o ) =

arctg

•

(3.13)

LOXY

(а)

0ДУ(СО) определяет отставание по фазе процесса

y{t)

от

процес­

са

x(t)

при условии, что Qxy(со)

считают

положительным

от 0>

до

180° и отрицательным

от 180 до 360°.

Так как 0(со) является углом, полученным из

(3.12), его

м о ж ­

но

преобразовать,

прибавляя или

вычитая величину,

к р а т н у ю

2,-т.

Н а

практике

такие

преобразования иногда

требуются

д л я

однако, во избежание произвола желательно по

возможности

обосновывать преобразования 0 ( ш ) физическими

соображения ­

ми, поскольку очевидно, что точки

0 (со>) —2/г/я (

/ =

0 ,

к

=

= 0 , 1 , 2 , 3 . . . )

можн о

расположить каким

угодно

образом.

Когерентность, являясь

спектральным

коэффициентом

кор­

реляции, одновременно служит мерой устойчивости

разности

сраз. Если

разность ф а з процессов

постоянна F(co) =

l , если

р а з ­

ность фаз

неустойчива,

то

Я ( с о ) - + 0 .

При геометрической

интерпретации

взаимной

спектральной

плотности как векторной величины направлением

вектора

я в л я ­

ется Qxy(a),

а

его модулем

iCo9-}/

(a)+Q2xy

(со) •

П о н я т и я когерентности

и разности

фаз

поясним,

п р о д о л ж а я

терес д л я исследователя

в первую очередь представляют именно

эти частоты, так как на них сконцентрирована

наибольшая

часть

общей дисперсии процессов v и и. Рассмотрим

график

когерент­

ности v и и, при построении которого по оси

абсцисс

о т к л а д ы ­

вают

частоты

со, а по оси ординат — значения

f (со)

(рис.

116).

Д л я

удобства

анализ а

на

графике

когерентности

крестиками

обозначены энергонесущие

частоты

спектра пульсаций

и.

к р у ж ­

к а м и — энергонесущие частоты

спектра пульсаций и. П о

графи ­

ку когерентности видно, что

большинство максимумов

Fvu(co)

пость спектра, равную 0,008 рад/час).

Это указывает

на

то,

что

степень

корреляции

наиболее

высока

у

спектральных

компонент

и и v с наибольшей

энергией. Значения спектральных коэффи ­

циентов

корреляции

на частотах

0,03;

0,25;

0,29;

0,32;

0,50—

0,52 рад/час

равны

0,70 или превышают эту величину.

Таким образом, корреляция основных энергоиесущих компо­

нент спектров v и и значительно превосходит общую

корреляцию

процессов v и и, и если в целом составляющие вектора

течения

практически

некоррелированы, то

большинство

энергонесущих

компонент тех ж е

процессов

тесно

связаны м е ж д у

собой.

Р а с ­

смотрим,

например,

соотношение энергии к а ж д о г о

из

процессов

и их взаимной энергии на частоте

со, =

0,50 рад/час.

В з а и м н а я

энергия

синхронного

взаимодействия и и и Covu(со*)

= 9 7

см2/сек2,

в з а и м н а я

энергия

несинхронного

взаимодействия

Qvu

=

= 115

смг/секг

(рис.

11с).

Энергия

колебаний

и—Su(wi)

=

= 116 см2/сек.2,

энергия

колебаний

v—Sv

(соt) = 3 0 4

см2/сек2; со­

ответственно

соотношение энергии

каждого из процессов и их

взаимной

энергии

на

частоте со; равно

согласно

(3.11)

пг

^

1 /

9 7 2 + П 5 2

1 /

24 634

F (

a ) = V

3 0 4 - П 6

^ V l s s m ^ 0

- 7

6

-

ных компонент

v и и. Разность фаз

на всех анализируемых ча­

стотах иногда

представляют в виде

д и а г р а м м ы фаз, при постро­

случае, когда когерентность на всех

частотах высока, что

обыч­

но редко случается на практике.

