Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Григоркина Р.Г. Прикладные методы корреляционного и спектрального анализа крупномасштабных океанологических процессов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

взаимной корреляции,	вычисленным	при различных	параметрах
фильтрации исходных	р е а л и з а ц и й ) .
4. Установление пространственной изменчивости			временных
статистических связей	между двумя	различными океанологиче

скими процессами на определенной акватории моря или океана (по функциям взаимной корреляции этих процессов, вычислен ным д л я различных пунктов акватории, см. гл. I V ) .

5. Оценка характерных пространственных масштабов океано логического процесса (по временным функциям взаимной корре ляции этого процесса, вычисленным д л я пар или системы точек

некоторого	поля)		и анализ	пространственной	структуры	полей
океанологических			элементов	(см. гл. I V ) .
6. Выделение в процессах периодических составляющих,						скры
тых вследствие		шумового эффекта (см. § 1, гл. I I I ) .
7. Выяснение возможной заблаговременное™ прогноза, вы
бор оптимальных предикторов и составление					прогностических
уравнений	с использованием			коэффициентов	взаимной	корре
ляции .
Н а конкретных			примерах	п о к а ж е м некоторые возможности
интерпретации		результатов		взаимнокорреляционного анализа
океанологических			процессов.
П р и м е р I . Рассмотрим				временные функции взаимной кор
реляции одного		и того ж е процесса, полученные в некоторой си

стеме пунктов. В з а и м н а я корреляция, проведенная по различным

направлениям и с переменным	пространственным шагом, содер
ж и т информацию о характере	и м а с ш т а б а х горизонтальных не-

однородностей исследуемого процесса. Расчет такого рода вы полнен нами д л я исследования пространственной структуры флуктуации глубины залегания термоклина в зоне Куросио (Григоркина, Провоторов, 1972). Вычисление функции взаимной кор реляции производилось по годовым реализациям с дискретностью 1 сутки, из которых исключены все составляющие с периодом

более 60 суток, в 104 п а р а х смежных	пунктов. Схема корреляции
приведена на рис. 9. В квадрате с	координатами 34—41° с. ш.,

141—149° в. д. расстояние м е ж д у коррелируемыми п а р а м и пунк

тов было равно 120 милям. Н а	остальной части акватории рас
стояние переменно и превышает	120 миль.
Типичный вид коррелограмм	при различных фиксированных

расстояниях между пунктами показан на рис. 10. Коррелограм -

мы у к а з ы в а ю т	на то, что флуктуации глубины термоклина содер
ж а т отчетливо	выраженную компоненту с периодом около 24—

30 суток. Функции взаимной корреляции д л я смежных пар пунк тов симметричны относительно начала координат, т. е. имеют максимум на нулевом сдвиге, с высокими значениями коэффици ентов корреляции 0,7—0,9, причем симметрия функций и их по добие, а т а к ж е величина корреляции сохраняются независимо от того, как ориентированы два коррелированных смежных пунк т а — по меридиану или по параллели . Этот результат указывает,

€0

во-первых, на синфазность флуктуации термоклина в простран


стве с радиусом 150—200 миль в северной части района									иссле
дования	и около 300			миль — в южной части. Синфазность					флук
туации	термоклина			на	столь значительном пространстве воз
м о ж н а	в	том	случае,		когда	происхождение	этих	флуктуации
с в я з а н о	с	воздействием			крупномасштабной		внешней	силы, или
в том случае,			если они		имеют	волновую природу, причем			длины

волн значительно превышают расстояние м е ж д у коррелируемы ми пунктами. Во-вторых, полученный результат позволяет прий ти к выводу о горизонтальной однородности пульсаций термо клина в названных выше пространственных масштабах .

Рис. 9. Расположение пунктов и схема взаимного анализа флуктуации в поле глубины залегания термоклина

П р и м е р 2. В качестве второго примера используем функ ции взаимной корреляции температуры поверхности моря и глу

бины залегания	термоклина,	полученные нами д л я 64 пунктов
в зоне .Куросио	(Григоркина,	1972) (см. рис. 9) . Исходными дан

ными д л я расчетов являлись годовые реализации с дискретно стью 1 сутки. Вычисление функции взаимной корреляции выпол нялось в двух вариантах: д л я неотфильтрованных реализаций, д л я реализаций, из которых отфильтрованы все составляющие с периодами, превышающими 60 суток.

