Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Григоркина Р.Г. Прикладные методы корреляционного и спектрального анализа крупномасштабных океанологических процессов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Линейные модели динамических процессов в океане часто яв л я ю т с я достаточным приближением к реальным условиям и хо

рошо описывают		широкий класс крупномасштабных явлений.
Именно в	таком	приближении, например, получены основные
результаты	теории	течений, приливов. Многие океанологические

з а д а ч и могут быть сведены к исследованию одномерных стати

стических связей м е ж д у внешним воздействием	(входом)	и его
результатом (выходом) .
Рассмотрим вопрос о том, к а к связаны м е ж д у	собой статисти
ческие характеристики входных и выходных процессов.		Пусть

произвольное внешнее возмущение представляет собой единич

ную импульсную	функцию		6(т)	(дельта-функция Д и р а к а ) ,			мате
матически определяемую			как
		6 ( т ) = 0		для	хфО,
	е
	j б ( т ) с ? т = 1			для	всех	е > 0 ,	(5.3)
	—е
о		е
§&(x)dx=		jb(x)dx=		—	д л я	всех е > 0 .
-s		о-

Дельта - функция с физической точки зрения может быть ин терпретирована как мгновенный импульс, приложенный к входу системы. Если на линейную систему с постоянными параметра ми действует не единичный, а произвольный импульс, то реакция системы на этот импульс может быть охарактеризована при по мощи весовой функции h(t) (импульсная переходная ф у н к ц и я ) , которая определяется как реакция системы на единичную им пульсную функцию по истечении времени т. Таким образом, весо вая функция есть реакция системы в момент х на единичную им пульсную функцию, приложенную к системе на время т раньше

(Бендат,	1965).
Пусть	x(t) есть	сигнал		на входе системы (внешнее	возмуще
ние на входе), a y(t)		— на выходе. Через весовую функцию вход
ной и выходной сигнал			могут быть связаны следующим		образом:
				со
		y(t)	=	\ h{x)x{t-x)dx.	(5.4)
				о
П р и этом	учитывается,		что	поскольку реальная физическая си

стема не может реагировать в данный момент на будущие воз

мущения, весовая функция	таких систем д о л ж н а удовлетворять
условию
ft(T)=0	при т < 0

100

(условие физической возможности системы) . И з (5.4) следует, что весовая функция полностью определяет реакцию линейной системы на внешние возмущения .

В качестве характеристики линейных динамических

систем

часто

используется т а к ж е передаточная функция

Н(Р),

которая

м о ж е т

быть

определена

как

преобразование

Л а п л а с а

весовой

функции

со

H(P)=\h(x)-er**dx.

(5.5)

где р— комплексная частота,

p — b-\-i®.

Действительная

часть

комплексной

частоты

есть

коэффициент

затухания,

мнимая

часть

соответствует частоте

гармонического

сомножителя

зату

х а ю щ е г о колебания . Д л я

гармонического

колебания

действитель

н а я

часть

соответствующей

ему

комплексной

частоты

равна

нулю .

П р и б-*-0, т. е. при

замене

р на

/со, преобразование

Л а п л а с а

совпадает с

преобразованием

Фурье, и

передаточная

функция

м о ж е т

быть записана в виде обращения

Фурье

весовой

функции

со

Я(со) =

j h ( x ) e - i ° " d x = y ( i a ) .

(5.6)

В форме (5.6) передаточную функцию называют

т а к ж е

час

тотной

характеристикой

y(ia)

системы. Таким

образом,

част

ном

случае

(6 =

0) понятия

передаточной

функции

и частотной

характеристики

совпадают.

Передаточная

функция,

к а к

следует

из (5.5), является более широким понятием, чем частотная ха рактеристика, и представляет собой аналитическое продолжение частотной характеристики на всю комплексную плоскость.

•В дальнейшем термины «передаточная	функция»	и «частот
н а я характеристика» мы будем употреблять	в смысле	(5.6).

