Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Григоркина Р.Г. Прикладные методы корреляционного и спектрального анализа крупномасштабных океанологических процессов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

пользованы и другие фильтры или операторы сглаживания . Опи сание некоторых способов фильтрации, применяемых в гидроме

теорологии,	можно	найти в работе	Г. «В. Матушевского и
В. Е. Привальского		(1968). П о д р о б н а я	характеристика	различ
ных приемов сглаживания в сочетании			с центрированием	приво
дится А. Ф. Романенко и Г. А. Сергеевым (1968).
S'[ai),	:foo' цтки/рпд

\|	\|	'	'	'	I	I	I	I	l _
0,2	ОМ	0,6	0,8	1,0	1,2	1,4	1,6	1,8	2,0

Рис. 7. Спектр флуктуации температуры воды после исключе

ния долгопериодных составляющих:

1 — полиномиальное сглаживание; 2 — фильтрация

Удаление тенденции исходного ряда наблюдений далеко не исчерпывает тот перечень задач, который может быть решен с помощью аналитической фильтрации. Фильтрация широко ис пользуется, в частности, при первичной обработке наблюдений д л я подавления случайных высокочастотных компонент, обуслов ленных помехами при измерениях или короткопериодными флуктуациями исследуемой характеристики . В последнем случае по давление короткопериодных, часто значительных по интенсивно сти, флуктуации позволяет более детально выявить статистиче ские закономерности колебаний низкочастотной части спектра, которые в исходной реализации могут быть замаскированы вы сокочастотными составляющими . .Применяя комбинацию низко частотного и высокочастотного фильтров, формируют полосовой фильтр, с помощью которого выделяют колебания в пределах какой-либо узкой полосы частот.

Г Л А В А II

С Т А Т И С Т И Ч Е С К И Й А Н А Л И З В З А И М О С В Я З Е Й К Р У П Н О М А С Ш Т А Б Н Ы Х О К Е А Н О Л О Г И Ч Е С К И Х

ПР О Ц Е С С О В

§1. Характеристика взаимосвязей океанологических процессов

во временной области

(При описании океанологических процессов часто приходится иметь дело не с одной, а с двумя или несколькими функциями времени, т. е. с системой случайных функций. В этом случае воз никают задачи определения статистической связи м е ж д у различ ными случайными функциями. Такие связи могут характеризо

вать зависимость

флуктуации

одного и того

ж е элемента

раз

личных точках поля или зависимости м е ж д у различными

состав

л я ю щ и м и

векторного

процесса.

(Например,

связь флуктуации

температуры воды па различных горизонтах или связь

м е ж д у

зональной

и меридиональной

составляющей

вектора

течения.)

П р и решении

ряда

практических з а д а ч постоянно

возникает

необходимость исследовать

т а к ж е связи между различными

оке

анологическими

полями

(например, связь м е ж д у полем

масс и

полем

течений),

а т а к ж е

связь

м е ж д у океанологическими

поля

ми и

метеорологическими

или

геофизическими полями

(напри

мер, связь поля ветра и поля течения или поля температуры во ды и температуры воздуха) . Из - за неполноты стандартных оке

анографических	наблюдений	связи м е ж д у полями или д а ж е
внутри одного	и того ж е поля	океанологических характеристик

обычно установить не удается и приходится ограничиваться ис следованием зависимости м е ж д у элементами в отдельных фик сированных пунктах.

Изучение процессов в океане как системы случайных функ ций позволяет не только статистически описать эти процессы, но имеет более глубокий физический смысл. Если, например, отка зываются от весьма уязвимых постулатов полуэмпирической тео

рии турбулентности, то приходят к необходимости		описания
турбулентных процессов на	основе моделей статистической
гидромеханики, эмпирической	основой которых д о л ж н о	быть за
д а н и е океанологических полей как системы случайных		функций.