О д н а из задач расчетов состояла в том, чтобы выяснить, в ка ких временных м а с ш т а б а х существует статистическая связь меж д у флуктуациями температуры поверхности моря и глубины за-

легация термоклина, а т а к ж е установить знаки этой связи и ее величину. Функции взаимной корреляции, рассчитанные по пер вому варианту, показали, что во временном масштабе, равном

-0,3\-

Пункты 112 - 89 »- 112-115

Рис. 10. Нормированные функции взаимной корреляции флуктуации глубины залегания термоклина


одному году, м е ж д у	исследуемыми характеристиками существу
ет тесная обратная	корреляционная	зависимость	с коэффициен
т а м и корреляции 0,7—0,8. Д л я всех		пунктов,	расположенных
севернее 35° с. ш., коррелограммы не имеют выраженных				макси
мумов и минимумов, характерной дл я них является лишь				о б щ а я

тенденция к некоторому понижению корреляции с увеличением

сдвигов. Вычисление функции взаимной корреляции		после
фильтрации	показало, что пульсационные составляющие,	перио
д ы которых	не превышают 60 суток, практически некоррелиро-

ваны (коэффициенты корреляции менее 0$—0,3), причем знаки корреляционных связей беспорядочно меняются, что служит признаком неустойчивости этих связей.

Таким образом, степень и знаки статистических взаимосвя зей температуры поверхности моря и глубины залегания термо клина существенно зависят от временных масштабов, в которых рассматриваются названные процессы: долгопериодные состав л я ю щ и е этих процессов ; (сезонные компоненты) тесно коррели

руют, тогда	как короткопериодиые (сравнительно с сезонными)
флуктуации	практически	не связаны . Очевидно, что степень	в з а и
мосвязи зависит т а к ж е		от пространственных и временных	мас

ш т а б о в динамических и термодинамических процессов в верхнем слое океана, и от структуры невозмущенного (осредненного) по ля масс и поля скоростей.

iB приведенных примерах мы о б р а щ а л и внимание на иллю страцию лишь некоторых из з а д а ч взаимнокорреляционного ана лиза, которые были сформулированы выше. Специфические во просы анализа полей временных статистик океанологических элементов более подробно обсуждаются в гл. I V .

§ 2.	Вопросы частной и множественной корреляции
П р и	исследовании стационарных линейных и нелинейных си

стем в	океане, а т а к ж е	при прогнозе	разнообразных океанологи
ческих	процессов часто возникает необходимость отыскать ли
нейную статистическую		взаимосвязь	между несколькими процес

сами . Д л я этой цели используют обычно	коэффициенты	частной
и множественной корреляции. Пр и взаимноспектральном		анали
зе, как будет показано в § 4, понятие о	частном коэффициенте

корреляции обобщается в понятие частных функций когерентно сти, а о коэффициенте множественной корреляции — в понятие функций множественной когерентности.

С м ы с л частного коэффициента корреляции можно пояснить следующими рассуждениями . Пусть Xi(t), x2(t) и y(t) — т р и лю б ы е действительные случайные переменные случайных стацио

нарных		процессов с нулевыми		средними	значениями,	причем
xy(t)	и	x2(t)	могут быть коррелированными . Если корреляция
Xilt)	и x2(t)		обусловлена главным	образом	влиянием y(t)	на обе

эти переменные, то нахождение обычных коэффициентов линей ной корреляции может дать ложное представление об истинной

связи Xi(t)	и x2(t).	Ч а с т н а я корреляция устраняет этот		недоста
ток. Она удаляет		из корреляции Xi(t)	с x2(t) ту часть	к а ж у щ е
гося влияния Xz(t),		которая фактически обусловлена y(t), а из
корреляции	м е ж д у Xi(t) и y(t) — т у		часть кажущегося	влияния

y(t),	которая фактически обусловлена				x2(t).	П р и	этом	может
оказаться, что случайные переменные xx{t)						и x2(t)	некоррелиро-
ваны,	т. е. м е ж д у		ними отсутствует непосредственная связь, и
высокая линейная			корреляция Xi(t)	и	Xz(t)	в действительности
обусловлена		тем,	что существует	линейная		корреляция		м е ж д у
.v2 (/)	и y(t).	Таким	образом, частная корреляция определяет ли

нейную статистическую связь м е ж д у двумя переменными, когда влияние остальных переменных исключено, а коэффициент част ной корреляции является мерой этой связи. Д л я получения рас четных формул коэффициентов частной корреляции обычно ис пользуют уравнение линейной регрессии (Брукс, Карузерс, 1963; Пановский, Брайер, 1967; Бендат, Пирсол, 1971). Если число пе