Если внешнее возмущение задать в виде гармонической функции

р е а к ц и я системы на возмущение такого вида запишется:

		со
u{t)	=	§ h(x)ei<*lt-Vdx=y(ia)eia>t			.	(5.7)
		о
Ч а с т о т н а я характеристика			может	быть представлена		в виде
У(«о) =		М с о )	I	•ei^=Pia)-\-iQ(a),
где \| * / ( с о ) \| — м о д у л ь ,		определяющий амплитуду на выходе си
стемы при частоте	со	(амплитудная частотная			х а р а к т е р и с т и к а ) ,

101


qp (со) — сдвиг		ф а з ы реакции				на выходе системы		по отношению-
к фазе внешнего			возмущения			((разовая частотная		характеристи
к а ) . Р(а)	называют вещественной частотной характеристикой,.
Q(co) — м н и м о й			частотной характеристикой
			Щи)	=	\у(<о)\		созф(со),	(5.9)
			Q(co) =		ly(to) [ зт-ф(со),			(5.10)
			\|y(co)\| =		[ ^ J c o ) + Q 3 ( t o ) ] 2 ,			(5.11)
			c p ( c o ) = a r c t g - \| g \| - .					(5.12)
Амплитудная		и	вещественная			частотная характеристики я в л я
ются четными функциями со, т. е.
			Ы с о ) \| =			[у( - <со)\|,		(5.13)
			Р ( с о ) = Р ( - с о ) ,					(5.14)
а ф а з о в а я	и	мнимая		частотные			характеристики — нечетными
функциями	со,		ф(со)=—<р(—со),					(5.15)

			Q ( c o ) = - Q ( - c o ) .					(5.16)
Весовую и	передаточную			функции,			а т а к ж е частотную х а р а к т е

ристику называют динамическими характеристиками линейной

стационарной системы, с помощью которых эта	система м о ж е т
быть полностью описана.
Весьма в а ж н ы м является то обстоятельство,	что динамиче

ские характеристики одномерной линейной системы вполне опре деленным образом связаны сравнительно простыми соотношени ями со статистическими характеристиками процессов на входе-


выходе		системы			(с дисперсиями,	функциями		корреляции и
спектральной			плотности) .
	Если известны				динамические характеристики			системы, а т а к
ж е	статистические				характеристики	процессов	на	входе	системы,
то	могут	быть		найдены характеристики на			выходе		системы,
С другой стороны, по известным статистическим								характеристи
кам	входного		и	выходного процессов определяются					динамиче

ские характеристики системы. Динамические характеристики си стемы могут быть найдены либо теоретически по уравнениям, описывающим процесс, либо эмпирически по статистическим ха рактеристикам входного и выходного процессов. Сравнение ре зультатов этих двух подходов может быть основой для опреде ления неизвестных параметров системы.

Удачная попытка связать трехмерные спектры скорости и ка сательного н а п р я ж е н и я ветра и описать трансформацию энергии

102

к а с а т е л ь н о го н а п р я ж е н и я ветра в энергию составляющих скоро сти дрейфового течения заданного м а с ш т а б а с помощью пере даточной функции была предпринята А. Д . Ямпольским (1966). Особенности процесса передачи энергии ветра течениям полно стью описываются теоретической передаточной функцией опре деленного вида. Этот подход адекватен описанию процесса с по мощью линейных уравнений движения в предположении, что составляющие скорости могут быть р а з л о ж е н ы в ря д Фурье по вертикальной координате, причем амплитуда к а ж д о й гармоники является функцией координат и времени.