Во многих случаях нельзя достаточно глубоко понять физический механизм воздействия внешних сил на воды океана и разрабо

тать	соответствующие гидродинамические модели,	з а д а в	внеш
ние	силы детерминистически. Хорошим примером	тому	служит

развитие теории ветрового волнения (Филлипс, 1969). Нет сом нения в том, что для построения моделей крупномасштабной из менчивости процессов в океане з а д а н и е внешних сил в виде систем случайных функций в ряде случаев необходимо.

Исчерпывающей характеристикой системы случайных функ ций являются многомерные законы распределения. Однако прак тическое приложение многомерных законов распределения д о вольно сложна я и не всегда реализуемая задача, поэтому дл я системы случайных функций, т а к ж е к а к и дл я одной функции,, обычно ограничиваются только вычислением первых двух мо

ментов ординат

функций

(корреляционная

теория

функций) .

В р а м к а х этой теории вводится функция двух переменных,

опре

деляемая

к а к

^ „ ( T ) =

l i m - ^ r J

x(t)y(i+x)dt,

(1.1).

где x(t),

y{t-\-x)

— реализации стационарных

стационарно,

связанных процессов с нулевым математическим

ожиданием,

x=t%—ti.

Функция

Rxy(f), н а з ы в а е м а я

взаимной

корреляционной

функцией,

характеризует

степень

коррелированное™

(взаимо

связанное™) ординаты реализации

x(t),

взятой

в момент

време

ни ti, и ординаты

реализации y(t),

взятой

момент

времени t-z,.

т. е. является мерой статистической

связи

процессов

x(t)

y{t).

В общем случае функция взаимной корреляции

несиммет

рична

Rxti(T)¥=R*v(-T),

(1-2)

поэтому вычисление Rxy(x) осуществляется как дл я положитель ных, так и дл я отрицательных значений аргумента. Н о объем вычислений может быть сокращен на основе следующего свойст ва RXy(r):

Я * у ( т ) = Д у х ( - т ) , |

9 а )

RyX(x)=Rxv(-x). 1

Функция RXy{t) характеризует дении x(t) относительно y(t)s по отношению к у(t). С учетом

нечного предела интегрирования

степень зависимости при у п р е ж

Ryx(x)	— при запаздывании		x(t)
(1.2а)	выражение (1.1)	дл я	к о
запишется следующим		о б р а з о м :

R l u (T) =

7^ - J

x(t)y(t+x)dt,

(1.3)

Д л я	вычисления взаимной			корреляционной		функции из		случай
ных	последовательностей			формулу	i(1.3)	можно переписать в.
следующем		виде:
		Д * » ( / Д 0 ~	- Т Г Г Г 2		x(jAt)y[(j+l)At],
				N-I					(1.4>
				N-I
		Ryx ( Ш ) ~	-j^-;-	2 У UAt) x [ (/+			/) At],
				i=0
где jAt = t, / - M = H - t			(другие обозначения			в	формулах	(1.4)	см.
в § 2, гл. I ) .
Функция		взаимной	корреляции		более	информативна,			чем

функция автокорреляции в том смысле, что, помимо оценки ста

тистической связи x(t) и y{t),	она	дает	возможность	получить
т а к ж е разность фаз процессов	x(t)	и y(t).	'Временной	сдвиг т/,

соответствующий максимуму функции взаимной корреляции,

определяет	среднюю разность фаз анализируемых	процессов..
Этот сдвиг	иногда называют оптимальным сдвигом.	Симметрия

функции взаимной корреляции относительно нулевого сдвига (максимум функции на нулевом сдвиге) означает, что процессы протекают синфазно. Асимметрия взаимнокорреляционной функ ции (максимум на сдвиге, не равном нулю) свидетельствует о> том, что процессы протекают с некоторой разностью фаз, соот

ветствующей	т;.
Поскольку	Rxy{x) ^yRx{0)R,j{0)			, можно	произвести	норми
рование функции взаимной корреляции . Тогда получим						безраз
мерную характеристику связи двух				процессов
	(т) =		Rxy(x)
	(т) =
			УЯ*(0)Я„(0)
						( 1 . 5 )
			yR*(0)Rv{0)
Функции гху(%)	и гух(х)	при фиксированных			временных	сдвигах
межд у процессами есть		коэффициенты линейной (парной) кор
реляции. Rxy(0)	называют взаимной дисперсией, а числитель
(1.5) — ковариацией процессов x(t),				y(t).