Если когерентность

имеет'

ше полезной информации, чем

точки, соответствующие

частотам

с высокой когерентностью.

Д л я

оценки разности

фаз в

(со), составляющих v

и и на от­

дельных

частотах, мы

вместо

фазовой д и а г р а м м ы

приводим

частот, на которых f(co)

высока

(высокой будем считать

^(со),

превышающую 0,5). К а к

видно

из табл . 5, разности фаз

в (со)'

ни иа одной из рассматриваемых частот не равны нулю, т а к

к а к

значения квадратурного

спектра на этих частотах не равны

ну­

лю. Разности

фаз нигде не равны т а к ж е 90°, так

как

ненулевыми

являются и значения коспектра. Разность фаз

при

решении

ря­

да вопросов

удобно в ы р а ж а т ь не в градусах, а

в единицах

вре­

мени (табл.

5) .

Т а б л и ц а 5

Когерентность и разность фаз поперечной

(v)

и продольной (и) составляющих скорости

Частота

Период

Разность фаз

Когерент­

колебании,

колебаний,

ность

paoiuac

час

град

час

0,025

251

0,73

254

177

0,067

94

0,59

133

35

0,100

0,63

0,64

Л 86

32,4

0,260

24,1

0,69

91

6,1

0,301

20,8

0,75

236

13,6

0,318

19,7

0,77

146

8,0

0,427

14,7

0,57

206

8,4

0,502

12,5

0,76

229

8,0

0,536

11,7

0,66

279

9,1

0,595

10,5

0,67

320

9,3

0,603

10,4

0,63

323

9,3

гереитиостн

обычно обусловлено

тем из процессов, который име­

ет очень малую спектральную плотность

в исследуемой полосе

частот.

4. Редки,

но возможны т а к ж е

случаи,

когда автоспектры на

ря

на

это

когерентность

на

этой

частоте

принимает

значения

м е ж д у 0 и 1. Когерентность

в таких

случаях

рассматривать

неце­

лесообразно.

При

вычислениях

когерентности

необходимо учитывать

так­

ж е

возможное влияние

шумов,

которые уменьшают

полученную

величину Fxy(a),

если случайные

процессы

x(t)

и y(t)

содержат

некоррелированные

шумовые

компоненты

n(t)

и

m(t).

Спект­

ральные

плотности процессов

x(t)

и y(t),

полученные

в

резуль­

тате расчетов,

равны

5* ( < B ) = S „ ( < » ) + S „ ( ( O ) .

(3.15)

S j ( ( o ) = S e ( < D ) + S m ( c o ) .

(3.16)

Их взаимна я спектральная

плотность

Sxy{w)=Suv(a).

(3.17)

Если бы не было

помех,

когерентность

получилась

бы

равной

5 п ( с о ) 5 „ ( м )

О д н а к о

вследствие

воздействия

некоррелированного

шума,

вместо истинной, интересующей нас когерентности Fuv(co)

про­

цессов x(t)

и y(t),

получаем

когерентность

f t

, (

n

U

1 ^ ( " ) 1 2

15»r(a>)| a

=

Х

« К ' '

Sx(a)Sv(a)

[ S M ( c o ) - f 5 , , ( c o ) ] [ S „ ( c o ) + S r o ( c o ) J

2

Fuv(a)

<

,

,

Г Sn(a)

, Sm i(to)

I

Г Sn ((u)

1

Г Sm(a)

1

L

S„(©)

~ h

Sv(o)

-I

L S„(w ) J

lSv((o)

J

< ^

r

(со) -

(3.19)

которая,

очевидно, будет меньше истинной

когерентности.

Ошибки вычисленных значений взаимной спектральной плот­

ности

могут

б'ыть найдены

ка к путем

расчета

точечных

оценок

(определения

дисперсий

S*

'(со)), та к и путем определения

дове-

ху

рительных

интервалов. Д л я вычисления

дисперсий 5*

•(<») необ­

ходимо

знать

истинные

значения

Sxu(co),

которые,

как

правило,