ременных равно двум, коэффициент частной корреляции		явля
ется обычным	коэффициентом линейной корреляции (иногда его
называют т а к ж е коэффициентом парной корреляции) .
Пусть x(t)	и y(t) — два любых вещественных стационарных
процесса. Д л я	фиксированного момента времени X\(t) и y(t)	есть

случайные переменные из рассматриваемой выборки. Б у д е м по

лагать, что средние значения x(t)			и y(t)	равны		нулю. Тогда	у р а в
нение линейной регрессии м о ж н о			записать		в	виде
		y{t)=cx(t),					(2,1)
где y(t)	— прогнозируемое значение у (t),				с — константа,		подле
ж а щ а я	определению	(коэффициент регрессии).
Оптимальным способом определения				с, к а к и любых коэффи
циентов	линейного	уравнения, как известно,				является	способ

наименьших квадратов . При этом выполняется условие, что е —

ошибка разности y{t)—y{t)

—

является

минимальной.

Отсюда

получаем

уравнение,

которому- д о л ж н о

удовлетворять

ас

Из условия

(2.2)

с определяется

к а к

M[x(t)

-y(t)]

Rxy_ =

вху_

3 )

M[x*(t)]

Rxx

{

В уравнении (2.3) Rxx—Rxx(0)

=в\х

есть

функция

автокор

реляции

x(t)

при т = 0 ,

т. е.

дисперсия

процесса

x(t).

Rxy=

= RXy(0)—axy

— в з а и м н а я корреляционная функция x(t)

y(t)

при т = 0

(взаимная

дисперсия

x(t)

и y(t)).

Следуя

(2.3),

опре

делим остаточную случайную переменную

y(t)

по x(t)

из

у р а в

нения

Ay(t)=y(t)-y(t)=y(t)-(~V-)

x(t)

= y ( t ) - [ ^ - ] x ( t ) .

(2 . 4)

Н а й д ем дисперсию

'переменной

Ау((),

обозначив

ее

^ ( 1 - ^ ) = ^ ( 1 - г у ,

(2.5)

где

г2

—гху'(®)

— коэффициент линейной

корреляции

x(t)

y(t)

при

т = 0 ,

который можно

определить

из известного

у р а в

нения

г2

/ 0

\ _

Я«1/(0)

г*

удовлетворяет

неравенству

Очевидно, что если г*

(0) = 0 , то а & у А

у = а у у

и м е ж д у

x(t)

y(t)

отсутствует

линейная

зависимость. Если г2 .

(0) =

то Од7/дг/=0

и x(t)

и y(t)

ху

полностью линейно связаны .

Рассмотрим теперь три л ю б ы е действительные случайные пе

ременные

Xi(t),

X2(t)

и y(t)

случайных стационарных процессов

с нулевыми средними значениями, причем

Xi(t)

Xo(t)

могут

быть

коррелированными .

переменную Xi(t)

xz(t),

Определим

остаточную

случайную

по

а т а к ж е

остаточную случайную

переменную

y(t)

по

x2(t)

A X i { t ) = X i ( t ) - [ ^ - ] x 2 ( t ) ,

( 2 Л

Ay(t)=y(t)-[j^]b(t)-

(2-8).

Согласно

(2.5), функции автокорреляции д л я Axi(t)

и Ay(t)

при

т = 0

(дисперсии Axi(t)

nAy(t))

есть

^ v A v = ^ y = / ? w ( l - ^ ) .

(2-Ю)

где

(2.11)

# 2 2 - Д ц

2 1

r " = ~ i k y - '

( 2 Л 2 >

5 Зак . 11821

R-n = M[x2(l)Xi(t)],	Roy=M[x2(t)y(t)].				(2.13)
Функция взаимной корреляции RAx		A!J =	RAx	A y (0)	между Ax^(t)
и Ay(t) при т = . 0 будет
Л Д Х 1 Д в ( 0 ) = А 1 [ А д Е 1 ( О У ( 0 ] = Л д Я 1 л У -					(2-14)
Подстановка (2.7) и (2.8) в	(2.14)	дает	'
* - . * - * » [ < - - 3 5 ^ - ] = * ~					< 2 Л 5 >
Общепринятым обозначением дл я		величины		RAX,VAIJ	является
	RiV.2.				(2.16)

Это обозначение показывает, что остаточные переменные AA'I(^)

и Ay(t) получаются вычитанием из Xi(t) и y(t) величин Xi(t) и

y(t) т. е. вычитанием из Xi(t) и y(t) прогнозируемых значений. Обозначим т а к же , как в (2.16), величины, введенные урав

