книги из ГПНТБ / Григоркина Р.Г. Прикладные методы корреляционного и спектрального анализа крупномасштабных океанологических процессов

интенсивности и ширине. Однако отдельные

виды

спектров

(рис. 22) приурочены к

определенным районам

системы

Куросио

и Ойясио. Так, в зоне

вторжения вдоль восточного берега Хок­

да, и значительная

энергия

заключена в полосе периодов от 8 д о

11 суток. В водах

Ойясио,

вблизи фронта Ойясио, доминируют

стот спектра от 0,2 до 0,6 рад/сутки,

причем 30 и 15-суточные ко­

лебания остаются неразрешенными

относительно друг друга.

Близость расположения

энергонесущих частот при недостаточной

дискретности

рассмотренных спектров (Лео=0,05

рад/сутки)

существенно

затрудняет

анализ .

50 И

I I

L

_1 I

I — 1 —

1,6

18

0,2

ом

0,6

0,8

1,4

чайными,

можно

судить

по повторяемости (рис. 23)

в ы р а ж е н ­

ных максимумов

спектральной плотности на

основных несущих

частотах.

Л о к а л и з а ц и я

спектров в характерных районах

систе­

мы Куросио и Ойясио

т а к ж е подтверждает

достоверность

ука­

занных энергонесущих

колебаний. В то ж е

время

результаты

взаимнослектрального

анализа исследуемых рядов с тестовыми

гармониками (§ 1, гл.

I I I ) показали, что д а л е к о не к а ж д ы й мак -

разработанный д л я

исследования стохастических процессов, при­

л о ж и м к любым

другим одномерным случайным процессам.

деления вероятности на множестве точек

п р о с т р а н с т в а — в р е м е ­

ни. Н а практике, как и при описании временных случайных про­

цессов, ограничиваются наиболее в а ж н ы м и

п а р а м е т р а м и распре­

Д л я гауссовских полей (все распределения вероятности

зна­

чений которого подчиняются многомерным нормальным

зако ­

нам) моменты первого и второго порядков исчерпывающе

опре­

д е л я ю т случайное поле. В а ж н о , что д л я любого случайного

поля

с конечными моментами первых двух порядков всегда

можно

подобрать гауссовское поле, имеющее то

ж е среднее значение и

корреляционные функции (Монин, Яглом,

1965). В связи

с

этим

сю

R(r) = - 1 ~ \

j " \u[x,y,z\u[{x+r){y+r){z+r)]dxdydz

(1.1)

ху<-

0

со

S ( k ) = - £ - r U

\e-ihrR(r)dr.

(,1.2)

Очевидно, что условие однородности и изотропности

океано­

логических полей еще более

«жесткое», чем условие

стацио­

м о ж н о

говорить только

д л я

весьма ограниченных районов

океана.

К а к

у ж е отмечалось, при статистическом а н а л и з е крупномас ­

штабных океанологических

процессов возникает

трудность,

свя­

з а н н а я

с тем, что характерные горизонтальные

м а с ш т а б ы

этих

процессов сравнимы с р а з м е р а м и

бассейнов, т. е.

принципиально

щее время методах океанографических наблюдений

практически

невозможно получить

достаточно представительную

пространст­

венно-временную информацию . Некоторую н а д е ж д у

на получе­

ние репрезентативной

пространственно-временной

информации

ного

анализа .

2.

Аналитическая

аппроксимация

гидрометеорологических

полей

полиномами Чебышева и статистический анализ времен­

ной изменчивости коэффициентов разложения .

3.

Временной анализ пространственных перемещений поверх­

ностей р а з д е л а водных

масс.

