Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Григоркина Р.Г. Прикладные методы корреляционного и спектрального анализа крупномасштабных океанологических процессов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1812 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

тельные интервалы 1—а дл я истинного значения передаточной функции будут


\Н](ю)—АН((ы)	\| ^	\|#г(со) \| ^	\|Я*(со)		\| + Д Я < ( ш ) .	(5.49)
где Я * (со) — вычисленные		значения	модуля		передаточной	функ
ции, Яг (со) — и с т и н н ы е	значения модуля			передаточной функции.
Точность оценки передаточной функции				дл я случая коррелиро

ванных процессов на входе повышается, когда а) число степеней


свободы п возрастает при данном значении, б) оценка						множест
венной		когерентности ^ 2 ж ( с о ) приближается			к единице,		в)	оцен
ка	множественной когерентности F2.x (со) приближается к							нулю,
г)	оценка Su (со) увеличивается, Sv „(co)			уменьшается.
	Уравнение (5.47) может быть использовано т а к ж е					д л я		реше
ния другой задачи — ориентировочного				определения		числа сте
пеней		свободы,	которое необходимо,	чтобы	вычислить		\| # ( с о ) \|
и	Дф	с заданной	ошибкой е и вероятностью		Р. В случае			одного

процесса на входе и одного процесса на выходе системы уравне

ние	(5.47) м о ж н о переписать в следующем							виде:
	п=		2 1 п ( 1 - Р )					-,	,	Г Л Ч
	п=			— Ц — ' -				-,	(5.50)
		.	Г	i	-	F	M	]
			L I	-	/ 7	2	(со) cos2 e J
					.ту Л		/
где	е — допустимая	ошибка,		F2^—функция				когерентности,		Р —
вероятность ошибки,		не большей				чем е, п — число			степеней	сво
боды. Так, если необходимо,				чтобы			6 = 1 0	радиан	с Р=0,90,	со-
гласно (5.49), п д о л ж н о									Л
гласно (5.49), п д о л ж н о			быть	равно			44. При / г = 4 4		\|#(со) \|	будет
находиться в пределах 10% от истинного								модуля	передаточной
функции.

ГЛ А В А III

ОС О Б Е Н Н О С Т И К О Р Р Е Л Я Ц И О Н Н О Г О

И С П Е К Т Р А Л Ь Н О Г О А Н А Л И З А

ПЕ Р И О Д И Ч Е С К И Х О К Е А Н О Л О Г И Ч Е С К И Х

ПР О Ц Е С С О В

§ 1.	Периодические и квазипериодические
	регулярные и случайные процессы
К а к у ж е	отмечалось в предисловии, временная изменчивость

океанологических процессов складывается из большого числа ре гулярных и случайных колебаний. Периодичность или квазипе риодичность присуща многим океанологическим процессам и обусловлена как периодическим воздействием внешних сил, так и периодическим х а р а к т е р о м свободных колебаний.

Раздельное рассмотрение регулярных и нерегулярных флук туации океанологических процессов значительно затрудняет их физическую интерпретацию. Так, например, динамическая не устойчивость периодических течений и внутренних волн порож дает турбулентные вихри различных масштабов, формирующих непрерывный энергетический спектр этих процессов, который не рационально рассматривать отдельно от энергонесущего коле

бания .	К тому	ж е выделение регулярных колебаний из исследу
емого	процесса	довольно сложная, не всегда реализуемая за

дача, а исключение фильтрацией из спектра периодических составляющих и с к а ж а е т значительную частотную область спект ра. П о э т о м у нередко возникает ие з а д а ч а исключения периодиче

ских составляющих		из процесса			(см., например,	Серебренников,
Первозваи'ский, 1965), а з а д а ч а				их идентификации		в р а м к а х		опи
сания случайного процесса с помощью корреляционных							функций
и функций спектральной плотности.
	Н а и б о л е е простой		моделью	периодического процесса			являет
ся	гармонический процесс
			x(t) = A s i n		(a0t—cp),			(1-U
где	Л — амплитуда,	« о — к р у г о в а я			частота, ср — начальная			ф а з а ,
t—время.
	Однако только	в	редких	случаях процессы		в океане		могут