Рассмотрим, как связаны м е ж д у собой динамические и ста

тистические		характеристики одномерной стационарной								системы.
К а к	было	показано, если на входе					линейной динамической си
стемы	действует		случайный стационарный					процесс x(t),		то его
с в я з ь	с процессом			на	выходе y(t)		описывается		соотношением
(5.4).
Корреляционная функция процесса на выходе запишется
		Яуу	(Ш		—M[y(ti)y(tz)		] — Ryy	(т).		(5.17)
Подстановка вместо				y{t\),		y(.t2) в ы р а ж е н и я		(5.4)	приводит к
			СО			СО
	Rvv М =		I h	(TI)		[ I h (т2 ) Rxx (x—r2+ti)		dxz ] dxi >

о0

где

Rxx	( t — T 2 + T 1 ) = M [x (ti-Xi)	x {U—хг) ] .	(5.18)
Соотношение	(5.18) определяет связь	м е ж д у корреляционными

функциями процессов на входе и выходе и весовой функцией ли нейной стационарной системы (Лившиц, Пугачев, 1963). Соотно

шение (5.18)	м о ж н о	использовать дл я отыскания связи					м е ж д у
спектральной плотностью Svv(cd)					процесса на выходе y(t)		и спек
тральной плотностью Sxx((£>)				процесса		на входе линейной	систе
мы . В соответствии с определением
				со
	Syv (со) =		4г	j	Ryy (х) e-^dx,		(5.19)
	S** (со) =		~	-	j " Rxx	(x) e-^dx.	(5.20)
				—CO
П о д с т а в л я я	(5.18) в	(5.19),	получим
		оо			CO
SC T (co) =		J А-(т,) { h(xz)			[	Rxx(x-X2+

103

+ T i ) e - ' - » ' d f ] d T 2 } d T i -

(5.21)

После замены переменной т на та(то=т—tz-j-Xi) с учетом (5.6) соотношение (5.21) примет следующий вид:


	Syv(a)		=	\y(ia)\^Sxx(co).				(5,22)
Формула	(5.22) связывает			спектральные плотности				входного
и выходного	процессов	и амплитудную частотную характеристи
ку системы. При известных Sxx{(£>),					S ^ c o ) по	(5.22)	можно опре
делить \y(ia)\.	Связь	межд у		спектральными		плотностями			вхо
д а — выхода	системы,	ка к	следует		из (5.22),	значительно			более
проста и наглядна, чем связь				межд у корреляционными функция
ми. Спектральные плотности				связаны алгебраическим				соотноше
нием, а корреляционные функции значительно более								с л о ж н ы м ,
интегральным соотношением				(5.18). Поэтому если			необходимо

отыскать корреляционную функцию процесса на выходе по ста тистическим характеристикам процесса на входе, проще это сде

лать, используя	спектральную плотность процесса		на входе и
частотную характеристику		исследуемой линейной системы ( Л и в
шиц, Пугачев, 1963) по соотношению
	со
Ryv	( т ) = 2 j	\| у (too) 12 SX X (со) cos axdx.	(5.23)
	о

В выражени и (5.23) в качестве характеристики системы исполь зуется амплитудная частотная характеристика, которая явным образом может быть в ы р а ж е н а через параметр ы линейной си

стемы, тогда	как в		формуле		'(5Л8) в качестве		характеристики
системы используется			весовая		функция, которая, ка к правило, не
в ы р а ж а е т с я явным образом через параметры						системы.
Связь м е ж д у		функцией взаимной корреляции					процессов вхо
д а — выхода,	функцией			автокорреляции процесса			на входе и ве
совой функцией системы, аналогично (5.18)						можно получить из:
соотношения
				со
		Rxy(x)=		Ihix^R^it-x^dxi-			(5.24)
				о
Д л я взаимной		спектральной			плотности, по	аналогии с (5.21) и

(5.22) найдено следующее выражение (Гельфандбейн, 1967)

Sxu{(n)=y{i(o)Sxx(a>). (5.25)

Из (5.25) легко определяется частотная характеристика

104

Н а основе (5.26) получен	ря д соотношений,	имеющих	в а ж н о е
значение для практического	определения динамических характе
ристик одномерной линейной системы.
Действительная Р(со) и мнимая Q (со) части		частотной	х а р а к