нениями (2.9) и (2.10)

	RAyAy = Ryy.2-			(2.18)
Поскольку средние	значения	полагаются		равными нулю, част
ный коэффициент	корреляции	при	т = 0	можно определить из
выражени я
	г\у,=		.	(2.19)
		A l l . 2 '	AJ/J/.2
которое удовлетворяет неравенству
	0 < г 2 1 и . 2 < 1 .			(2,20)

В тех случаях, когда средние значения не равны нулю, во всех приведенных выше в ы р а ж е н и я х корреляционные функции д о л ж

ны быть	заменены	функциями	ковариации		(Бендат, Пирсол,
1971).
Исключив из y(t)		и Xz{t) переменную		xt(t)	и	отыскав	связь
м е ж д у y(t)	и X2(t)	после исключения этой переменной, получим
R2V.u а исключив переменную y(t)			из x\(t)	и x%{t),		получим	Rixy

Вычисление частных коэффициентов корреляции дл я более чем трех независимых переменных имеет смысл выполнять только в тех случаях, когда линейная корреляция межд у п а р а м и пере менных не очень высока (около 0,5). Независима я переменная, которая наиболее высоко коррелирована с зависимой перемен-

нон, дает почти	столько	ж е сведении	о последней,	сколько мож
но получить от всех переменных (Брукс, (Карузерс,				1963).
Н а практике	можно	столкнуться	с исследованием линейных

динамических систем такого вида, когда на вход системы посту

пает несколько стационарных случайных процессов xi(t),	фор
мирующих на выходе один процесс yt (Бендат, Пирсол,	1971).

При этом часто необходимо бывает найти линейную статистиче скую связь м е ж д у процессом на выходе и всеми процессами на


входе	одновременно. Т а к а я				з а д а ч а		на стадии		корреляционного
а н а л и з а решается отысканием коэффициентов									множественной
корреляции, я в л я ю щ и х с я мерой этой							связи.
Составив уравнение				регрессии			дл я xv(t)	одновременно по
Xz(t)	и y{t)	и выполнив		прогноз Xi(t)			по А"з(0 и y(t),			м о ж н о	най
ти остаточную			переменную Axi(t),			произведя		вычитание из			Xi(t)
величины		Xi(t)	(прогнозируемое			по x%{f) и y(t)			значение		пере
менной		Xx(t)).	Xi(t) и Axi(t)
Корреляция					и дает коэффициент					множествен
ной	корреляции, который				иногда		называют		т а к ж е сводным

(совокупным) коэффициентом множественной корреляции . Та ким образом, коэффициент множественной корреляции — это

обычный коэффициент линейной корреляции м е ж д у

Xt(t)

Axi{t),

который

вычисляется

по формуле

(2.21).

где o2i23

= a\(\—rza)

(1—гг132),

г 1 2 — коэффициент линейной кор

реляции переменных

Xi(t)

x%(t)\

riZ.% — частный - коэффициент

корреляции

м е ж д у Xt(t)

и y(t)

после

исключения x2(t);

CTI.23

—

остаточная

дисперсия. И л и

Ri.hj=

+ r

' »

- 2

(2.22)

В принятых

ранее обозначениях (2.21)

перепишется:

(2.23)

Rxx(0)=aL=o\,

(2.24)

Агс.Дх:,

^ =

^ ( 0 )

•

< 2 - 2 5 >

Линейная множественная корреляция может быть распростра

нена на более чем три переменные. В этом случае					коэффициент
множественной корреляции находится из в ы р а ж е н и я
г)	а "	2	2		, п 0 „ .
			On .1234	•
Кт».1234=			1		(2.26)'

6 7

Коэффициент множественной корреляции всегда выше самого высокого из коэффициентов частной корреляции, но это пре

вышение может быть незначительным. <В таких случаях

прогноз

по

многим

предикторам

становится нецелесообразным.

Боль

шой

опыт,

накопленный

практике

метеорологических

прогно

зов (Пановский, Брапер, 1967), свидетельствует

о том, что

уве

личение

числа

переменных

(предикторов)

далеко

не всегда

при

водит к улучшению качества прогноза, поскольку

коэффициенты

множественной

корреляции

между

четырьмя

более

пере

менными

обладают малой

устойчивостью.

Кроме

того,

по

ме

ре

увеличения

числа

переменных

становится

труднее

оцени

вать значимость результата . Таким образом, применение

(2.26)

имеет смысл только в тех

случаях,

когда физическая

взаимо

связь с

предиктантом

не

отражена

какой-либо

другой

пере

менной.