П о абсолютной величине нормированной функции взаимной корреляции судят о степени взаимосвязи процессов, а по ее зна ку — об их прямой (ковариантность) или обратной (контравариаитность) зависимости. Если два различных процесса проте кают в известной степени однородно (ковариантность), то неза висимо от того, обусловлена ли эта однородность взаимным вли-

•янием причины или следствия или зависимостью обоих процес

сов от некоторого третьего в любом случае будут иметь			место
одинаково направленные отклонения от средней величины			(ма
тематического о ж и д а н и я ) . В этом случае	коэффициент корреля
ции будет положительным .
Если два процесса влияют друг на друга		во взаимно обрат
ных направлениях (контравариантность)	или	зависят от	неко

торого третьего параметра так, что при возрастании одного из процессов будет иметь место уменьшение другого, и наоборот, коэффициент корреляции будет отрицательным.

К в а д р а т коэффициента корреляции является мерой отноше

ния дисперсии	y(t),	обусловленной линейной		связью	у (t) с	x(t),
к общей дисперсии y(t). П о этой			причине в качестве		показателя
•степени линейной взаимосвязи процессов в фиксированный						мо
мент времени	часто	используют	величину г2ху(т),		называемую
коэффициентом	детерминизации		(Эзекиел,	Фокс, 1966), введе

ние которой целесообразно при решении прогностических во

просов.
Одной		из з а д а ч взаимнокорреляционного а н а л и з а						является
оценка точности вычисления Rxy(x).						Такую оценку в силу			труд
ности подходящей аппроксимации Rxy{x)							аналитическими		выра
ж е н и я м и		приходится		вести	численными		методами.
Дисперсия функции взаимной корреляции представляет собой
			o\(x)=M[Rlj(x)-Rlv(x)],						(1.6)
т д е R2*y{x)		— о ц е н к а ,		Rxy(x)	— и с т и н н о е		значение функции		взаи
мной	корреляции,
					Т п —х
	M[R\,M)]		=	~rr	г " I (Tn-x-x^Rzix^dn.				(1.7)
		Rz(xl)=M[x.(il)y(ti)x(t3)y(tl)],							(1.8)
		=	t2=t+x;		t3=t+xi\		/ t = / + T - R r i .		(1.9)
В ы р а ж е н и е (1.6)			при	т > 0	с учетом	(1.7), (1.9) можно		преобра
з о в а т ь	к	виду

X [Rx(xi)Rv(n)		+RXV(т+т,)	Rxv(t-ti)	]dxu	(1.10)
•При вычислении	Rxv(x)	из дискретных		последовательностей
д л я определения a2R	(т) используют		следующую формулу:

Л ' - /

	X {Я* UiAt)Rv (цД/)				(fi+l)		At]RyX	[ ( ц - / ) A / i } ,			(1.11 >
где ц.Д?=т.
Если	построить	график	зависимости			NAt от ajj (т), то можно вы
брать такие значения At			и N, которые при фиксированной длитель
ности	экспериментальной			записи Ти		удовлетворяют				условию
			е . , Л ^ ) < \| е л \| ,							(1-12)
где е д	— допустимая точность				вычисления			Rxy(lAt),		exy(lAt)	—
нормированная		величина		уклонения			взаимной		корреляционной
функции от истинного			значения, определяемая						по	формуле
		^	-	^	т	ж	-				< и з >

Выбор подходящих значений длительности экспериментальной записи Тт шага дискретности At, числа дискретных значений ор динат /, вычисляемых на интервале [0, т К о р] и удовлетворяющих условию '(1.12), а т а к ж е оценка интервала корреляции т К О р могут производиться только после вычисления корреляционных функ ций. Д л я 'их вычисления нужно иметь выбранными Тнор, т т , At и N. Рекомендации дл я предварительного выбора этих величин приведены в § 2 гл. 1.