теристики связаны соответственно с действительной и мнимой

частями функции		взаимной	спектральной	плотности следующи
ми	зависимостями:
		Р { а )	= ^ М - ,		(5.27)
			S.v.v(C0)
			•Ьл-х(со)
		Ф ( » ) = а г с ^ 4 Э Г Т - -			( 5 - 2 9 )
			•*>хх(Ы)
Qxy(a)—квадратурный			спектр, Соху—	коспектр. Д л я весо
вой	функции	со
		со
		2 Г
	/г(т) =	— I [Р(а)	cos сот— Q(co) sin сот]Ло.		(5.30)
		я о
		П р и Т ^ О .
В ы р а ж е н и я (5.26—5.30)			при известных	спектральных	плотно
стях	S,j„, Sxy,	которые	м о ж н о вычислить по данным		наблю
дении, являются		исходными дл я практического определения ди

намических характеристик одномерной линейной системы. П р и этом предполагается, что помехи, ошибки, искажения внутри си

стемы отсутствуют, и ее реакция определяется							только внешними
возмущениями .
Соотношения, аналогичные (5.25) и (5.26),							получены	д л я пе
редаточных	функций	(Бендат,		Пирсол,		1971; Гельфандбейп,
1967)	S£y{a)=Hx((u)Sxx{a),							(5.31)
					•
	Я , ( с о ) =			S ™ { " \				(5.32)
В ы р а ж е н и я	(5.18—5.32), описывающие				связи		статистических и
динамических характеристик,			получены			д л я линейных		динами
ческих систем, на входе которых действует один процесс,								порож
дающий соответственно		один	процесс на			выходе. Однако доста

точно часто приходится иметь дело с линейными системами, на

входе которых действует несколько		входных	процессов, генери
р у ю щ и х один процесс на выходе. В случае			некогерентных про
цессов на	входе, ка к показано в книге Д ж .		Бендата, А. Пирсо-
л а (1971),	в ы р а ж е н и я (5.18—5.32)	остаются	справедливыми . В
с л у ч а е ж е	коррелированных процессов на входе картина услож
няется.

105

Р а с с м о т р им случай, когда на входе системы действуют д в а когерентных процесса Xi(t) и х 2 ( 0 , п о р о ж д а ю щ и х один процесс иа выходе. Передаточны е функции и частотные характеристики систем могут быть найдены по информации о спектральной плот ности из выражений

5 1 г / ( _ с о ) = Я 1 ( с о ) 5 1 1 ( ю ) + Я о ( с о ) 5 1 2 ( о 5 ) ,								(5.33)
5 2 г / ( с о ) = : Я 1 ( с о ) 5 3 1 ( с о ) + Я 2 ( с о ) 5 о 2 ( с о ) .								(5.34)
Если при этом F 2	j 2 ( C U ) ^ = 1	и	(со) ФО		решением		(5.33)	и (5.34)
являются
Н Л & ) -		5 и ( с о ) [ 1 - ^ ( с о ) ] '					'	( 5 - 3 0 >
	»(>) [		1 -	fflff]		]
Я П » )	=	- L .		S"™**}")			•	(5.36)
где		52 2 (co)		[ 1 — F2r	(со) J
где
	F]A»)	=	-	,				(5-37)
			о н ( ы ) о 2 2 ( С 0 )

И Л И

и	,	s
Я	4 (со) =
t/	/	\

Я2 (со) =

•Sl v -(t o)52 2 (co)—52„(co)Sia-((o)			, „ - v
g	, g	, чr	(5.35a)
013(00)002	(со) —	\|oi2 (co) \| -
52 ,Дш)5ц(ср)—Su,((o)S2 i'(u))			, „ „ v
.	—	— -	(5.36a)

on(co)o2 2 (co) — |oi2 (co) I "

Знаменател ь уравнения (5.35) представляет собой спектр оста

точного

процесса

Axi(^)

(см. § 4 гл.

I I ) . К а к упоминалось

в § 4,

Axi(t)

получается

после

вычитания

из Xi(t) результата

линейно

го прогноза Xi(t)

по xi(t).