быть удовлетворительно описаны такой простой моделью. Обыч но л у ч ш а я аппроксимация натурных периодических процессов достигается путем их представления в виде полигармонического процесса. Полигармонический процесс, как и гармонический про цесс, обладает тем свойством, что он точно повторяет свои зна -

111

чегшя через одинаковые промежутки времени, называемые ос новным периодом Т полигармонического процесса

x(t)=x.(t±nl).

(1.2)

Полигармонические

процессы

могут

быть

представлены в

виде

р я д а

Фурье

x(t)=

- у -

' Z

А п c o s

(п®о*~Фп),

(1-3)

.1=1

2л

где

соо~

:arctg

n = 0 ,

с п = - у -

х-(0 cos

n&otdt,

bn=~Y~

x(t)

sin

n®0tdt,

n = \ ,

• • • •

Таким образом, полигармонические процессы содержат по-

стоянную компоненту —^— и сумму гармоник с частотами,

крат

ными основной частоте сое, постоянными амплитудами Ап

и на

чальными ф а з а м и

ф„.

Распределение

амплитуд

отдельных гармоник по

частотам з

полигармонических

процессах

представляет

собой

дискретный

эквидистантный спектр, т. е. спектральные линии расположены на одинаковых расстояниях друг от друга. Хотя, согласно теоре ме Фурье, все периодические процессы могут быть представлены в виде ряда Фурье, и океанологические процессы часто достаточ но хорошо аппроксимируются сравнительно ограниченным чис лом гармоник, для физического исследования такое представле ние может оказаться недостаточным. Реальный спектр иногда формируется под влиянием сил с вполне определенными некрат ными частотами. В этом случае формальное р а з л о ж е н и е в ряд Фурье может исказить реальную физическую картину. Напри мер, если колебания уровня моря определяются полугодовым солнечным приливом и 14-месячными нутационными колебания ми полюса Земли, то взяв за основной период 7*= 14 месяцев, мы заведомо в разложении Фурье не получим полугодовые ко лебания .

Процессы, представляющие собой сумму гармоник с некрат ными частотами, не являются периодическими, так как не удов летворяют соотношению (1.2) при любых конечных значениях Т.

Т а к и е процессы обычно называют квазипериодическими. Ампли тудный спектр этих процессов, та к ж е как периодических про цессов, дискретный, но в отличие от них не эквидистантный, т. е. спектральные линии расположены не на одинаковых расстояниях друг от друга. В реальных процессах периодичность или квази

периодичность		чаще	всего проявляется	только в	среднем.	Это
с в я з а н о	с тем,	что	амплитуда и ф а з а	отдельных	гармоник	не
остаются	постоянными.

Физические механизмы, определяющие изменчивость ампли туд и фа з крупномасштабных океанологических процессов, мо гут быть самыми разнообразными . Например, изменение внеш них условий, неоднородность среды, в которой распространяются возмущения (рельеф дна, горизонтальная и вертикальная стра тификация водных м а с с ) , динамическая неустойчивость длинных воли и т. д. В связи со сложностью и многообразием этих усло вий нередко целесообразно представлять океанологические яв

ления	в виде		гармонических		процессов со случайными амплиту
д а м и	или	ф а з а м и .
В том случае, когда в				(1.1) н а ч а л ь н а я фаза равномерно					рас
пределена		в	интервале	(0,2я),		x(t)	представляет	собой	слу
чайный стационарный и эргодический							процесс. Когда А случай
ная величина,			не з а в и с я щ а я		от <р, процесс стационарный, по не
эргодический			(если при этом А имеет				распределение	Р э л е я ,	про
ц е с с — гауссовский) (Корн, Корн,						1968).
Подобные			стохастические		модели		разработаны,	например,