В ряде практических з а д а ч достаточной	оказывается упро
щенная оценка дисперсии Rxy(x)—оценка	сверху, производи

мая на основе свойств функции автокорреляции и взаимной кор

реляции.	П р и такой		оценке		(Лившиц, Пугачев,				1963) вводятся
времена	Тх, Т,„	Тху,	которые			определяются		следующими		у с л о
виями:
		гхХ(х)		;0	при		\х\>Тх,	]
				• Q	при		\х\>Ту,	\|	(1.14*
				;0	при		\| т \| >Тху.	J

Вводится	т а к ж е	время		Т0ху,	равное наименьшей				из величин	Тх и
Ту. Таким образом, если ТХ<ТУ,						то
Если Г у < 7 \ . то				T0xv		=	Tx.		(1.15)
				Т0ху		=	Ту. •		(1.16)

В ряде работ (Лившиц, Пугачев, 1963; |Гельфаидбейи, 1967 и др . ) показано, что для получения приемлемой точности вычисления оценок взаимной корреляционной функции во всем д и а п а з о н е

з о з м о ж н ы х значений т, дл я			которых	она	определяется,	д о л ж н ы
.соблюдаться		следующие неравенства:
Н а основе свойств функций			автокорреляции и взаимной			корре
ляции	можно	записать, что
		\| t f » c ( T i ) K A c * ,			I
		\Rxy(r+xO\<yDxxD				(1.18)
		\Rxy(r+xO\<yDxxD		VV '
				VV '
		\RXV(x-tOl^	УDxxDvy,		I
					)
.где Dxx	и Dyy	— дисперсии случайных		функций x(t) и у (t). Эти

неравенства используются дл я получения искомой оценки зна

чения a2R (т) сверху.						RXx{fd>
Если	в	выражении (1.10)	заменить	в правой	части	RXx{fd>
•Ryyi^i),	Rxy ( т + t i ) , Rxy(x—Ti)		их абсолютными		значениями и
выполнить		ря д преобразований, то с учетом (1.17,			1.18)	получим
		а% (х) <DXXDуУ	Т*+Т">-	,		( ! . 19)

	<Х у 2	~» ,
	Jxxuyy	* п
где	Л = I /	Тохи+Тхи t
	7	1 - *

.(1.20)

(1.21)

(Ухх, ovv — среднеквадрэтические отклонения случайных функций x(t) и y(t). В частном случае, при т = 0 , получим выражение для

оценки	сверху	нормированного	среднеквадрэтического	отклоне
ния взаимной		дисперсии
		ств(О) ^ у	2 т0ху+тху	( 1 2 2 )
К а к	показывает (1.22), д л я		получения приемлемой	точности

определения взаимной дисперсии достаточно, чтобы отношение оыло мало . Если это условие выполняется, то в соот-

ветствии с (1.14), дл я	аргументов	т, при которых Rxy{t)	имеет
существенное значение,	отношение	— ^ — т а к ж е будет	малым п

следовательно выполняется неравенство (1.17). Если отбросить, множитель % из (1.20), оценки сверху дл я ал(т) и а л ( 0 ) совпа дут и тогда

		сгл (т)	<	ТокУТ* Тху		(1.23)
			<

Неравенство	(1.23)	показывает, что дл я того			чтобы	отношение-
OR(X) к ахву	заведомо не превышало 0,1, достаточно,					чтобы	ин
тервал времени Г п		был не меньше 200(Т0ху-\-Тху)•			П р и в е д е м		при