Числитель в

(5.35)

является в з а и м

ным

спектром

остаточных

процессов

Ay(t)

и Длз(^), где Ay(t)

по

лучается

к а к

разность

исходного

прогнозируемого

по

x2(t)

процесса

y(t).

Учитывая

это,

уравнения

(5.35)

и (5.36)

м о ж н о

переписать в следующем

виде

ЯЦсо) —

5ц.2 (со)

(5.38)

•S27/.1

(со)

Я2 (со)

= •S22.l(co)

или при тригонометрической форме записи комплексных величин

106

l-ffi'(co) | - =

Su3

(co)

(5.38a)

| Я 2 ( с о ) | 3 =

5 TO.i(w)/ = '2j/i(a))

S2 2.l(CLl)

ф ,(ов) = arctg

— - — - —

L Re5j„.2(co) J

(5.386)

<pa (co)=arctg — - 5 - 5

\ '

Ке52 г / Л (со)

где Sty.z,

Szy.u

. . . , S11.2 п т. д. — функции

остаточной

спектраль

ной

плотности,

Р\ущ9

• F%

— функции

частной

когерентности,

|#II(CU) |,

|Я2 (со) |, ф1(со), ф2 ((й)

— соответственно

модули и аргу

менты передаточных

функций. Рассмотренный выше

случай яв

л я е т с я наиболее

общим . В

частном

случае

некоррелированных

входных

процессов,

когда F 2

( c o ) = 0 ,

члены

Si2'(co) и 52 i(co) так

ж е

равны нулю,

и уравнения

(5.35)

и (5.36)

сводятся

к соотно

шениям

типа

(5.32)

Я 1 ( со) = Ь т Т - '

Я,(со) = 4^ - .

или в тригонометрической форме

\| # i ( c o ) \| 2 =			5 t o ( C U ) F 2 I J / ( C . ) )
\| # i ( c o ) \| 2 =			Sa(co)
			Sa(co)
\| Я 2 ( с о ) \| 2 -			Syy(a)F22y(a)
\| Я 2 ( с о ) \| 2 -			5 2 2 ( C U )
			5 2 2 ( C U )
, ,	,	Г	ImSl v (co) ]
9 ,(co) =	a r	c t	g [ - ^ - ^	r	J
. .	,	Г	lmS2y{a)		1

( 5 - 3 9 )

(5.40)

(6.39а)

(5.396)

Н а	основании (5.33—-5.36) можно т а к ж е выразить	когерент
ность	Fa y (co) и ^ ' ( с о ) коррелированных процессов на	входе че-

107

рез передаточные функции спектральной плотности процессов входа-выхода следующим образом:

=1 Я 1 ( < о ) 5 , ( с о ) + Я ( с о ) ^ Л , с о ) 1 1

l v	Sn(co)ST O (co)		v
" v	5 2 2 ( с й ) 5 т о ( с о )
причем ^ y ( c o )	и /^'(co) могут быть, а могут	и не быть	р а в н ы
единице. В частном случае некоррелированных		процессов	на вхо

де ( 5 1 2 . ( с о ) = 0 , F ^ ( M ) = 0 ) (5 . 41) и (5 . 42) принимает вид

г	, х			1 ^ ( 0 0 ) 1 ^ ( 0 )
	U J		I/^i(со)	12 5ц(со) + 1 / / 2 ( с о ) \| ^ ( о > )	'
Р	( о	) -		\| Я 2 ( с о ) \| ^ 2 2 ( с о )
	2 г Л	'	\|Я1\| ( « ) \| 2 5 п ( с о ) - г - \| Я 2 ( с о ) р 5 2 Й ( с о )		'
причем Z7 2 '(со) и F?h/ (со) могут быть меньше единицы.
Обобщение		(5 . 38) д л я		случая N процессов на	входе
уравнением

l ° '	;
( 5	4 4 )
1	'