д л я интерпретации ветрового волнения (Крылов, 1966, Глуховской, 1966) и успешно применяются дл я расчета и прогноза это го явления. Часто удобно считать, что (1.1) и (1.-3) при постоян


ных А и ф представляют		собой просто реализацию стационарного
случайного процесса (Беидат, 1965).
В любом случае, является ли периодический или квазиперно-
дический процесс	регулярным или случайным, в а ж н о			то, что все
они имеют конечную		мощность,	т. е. 'принадлежат	ко второму
классу процессов	(см. § 1, гл. 1)		и, следовательно,	могут быть

описаны с помощью автокорреляционной функции или функции

спектральной	плотности.
Автокорреляционная функция процесса (1.1) будет иметь вид
	Rx (т) =	Аг
	Rx (т) =	cos coot.	(1.4)
Очевидно, что, когда процесс состоит из N независимых			гармо
ник, его автокорреляционная		функция примет вид
	#* м = 4 ~	' 2 A I C ° S СО«Г-	(1 -5)
•Формулы (1.4)	и (1.5) справедливы д л я гармонических		колеба

ний бесконечной длительности, оценка автокорреляционной	функ
ции гармоники конечной длительности имеет вид
8 Зак . 11821	и з

R*(x) =	- = -	J sin coo/-sincoo(^+T)rf/==
= —— cos	со0т	— COS(CO 0 7 , - J - COT) sincoDr.	(1.6)
I		1 coo

При Г—>oo(1.6) трансформируется в (1.4). Заметим, что, если предел интегрирования Т выбран «ратным периоду несущего ко-

лебаыия Т=	—:— п=\, 2,	3, • • • . то	sinco7= 0 и (1.6) т а к ж е
	too
переходит в	(1.4).
Взаимнокорреляционная		функция	двух тюлигармоиических

процессов содержит общие частоты исходных процессов, но в от личие от автокорреляционной функции существенно зависит от начальных фаз

JV
Rxy(t) =-^-'2 АхпАуп COS [й)п^+(фя:п—'фип)].	(1-7)

Взависимости от того, являются ли процессы эргодическими, (1,5) характеризует либо связь отдельных реализаций, либо про

цессов в целом.

Как у ж е говорилось, функция взаимной корреляции более информативна, чем функция автокорреляции в том смысле, что

она дает		дополнительные		сведения		о ф а з а х		и в более «чистом»
виде,	чем	автокорреляция, выделяет периодические колебания .
Пусть	s(t)	есть периодическая компонента, a r ( t ) — шумовая
компонента процесса			x(t).	Функция		автокорреляции смешанного
процесса		x(t)=s(t)-\-r(t)		есть
			СО
Rx(x)=		Hm - ^rJ				[s(t)+r(t)][s(t+t)+r(t+x)]dt=
		Т-^со	—со
		= Rss (т) +R„(x)			+Rer	(т) +R,-s		(т).
Если периодическая компонента						и	шум	статистически	неза
висимы,		то R.^(x) =Rrs(х)		= 0.	Функция автокорреляции				Rrr(x)
шумовой		компоненты	при	возрастании			(х)	д о л ж н а стремиться

к нулю. Таким образом, при достаточно большом сдвиге х авто

корреляционная функция периодической компоненты				появляется
в «чистом	виде». Затухание Rrr(x)	является	особенно	быстрым,
если в исследуемом диапазоне частот ш у м о в а я компонента					близ
ка к «белому шуму» (широкополосные помехи) .
Функция взаимной корреляции процессов x.(t)—s(t)-\-'r(t)					и
y(t)=s(t)-\-r'(t),	содержащи х одинаковые		периодические		ком
поненты, может быть представлена		в виде:

114

Rxy{r)	= lim - ^ - J		[S(t)+r(t)][s(t+t)+r'(t+r)]dt=
	T-voo	-co
	= Rss(x)	+Rsr'	( T ) + £ „ ( t ) + # „ • ' ( T ) ,

где индексы при R означают корреляцию отдельных компонент анализируемых процессов. Если периодические и шумовые ком поненты, т а к ж е к а к и шумовые компоненты обоих процессов, некоррелированы, т. е. Rsr=Rsr'=Rrr—0, то во взаимной кор реляционной функции периодическая компонента проявляется

вчистом виде.