мер оценки сверху по формуле (.1.22) среднеквадратического от

клонения	функции взаимной		корреляции		^ ^ ( т ) глубины	залега
ния верхнего		термоклииа и	среднего	градиента в термоклине
в одном	из	пунктов, расположенных		в	северо-западной	части

Тихого океана. Нормированна я функция взаимной корреляции

этих характеристик гху(х)	на положительном сдвиге, а также-
нормированные функции	автокорреляций	rXXi (т) и rXXz	(х) при
ведены на рис. 8. rxy(x),	rXXl>(x), гХХ2(х)	вычислены из	трехлет

них отфильтрованных реализаций (7^=1098) , имеющих суточ ную дискретность, при максимальном сдвиге 90 суток. Опреде

лим по rXXi (т) глубины залегания термоклина и					по	гХХг (т)
градиента в термоклине	времена	Тх	и Tv. rXXi	(т) и гхх.,	(т) на ин
тервале [ 0 — т т ] , строго	говоря,	не	являются	полностью		затуха

ющими функциями, поскольку имеют в этом интервале значения.»

х, сутки

-0,3\-

Рис. 8. Функции автокорреляции глубины залегания верхнего термокли на (х), среднего градиента в термоклине г ^ (т) и функция взаим ной корреляции этих характеристик гху{%)

5Г

отличные от нуля,

что

связано с присутствием

исследуемых

нами процессах

слабо

затухающих

периодических

компонент

(см. рис. 8). Однако можно найти такой сдвиг

п,

за

пределами

которого

rXXi(x)

гхх„(х)

равны или

меньше

0,05,

т. е.

весьма

•близки

нулю.

Критерий,

выбранный

нами

для

определения

T i

( е = 0 , 0 5 ) ,

дает

вполне

аналогичное

ткор,

если,

следуя

А. Ф. Р о м а н е н к о

и Г. А. Сергееву (1968),

определить

последний

к а к

такое

значение

аргумента

г(х),

начиная

которого

выпол

няется

соотношение

[ г ( т ) ] = ^ е

для

всех Т ^ Т К О Р -

Д л я

функции

автокорреляции

глубины залегания

термоклина

—77

сут

кам . В соответствии с (1.14) положим Тх—75

суткам.

Функция

>'ххг

(х)

затухает

более медленно, чем гХХ[

(т);

Ту

— 92 суткам

(см.

рис. 8) . Так как ТУ>ТХ,

то согласно

(1.15), Г 0 л у

Г Л

~ 7 5

суткам.

П о

функции

взаимной

корреляции

гху(х)

(рис.

определим

ОО

ТЭ

М 0

)

~|/

3 1 4

/ / 1

С ,

Тху=82

суткам.

Вычислим

I /

^ 0 , 5 4 .

(т)

°хОу

1098

Д л я

расчета

—

на сдвигах 10 и 50

суток

найдем

Лю = 0 , 9 1

и Я5о=0,83; соответственно

на

этих

сдвигах

будут мень

ше

0,49

0,45.

ж а и

Приведенные результаты расчета показывают, что нормиро

ванная

среднеквадратическая

ошибка

Rxy(x)

довольно

велика.

К а к

следует из (1.23), для получения

относительной

ошибки,

не

превышающей 0,1, исследуемые нами ряды д о л ж н ы иметь про

должительность 7"H =31 400 суток ==^84 года. Очевидно,					что	при
'более быстром затухании	функций авто- и взаимной корреляции
на Тп налагались бы	менее жесткие	ограничения.			Так,	при
Г д ^ Ю Э б суток (3 года)	д л я получения	° R ^	с	погрешностью
		<Ух<Уу
•около 0,1, функции авто- и взаимной корреляции				д о л ж н ы		зату
хать приблизительно на сдвигах 6—ilO суток.
Очевидно, что оценки	(1.20, 1.23) неприемлемы			д л я	функций

.авто- и взаимной корреляции процессов, содержащи х ярко вы

раженные и незатухающие

с увеличением

периодические ком

поненты

из-за невозможности определения

времен Тх,

Ту

Тху.