дается

#i'(co) = —	— - -	( 5 . 4 5 )
•->11.23-Л" \и>)

Д л я	линейной	системы с множеством			некоррелированных
входных	процессов	Xi(t)	оценка	передаточной		функции		м е ж д у
л ю б ы м из входных процессов и процессом на выходе							может быть
получена	из уравнения
	^ i ( < D ) =		- f r f ' »	= l . 2,				(5 . 46)
П о форме это уравнение идентично уравнению						(5.32)	д л я	случая
одиночных процессов на входе				и выходе,	т. е. с точки			зрения

оценки передаточных функций, случай множественных некоге рентных процессов на входе является идентичным случаю оди ночных процессов.

П р и практическом вычислении передаточных функций, к а к и при вычислении статистических характеристик, получаются не истинные их значения, а оценки. Д л я получения несмещенных оценок передаточных функций необходимо выполнение следую

щих условий (Бендат, Пирсол, 1	9 7 1 ) : 1) система		на участке меж
ду точками различных входов и точкой выхода			является линей
ной системой с постоянными п а р а м е т р а м и ;		й)	оценки S,-(co) и
•Sfj(co) являются несмещенными,	3) процессы	на	входе свободны

108-

от шума; 4) учитываются все входные процессы, которые фор мируют процесс на выходе.

Модели многих океанологических процессов достаточно хо рошо удовлетворяют первому условию. Второе условие выполня

ется	в том	случае, когда оценки спектральной плотности получе
ны путем		«правильно разрешенного»	узкополосного разложения,
т. е.,	если	«спектральное окно» достаточно узко,		чтобы опреде
лить	к а ж д ы й из пиков спектральной		плотности,	который пред

ставляет интерес дл я исследования.

Выполнение третьего и четвертого условий в случае коррели рованных процессов на входе системы можн о оценить по функ ции множественной когерентности. М о ж н о утверждать, что сме


щение за		счет неучтенных процессов на входе и (или) неучтенно
го шума		будет уменьшаться		по мере того, к а к функция	множест
венной когерентности Fzyx(o3)				м е ж д у процессом на выходе		y{t)
и	процессами на		входе Xi(t)	приближается к единице	(см. §	4,
гл.	I I ) . Вообще		если все процессы, ф о р м и р у ю щ и е y{t),		учтены

и все они свободны от шум а и образуют линейные системы с по стоянными п а р а м е т р а м и , то Fzyx(со) = 1. Таким образом, мно жественная когерентность является совместной мерой справед

ливости условий

('1—4).

Если

имеются

основания предполагать,

что ошибки

смеще

ния пренебрежимо

малы, то доверительные интервалы дл я

моду

л я

передаточных функций

определяются по

уравнению

(Бендат,

Пнрсол,

1971).

| Д Я { ( с о ) р = А ^ ( с о ) = ^ | ^ - ( ^ ,

. а) X

[ 1 — ^ ( « > ) ] S T O ( c o )

п — число

E'l—F2v (co)]5£ i i(co) '

{ '

где

степеней

свободы к а ж д о й спектральной

оценки,

q — число

процессов

на

входе, .F

а — критическое

значение

F-распределения

с п, /г2 степенями

свободы при

уровне

значимо

сти

a, F2

.|(со) — выборочная оценка

функции

множественной

ко-

ух

процессом y{t)

герептности

между

на входе

и всеми

процессами

на

выходе,

F%x

(со) — выборочная

оценка функции

множествен

ной

когерентности

межд у

процессом Xi(t)

на

входе и

другими

процессами

па

входе, за

исключением Xi(t),

как определено в

уравнении.

Доверительные интервалы дл я аргумента передаточных фун

кций

Лф | -(со)

arc sin

' f f 1 . ^ . 1

(5.48)

I Я ; (СО) I

Из (5.47) очевидно, что точность оценки

передаточных

функ

ций

возрастает

при

приближении

| Д Я , ( с о ) |

к нулю.

Довери -

109

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