Пр и анализе океанологических процессов функция автокор - ' реляции часто не дает указаний на присутствие в процессах пе риодических компонент, тогда как по функции взаимной корре ляции этих процессов периодические компоненты отчетливо выделяются . Пример такого рода приведен на графика х рис. 13,

Рис. 13. Функции автокорреляции флуктуации глубины залегания термо клина (а) и функции их взаимной корреляции (б)

где показаны функции автокорреляции Ri(x) и Rz(x) флуктуа ции глубины залегания термоклина в северо-западной части Ти


хого океана		дл я пунктов	№	1 и 2	(вычисленные из реализаций
366	членов,	с дискретностью		1 сутки		при максимальном	сдвиге
60	суток; расстояние м е ж д у			пунктами		равно-60 м и л я м ) . Н а этом
ж е	рисунке	приведена	функция		взаимной корреляции		R\%{x)

флуктуации глубины залегания термоклина в пунктах 1 и 2.

Сравнение Ri(x) и Ri(x)	с R\2,{x) наглядно иллюстрирует преиму-
8*	115

щества взаимной корреляции д л я выделения скрытых периодичностей.

Спектральная плотность мощности гармонического колебания бесконечной длительности представляет собой спектральную ли

нию	бесконечной	высоты на	несущей частоте со = too
			Л 2
		5 (со) =	—— [6 (со—-СОо) J,
где	б (со—соо) — д е л ь т а - ф у н к ц и я Д и р а к а . Так к а к			практически
всегда оперируют		с ограниченными реализациями,		предполагая,

что их значения за пределами исследуемого интервала от 0 до Г тождественно равны нулю, спектр гармонического колебания представляет собой не линию бесконечной высоты, а ограничен

ный

пик на несущей

частоте. Действительно, косинус-преобразо

вание Фурье

автокорреляционной

функции (1.4)

гармонического

процесса приводит к следующему выражению

д л я

функции

спектральной

плотности:

S* (со) =

R(т)cos

mdx

Л 2

axdx=

— J

—— J cos соат cos

Л 2

sin(co0—со)-Cm

sin(co0 -fto)-tO T

4л.

со0—о)

con+co

П о л а г а я со =

соо

р а с к р ы в а я неопределенность

первого

слагае

мого по правилу Л о п и т а л я , получим

А2

(

, sin2co0Tm. \

hmS(«>)

— (

x m

) •

Заметим, что если хт

выбрано

кратным периоду несущего ко

лебания 7 о = / г - ^ -

или вообще т = п — — , то спектральная

плот-

СОо

со

ность на всех частотах, кроме несущей, равна

нулю,

на

несу

щей

частоте

5 ( w o

) =

^ L .

( l l . 9 )

Т а к к а к т т . часто

выбирают

равным максимальному

сдвигу

автокорреляционной

функции,

то

—— = Д с о

—

дискретность

Хт

спектра. Тогда Л2 =45(соо)Асо,

т. е. представляется

возможным

оценить амплитуду гармонического колебания по спектру про цесса ограниченной длительности. П р и сглаживании эмпириче

ского спектра	весовой	функцией Хэмминга	эта зависимость име
ет вид A2=SS(соо)Дсо.		Таким образом, спектральный анализ к а к
обобщенный	гармонический анализ может		служить д л я обнару-

11G

ж е и н я скрытых периодичностей не только в случайных, но и в

детерминированных	процессах.
П р и некратности	Т0 и т,„. могут появляться отрицательные