Как показывает опыт, широкий класс естественных

процессов

м о ж е т быть

приближенно описан экспоненциально-косинусными

временной и

пространственной

автокорреляционными

функция­

ми. Естественно предположить,

что в случае квазистационарно ­

сти и квазиизотропности этих

процессов, нормированная прост­

71

+тпх'+ппу'),

(2.1)

где

т — временной сдвиг, х'—

сдвиг по

оси ОХ,

у' —

сдвиг по

оси

07, con — несущие частоты

в спектре

процесса,

а,

|3, у — ко­

ответствующих

несущих частот, тп, пп — волновые

числа вдоль

•осей X и Y,

Рп — весовые коэффициенты, равные

отношению

Представляется,

что

т а к а я

аппроксимация корреляционной

функции отличается

большей

простотой и физической нагляд ­

ностью от аппроксимаций, предложенных в

некоторых работах

(Доброклонский и

др.,

1968;

Исследование

неоднородностей в

море

и в ионосфере.

П р и таком

подходе

величины,

обратные

п а р а м е т р а м а, (3 и у,

в некотором

смысле

могут быть

отождест­

влены

с величинами

временных и

пространственных

интервалов

п

R (0, х' у') = 2p n e - ( p « I - , : ' l + v " l u ' l ) cos (mnx'+nnif),

(2.2)

i

п

R

Х',

0) =

: 2 Рпе-<.*пЫ+К™Ъ cos

( с о п т + т п х ' ) ,

(2.4)

временную автокорреляционную функцию

п

R (т, 0, 0) =

2 р « е ~ а " т

cos сопт •

(2.5)

К а к

уж е

отмечалось,

функции

типа

(2.1—2.4)

обычно не

удается

построить ввиду отсутствия длинных пространственных

реализаций,

получение которых всегда

является

трудно выпол­

нимой

задачей . К

тому

ж е пространственные

характеристики

только в редких случаях образуют

однородные и изотропные по­

ля . В связи с этим не удается получить

коэффициенты

простран­

ственного

затухания |3 и у и волновые

числа т, п. Этих затруд ­

нений

можно

избежать,

если взаимную

корреляционную

функ­

цию дл я пары

точек, отстоящих друг от друга на расстояние d,

трактовать

в

изложенном

выше

смысле

как пространственно-

временную

корреляционную

функцию вдоль оси X

(или Y) при

фиксированном сдвиге d

R(x,

d, 0) ----- 2

/ > n e < - a » w + P n M I ' c o s ( t a „ T + m n d )

= Д г , - ( т ) ,

(2.6)

i

где Rij(x,

d,

0 ) — в р е м е н н а я взаимнокорреляционная

функция

м е ж д у

процессами

в пунктах i и /, отстоящих друг

от друга на

расстояние

d.

В простейшем

случае,

когда в спектре процесса

отмечается

•только одна

несущая частота, функции

(2.5 и 2.4) примут

вид

.10 Зак. 1I82I

145

n

R(x,

О, 0) =6-4*0*cos (wr

(2.7)

R(x,

d,

0)=e - ( a oi^iMdi)cos(<oaT+m 0 d) .

(2.8)

Из эмпирического спектра дл я функции (2.6) можно опреде ­

лить

несущую частоту con и коэффициент затухания

а = 1 / 2 Д с о Э ф

(см.

§ 2, гл. I ) , где Дсоэф — ширина

боковых полос

при

несущей

частоте со0- И з (2.8)

можн о

получить в ы р а ж е н и я

дл я

|5 и

т:

именно в точке т = 0 :

R(r,

d,

0)=R(0,

d, 0 ) = e - W a i C o s m 0 d ,

откуда

\nR

(a,

d, 0)—lncosmpd

p —

i^.yj>

-

-

Д л я

нахождения

аргумента

m 0 d в

последнем выражени и

вос­

я

cos (coot+mod) = 0 при

coot-f-mod—

.

откуда

mQd= —

coot. Значение

сдвига

т найдем

с г р а ф и к а

функции

(2.8). Таким образом, получаем

значения

п а р а м е т р о в

an, (3a, coo, '"о, которые

д а ю т возможность

аппроксимировать про ­

странственно-временную

корреляционную

функцию исследуемо­

го процесса и определить

пространственные и временные интер ­

валы корреляции .

