книги из ГПНТБ / Григоркина Р.Г. Прикладные методы корреляционного и спектрального анализа крупномасштабных океанологических процессов

пость в ряде случаев выделения детерминированных составляю ­ щих океанологических процессов. Детерминированные функции можно считать частным случаем случайных функций, о б л а д а ю ­ щих одномерным распределением, при котором функция в фик­ сированный момент времени во всех реализациях принимает од­

цессам, не р а з д е л я я их при эмпирическом анализе. Случайные процессы, все вероятностные характеристики которых не изме­

ными случайными процессами или стационарными в узком смысле.

В корреляционной и спектральной теории случайных процес­ сов используется менее строгое определение стационарности. Случайные процессы, математическое ожидание и дисперсия, которых постоянны, а значения корреляционной функции зависят

ность вероятности которых подчиняется закону (Гаусса, матема ­ тическое ожидание и корреляционная функция являются исчер­ пывающими характеристиками процесса.

Таким образом, по зависимости вероятностных характери ­ стик случайных процессов от начала отсчета времени м о ж н о вы­

ных выборочных функций одинаковы. Свойство эргодичности

из физических соображений часто можно предполагать эргодич­

иных операций будем стремиться в тех случаях, когда это воз ­

ни не характеризует интересующий нас процесс в целом, а опи­ сывает только свойства рассматриваемой реализации . Условия стационарности и эргодичности при эмпирическом анализе ч а щ е всего приходится проверять постфактум.

10

•При этом следует иметь в виду, что условия стационарности в реальных процессах могут выполняться только с тем или иным приближением, так ка к физические процессы, в том числе и про­ цессы в океане, всегда имеют некоторую «динамику» развития. Использование теории нестационарных случайных функций в прикладных методах анализа сталкивается со значительными трудностями, обусловленными сложностью и громоздкостью ее приложения . Возникает проблема использования аппарата тео­ рии стационарных случайных процессов дл я описания заведомо нестационарных процессов. Это возможно для определенных

iKo второй группе относятся процессы, у которых энергия бес­ конечна, а мощность — конечная величина

+т

Это процессы, ординаты которых не о б р а щ а ю т с я в тождествен­

ные процессы, корреляционные функции процессов обеих групп о б л а д а ю т свойствами корреляционных функций стационарных случайных процессов. В частности, косинус-преобразование Фу­ рье от корреляционных функций дл я процессов первой группы

о существовании спектральной плотности дл я тех частот, на ко­

11

цессов могут быть т а к ж е использованы при исследовании неко­ торых классов нестационарных процессов, в том числе детерми­ нированных, гармонических, полигармонических и квазиперио­ дических процессов (см. гл. I I I ) .

Эмпирические методы определения вероятностных характери ­ стик случайных процессов основаны на законе больших чисел. В соответствии с этим законом, при большом числе опытов, ве­ роятности событий могут быть заменены соответствующими ча­ стотами, а математические ожидания случайных величин — их средними арифметическими значениями.

П р и ограниченной длине реализаций случайного процесса его вероятностные характеристики не могут быть точно определены по результатам опыта, возможн а только их оценка. Оценкой в математической статистике называют всякую функцию резуль­ татов опытов, которая принимается за искомую вероятностную характеристику . Вычисленные оценки являются случайными ве­ личинами или случайными функциями, распределение вероятно­ стей которых называется выборочным распределением и зависит от репрезентативности и продолжительности реализаций, от упрощающих предположений, принятых в избранном методе расчета, и, наконец, от характерных особенностей самого про­ цесса. Получение достоверных оценок является одним из цент­

•3. Оценки д о л ж н ы быть наилучшими по отношению к другим оценкам в том смысле, чтобы их рассеивание относительно оце­ ниваемой величины было наименьшим . Если в качестве м е р ы рассеивания принять дисперсию оценки, то оценку с наимень ­ шей дисперсией называют оптимальной. Отношение оптимальной дисперсии к дисперсии принятой оценки характеризует э ф ф е к -

12

к оптимальной дисперсии, но и по отношению к дисперсии само­ го процесса. Отношение дисперсии оценки к дисперсии процесса называют показателем эффективности. Чем меньше этот показа­ тель, тем меньше дисперсия и тем эффективнее оценка.

Когда выборочное распределение оценки известно, м о ж н о найти доверительный интервал, в котором с заданной степенью достоверности '(доверительной вероятности) будет находиться оценка малого параметра . М е т о д ы определения доверительных интервалов и проверки статистических гипотез в большинстве случаев основаны на предположении о том, что реализации, из которых извлекаются выборки, подчиняются нормальному зако ­ ну. Это ограничение часто оказывается весьма существенным. З а к о н ы распределения океанологических характеристик обычно отличаются от нормального. Выборочное распределение самих оценок статистических характеристик в океане изучено еще очень

§ 2. Автокорреляционная функция как характеристика внутренней структуры процесса

во временной области

обычно ограничиваются изучением лишь моментных функций первых двух порядков: начальной моментной функции первого порядка, центральной моментной функции второго порядка и

персия, является мерой разброса ординат случайного процесса

13

Оценки математического о ж и д а н и я и дисперсии широко при­ меняются при описании свойств океанологических процессов. В частности, оценки математического ожидания океанологиче­ ских характеристик используются при составлении атласов, на­

о ж и д а н и я и дисперсии, но различную внутреннюю структуру и различный характер протекания во времени, обусловленные кон­ кретными особенностями р е ж и м а отдельных районов Мирового океана. Например, в динамически активных районах темпера­ турные условия быстро изменяются и могут быть не связаны с предысторией.