Приведем пример расчета коэффициента множественной кор реляции, выполненного для составления уравнения регрессии и

последующего			прогноза		среднемесячной		разности температур
воды	и	воздуха	в	районе	к о р а б л я погоды		«D»	(северная	часть
Атлантического			о к е а н а ) .
В	качестве		предикторов взяты:			разность		температур	воды
и воздуха в районе корабля погоды «D» в предшествующие									про
гнозу	сроки и давление в центре Исландской барической депрес
сии (Н),		которая является индикатором радиационных и динами
ческих		процессов		в атмосфере. Из реализаций				среднемесячных
значений этих процессов за периоды						1951 —1960		гг. вычислялись
функции авто-			и взаимной корреляции, выявившие статистиче
скую	зависимость			предикторов. Д л я		вычисления коэффициента

множественной корреляции из данных авто- и взаимнокорреля -

ционного	анализа необходимо было выбрать коэффициенты пар
ной корреляции		исходя	из того, что заблаговременность прогно
за была	з а д а н а	равной	6	месяцам . В соответствии	с этим коэф
фициент	автокорреляции			гн- предшествующей t и	последующей

? разностей температур воды и воздуха выбирался по экстрему му функции автокорреляции, расположенному на сдвиге хц>, бли


ж а й ш е м к заданной			заблаговременности прогноза. Коэффициен -
ты взаимной корреляции давления в центре Исландской					бариче
ской депрессии и разности температур воды и воздуха					выбраны
на двух сдвигах: 1) Хну, соответствующем экстремуму					функции
взаимной корреляции, б л и ж а й ш е м у к заданной				заблаговремен
ности	прогноза.	Коэффициент корреляции гт-		характеризует
связь	давления	Я	и последующей разности температур воды
и воздуха f; 2)		хт,	соответствующем разности сдвигов		хи—хт-

Коэффициент корреляции хт характеризует взаимосвязь давле ния и предшествующей разности температур воды и воздуха.

Таким образом, были получены три коэффициента парной корреляции rtr, rHV, rHi, равные соответственно —0,63, —0,68, —0,69. П о этим данным вычислялся (см. 2.21) коэффициент

€8


множественной корреляции		Rr.ni',	который лишь	незначительно
превысил коэффициенты парной корреляции и				составил 0,72.
Этот	результат указывает	на	нецелесообразность		вычисления
Rt-.ni	в тех случаях, когда	парные коэффициенты			корреляции

высоки, поскольку чаще всего коэффициент множественной кор реляции дает почти столько ж е информации о связи переменных,

сколько и парные коэффициенты корреляции.
Составление	уравнения регрессии с Rv.m				и	прогноз разно
сти температур	воды	и	воздуха	в районе к о р а б л я погоды «£>»
•с заблаговременностыо		6	месяцев	показали,	что	множественная

регрессия сколько-нибудь не улучшила качества прогноза, срав

нительно с прогнозами,	выполненными по уравнениям регрессии
с использованием Гц/ и	rHt-.

§3. Характеристика взаимосвязей океанологических процессов

вчастотной области

Структура связи двух процессов во временной области, как показано в § 1 настоящей главы, описывается функцией взаим ной корреляции. .Отсутствие значимой корреляции м е ж д у двумя процессами может свидетельствовать только о том, что домини рующие в процессе компоненты не связаны, тогда к а к м е ж д у другими компонентами связь может оказаться существенной. С такой ситуацией океанологам приходится особенно часто стал киваться при исследовании крупномасштабных процессов. Пусть, например, в каком -либо районе скорость течения о к а з а л а с ь некор релированной с градиентом атмосферного давления, так как до минирующие высокочастотные флуктуации течения вызваны местным ветром. В то ж е время есть основания предполагать, что градиенты атмосферного давления репрезентативны д л я крупномасштабной изменчивости течений. Тогда возникает вопрос об исследовании частотной структуры связи, т. е. о степе ни корреляции спектральных компонент процессов на определен ных частотах спектра и разности фаз этих компонент.

Изучение тонкой структуры связи необходимо при решении самых разнообразных физических задач, в том числе таких, как установление временных и пространственных масштабов взаимо

действия	различных: процессов, к а к определение соотношения
м е ж д у	различными механизмами передачи энергии, прогноз
спектральных компонент и др.
Д л я	изучения	частотной структуры связи вводится понятие
функции	взаимной	спектральной плотности, которая представля

ет собой преобразование Фурье взаимной корреляционной фун кции

со

(3.1)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