П о д интервалами

корреляции (см. § 2, гл. I) обычно понима ­

онной функции становятся меньше некоторой наперед

заданной

малой величины е. Н а п р и м е р , приняв в качестве такой

малой ве ­

личины e = 0 , 3 7 = e ~ J , дл я функции

R(x, 0,

0 ) = е - а о ' - ч c o s c o 0 t

из условия е - 0 » * cos conT^e- 1

получим

т т ^ — •

(2.10)

a

* = - U

Y=-±-.

(2.11)

т а к ж е значение интеграла j " R(x)dx или по аналогии

JR(x')dx,

Т= fe-<«coscrtdT=—г?—г-

( 2 - 1 2 )

„

(Г+'ССГ

—B(COQ+'CO) (np+n) -y(coo-f-co) (OTQ+OT)

[ a 2 + ! ( c o o - c o ) 2 ] [ p 2 + i ( m o + m ) 2 ] [ Y 2 + . ( n o + „ ) 2 j •

' )

Временная взаимнокорреляционная функция,

соответствую­

щ а я пространственно-временной корреляционной

функции при

Ю*

147

Rzl=

'2J Pne-(( X n l 't l + PnI -v 'I + "'r i ''1 )cos(conT—тп х'—пп у')

,

п

R i 2 + R

2 i

= ^pne-VLnsxi+»n\sfi+vivi)

cos

© n t X

n

Xcos (mnx'-{-nny'),

(2.16)

Ra—Ru

=

_ ^ \

pnfrlanM+»n\x4+ynW)

sin

conTX.

J*

n

Xsin

(тпХ'-т-Ппу').

(2.17)

Теперь

с помощью косинус-преобразования

Фурье

из

(2.16)

получим

Со (со) — коспектр, а из

синус-преобразования

Фурье

д л я (2.17) — О] со) — к в а д р а т у р н ы й

спектр:

V

f ,

Г е ( Х " ? !

~

~

~ ч ,

= £j

|

7z— (a cos

соц+со sin

соп ) +

-|

О I

о

(а cos

con+co sin со„) —

cr+to 2

-

а

(

^ г - +

)]}.

(2.18)

а 2 + с о 2

а 2 + с о 2

Q(co ) = 2

J

sin

mdx-

2

2

Г

2

2

,

~

-

i Г

e-«n«

[ 1 Bn

I

^ T - ( a c o s c o „ + c o s i n c u n ) -

n

a -f-CL>

QtXn1l

^

—

(a cos

con+'co sin con) •

a2 +co2

_

„

( _

_

!

_

!

_

)

]

} .

(2.19)

где

V

a2 +co2

<x2+co2

7

J

J

^ n =/ ) „t? - (Pn 1 *'t+v„iyi) cos

{mnx'+nny'),

CO = COn+'CO,

CO = 03 n

to.

г i

л -

- ' ( 2 а 2 + 4 с о „ )

C o ( ( 0 w ) -

а ( а Ч - 4 с о ; )

А п >

(2.20)

^

2

а ( а 2 + 4 с о ; )

Теперь найдем разность фаз 0 ( с о л )

и когерентность

F(an)

t g 6 (»,») = -j^Mp =- ^ -

t g ( m , , y + n ? i

y ' ) . (2.21)

Со (con)

cr+2co; 2

В фиксированных пунктах хг—0,

у'=0

51 (со)=Л,

2а2 +4со2 „.

а ( а 2 + 4 с о 2 д )

2 а

2 + 4 с о 2

(2.22)

S i

(СО)

=Рп

а ( а 2 + 4 с о 2 )

метры временного спектра |3, у,

т и п.

П а р а м е т р ы а и озп д о л ж н ы

быть известны по результатам ав­

тоанализа, F(co) и Q(co) — из

результатов

взаимноспектрально -

го анализа .

Из уравнений (2.20) и (2.22) найдем

,nn =-LarctgOVtge),

(2.24)