Д л я характеристики быстроты изменения случайных океано­ логических процессов, их внутренней структуры служит цент­ р а л ь н а я смешанная моментная функция второго порядка — ав­ токорреляционная функция, которая определяется следующим образом:

ti)=M{[Xit1)-ml{tl)][X{t2)-ml{t2)]}. (2.3)

Автокорреляционная функция и математическое ожидание полностью определяют статистические закономерности случай­

сятся, в частности, следующие: характеристика линейной зави­ симости настоящего от предыстории, т. е. определение устойчи­ вости во времени ординат процесса; определение интервалов корреляции; количественная оценка интенсивности колебаний; определение средней величины изменения исследуемой океано­ логической характеристики за фиксированный промежуток вре­ мени; вычисление коэффициентов линейного экстраполяциоппого уравнения и оценка длительности надежного экстраполирова ­ ния; выявление скрытых периодичиостей; вычисление' оценки спектральной плотности.

Решение этих з а д а ч играет существенную роль в разработке физически обоснованных и статистически оправданных методов прогноза. Удачные опыты прогноза океанологических условий с помощью методов линейной экстраполяции случайных функций (Беляев, Болдырев, 1963; Овсянникова, 1967; Дмитриева, 1968) позволяют надеяться, что эти методы получат широкое распро­ странение. Это приводит к необходимости подробного исследова­ ния автокорреляционных функций различных океанологических процессов.

Д л я стационарного эргодического случайного процесса оцен­ ка автокорреляционной функции находится осреднением парных произведений ординат процесса

14

по времени) вычисление автокорреляционной функции осущест­

Д л я случайных процессов дисперсия является мерой интен­ сивности колебаний. В связи с развитием представления об из­ менчивости в океане как о случайном процессе дисперсия или положительное значение квадратного корня из дисперсии — средпеквадратическое отклонение сгЛ- — в настоящее время все бо­ лее часто применяются д л я количественной оценки отклонений процесса от среднего значения, заменяя, таким образом, исполь­ зовавшуюся ранее характеристику детерминированных периоди­ ческих колебаний •— амплитуду. Д л я случайных периодических процессов дисперсия может быть сопоставлена с амплитудой ко­ лебаний следующим образом:

У к а ж е м на основные свойства автокорреляционной функции.

15

1. Д л я стационарного случайного процесса автокорреляцион­ ная функция четная, т. е.

Д * ! ( т ) = Я * ( — г ) .

таточным признаком эргодического стационарного процесса. Так,

ных колебаний, вызванных единичным импульсом внешнего воз­ действия.

В о многих случаях вместо автоковариациоиной функции удобнее пользоваться нормированной автокорреляционной функ­ цией

Фиксированные значения гх(х) являются парными коэффициен­ т а м и линейной автокорреляции. Коэффициент автокорреляции может изменяться в пределах ± 1 , 0 и характеризует линейную связь двух значений процесса. Таким образом, коэффициент ав­ токорреляции является безразмерным показателем зависимости настоящего от предыстории.

П о известной оценке автокорреляционной функции м о ж н о

16

процесса с нормальным распределением эта разность рассчиты­ вается по формуле

стационарных случайных процессов вводится понятие интервала корреляции . И н т е р в а л корреляции является мерой протяженно ­ сти линейной связи между ординатами процесса. Наиболее рас­ пространено следующее определение интервала корреляции (Ро - маненко, Сергеев, 1968):

вают максимальным или абсолютным интервалом корреляции. Определение максимального интервала' корреляции представля ­ ет интерес при оценке возможной длительности экстраполирова ­ ния случайных океанологических процессов. Очевидно, что эк­ страполяция на время, большее т<|) . не имеет смысла. Макси ­ мальный интервал корреляции м о ж е т быть отождествлен с ха­ рактерным временным масштабом физического процесса. В част­ ности, в теории турбулентности максимальный интервал кор­

со

о

Это определение применяется, в частности, при характеристике эффективности оценок автокорреляционной функции. Величина

вого уровня за единицу времени. Среднее число пересечений подсчитывается на интервале, в котором содержится ие менее 50—70 нулей.

З а д а ч а определения интервалов корреляции существенно об­ легчается, если известно аналитическое выражение, аппроксими­ рующее автокорреляционную функцию исследуемого процесса. Аналитическая аппроксимация, кроме того, может быть исполь­

мер, при аналитическом определении функции спектральной плотности, в прогностических уравнениях и т. д . ) .

Широкий класс физических процессов, в том числе, гидроме ­

где ц=

18

Н а и б о л ее точным методом определения параметров аппрок­ симации является метод наименьших квадратов . Однако во мно­ гих случаях можно ограничиться более простыми способами, основанными на определении параметров аппроксимации по не­ скольким характерным точкам автокорреляционной функции. В частности, а и р могут быть рассчитаны следующим образом:

мации затухающих автокорреляционных функций применяют вместо (2.15) следующее выражение:

корреляционную функцию дифференцируемого случайного про­

к автокорреляционным функциям крупномасштабных океаноло­ гических процессов не всегда приводит к удовлетворительным результатам . Лучшей сходимости аппроксимирующей кривой с