Р а с с м а т р и в а я

вопрос

об

оценках

точности вычисления

функ

ций

взаимной

корреляции,

необходимо

обратить внимание

на

•следующее. Оценка R*

(х),

как

и л ю б а я

другая

статистическая

оценка,

д о л ж н а

отвечать

определенным

требованиям

быть:

а)

состоятельной,

б) несмещенной

(или

асимптотически

несме

щенной), в)

эффективной

(см. § 1 гл. I ) . Изучение

статистиче

ских свойств оценки Rxy(x),

т. е. вопроса

о том, в какой

мере

она

удовлетворяет

сформулированным выше

требованиям,

представ

л я е т

соб'ой

сложную

задачу .

Сложност ь

состоит,

во-первых,

том,

что

необходимо

прежде

всего решить, к

какому

классу

.58

ORX!I

процессов относить изучаемый								океанологический процесс, так.
как	от	этого	зависит состоятельность							и несмещенность	оценки
У?*	(т). Так, если исследуемый							процесс является гауссовым, то-
д л я	него	оценки		R*	(т)	вида	(1.3)		являются состоятельными и>
				ху ^ 1			N	'
несмещенными.				Д л я	других		классов процессов состоятельность
и несмещенность				оценок		R*	(т)	приходится исследовать			специ-
						ху
а л ы ю . Однако			вопросы			статистической				классификации	океано
логических процессов					слабо изучены				и возможности их решения

в силу недостаточных длин реализаций этих процессов ограни чены.

Вторая трудность исследования статистических свойств оце

нок У?*	(т) состоит в том,		что,	к а к видно из соотношения	(1.6),.
статистические		свойства R* (т)		можно охарактеризовать	только*
через истинную		взаимную	корреляционную функцию Rxy(x)		ис
следуемого процесса. П р и			таком предположении и получены вы
р а ж е н и я	(1.10)	и . ( Ы 1 ) .	З а м е н а в этих в ы р а ж е н и я х истинных

значений оценками не всегда допустима, поэтому на их основе практически невозможно точно оценить дисперсию ( Т ) и,. следовательно, эффективность оценки. Кроме того, изучение за


висимости		дисперсии оценки У?*у (т) от длины реализации,								а т а к
ж е от выбора			параметров вычисления				функций взаимной			корре
ляции	Тв,	Tm,	At	приходится д л я к а ж д о г о конкретного						случая
вести экспериментально						и прибегать д л я		этого к последователь
ным	приближениям .
Исследование				изменчивости оя(т)			с изменением Т, Тт			и	А/»
а т а к ж е в зависимости					от величины R*		(т) (в экстремумах и				ну
лях функции)			облегчается, если известны					аппроксимативные			вы
р а ж е н и я		Rxy(x).		Однако		возможности	аппроксимации		функций
взаимной		корреляции			океанологических			процессов,	насколько

нам известно, практически не изучены. Очевидно, что дисперсия функции взаимной корреляции, как и дисперсия функции авто корреляции - (см . § 2, гл. 1), д о л ж н а существенно зависеть от вида

аппроксимации,	а т а к ж е от степени коррелированности процес
сов. Резюмируя	сказанное выше, отметим,- что не д л я всех ста

тистических характеристик можно построить одновременно со

стоятельные и несмещенные	оценки (см. § 3 гл. I ) .
Применительно к океанологическим процессам назовем не
которые задачи, решаемые	на основе взаимнокорреляционного
анализа .
1. Определение величины	и з н а к а статистической связи меж

ду двумя стационарными случайными процессами на различных

временных сдвигах	т.
2. Определение	средней разности фаз процессов по сдвигу,
соответствующему	максимуму функций взаимной корреляции.
3. Установление	временных масштабов, в которых статисти

ческая связь процессов является наиболее сильной (по функциям

59-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