значения 5(со), которые сглаживаются весовыми функциями,


формирующими в		результате		с г л а ж и в а н и я		боковые полосы		око
ло несущей частоты. Вследствие этого э ф ф е к т и в н а я ширина								ДсоЭч>
спектра	конечного	отрезка		синусоиды составляет 4Дсо(ДсоЭ ф=
= 4 Д с о ) ,	т. с. различные		по	частоте	периодические		колебания
полностью разделяются,			если	частоты	этих	колебаний	отличают
ся на величину 4Дсо. В противном случае						происходит	частичное

пли полное слияние нескольких максимумов в один, и ф о р м а л ь

ная трактовка результатов анализа может привести к	ошибоч
ным выводам . Д л я иллюстрации рассмотрим следующий	пример.

Имеется ря д ежесуточных наблюдений на д процессом, кото рый, ка к предполагается, содержит месячные и полумесячные


правильные периодические				колебания .		Число	членов	р я д а
N=300,	дискретность		наблюдений		At=l	суткам.	Н а з н а ч и в чис-
ло сдвигов хт=		=	15, получим		дискретность		эмпирического
спектра	со = 0 , 2 1	рад/сутки.		Очевидно,		что при	т а к о м	Дсо не
возможно отличить максимум спектра, соответствующий								частоте
месячного колебания со = 0,21 рад/сутки,						от максимума на часто
те полумесячной		гармоники		ю = 0 , 4 2		рад/сутки.	Результаты

спектрального анализа синусоидальных колебаний при различ ных значениях параметров расчета свидетельствуют о достаточ ной точности определения амплитуд гармонических колебаний по реализации ограниченной длительности.

Д а л е к о не всегда справедливо априорное предположение, чтомаксимум спектральной плотности обязательно соответствует периодическому колебанию . Существуют классы случайных про

цессов, т а к ж е имеющих спектр	с островершииным максимумом
и с шириной основания, равной Дсо0ф детерминированного		перио
дического колебания. П о э т о м у	однозначная трактовка	спект

ральной плотности весьма затруднена . К тому ж е рассмотренные способы не позволяют выделить периодическую компоненту и г реализации процесса, та к как ни функция автокорреляции, ни функция спектральной плотности не содержат данных о началь ной фазе колебания . Более полная информация может бытьполучена путем взаимноспектрального анализа исследуемой реа

лизации	с реализацией	гармонических колебаний, п а р а м е т р ы
которых	з а д а н ы (Губер,	1972).

Когерентность двух гармонических колебаний одинаковогопериода равняется единице. В самом деле, дл я периодических, процессов (.Краусс, 1968)

x(t) —As. cos(coc^+icpi),

г/(^)з=Л2 со5(сос^+!ф2 )

(1.10)

117

в з а и м н о к о р р е л я ц и о н н ая функция имеет вид

Rxy ( t ) = А ^ 2 COS [СООТ-Ь (ф2—ф1) ] ,

.(1.11)

Rxy {—f)

= # i / » : ( t )

- ^ ^ 2

COS [COOT— (ф2—фД') ] .

Четна я и нечетная часть этой функции

находится к а к

Rxy(x)+Ryx(x)

AiA2

[COS Mot • COS (ф2—(pi)

] ,

Rxy{x)—Ryx{x)

Л ( Л 2

[sin coot • sin (Ф2—Ф1)].

(1.12)

(Выполняя

косинус-

синуспреобразование

Фурье

в ы р а ж е

ний (1.12), получим составляющие

взаимного спектра:

коспектр

и квадратурный

спектр

Со (а)

A LA* cos (фа—фО j *

cos coot-cos

mdx —

sin

(mo—со) 7"

sin (соо+со) Г

]

= Л 1

Л 2 cos

(ср2—Ф1)

— х - .

к~.

i—ч

2 (со0—со)

2(со0 -Ьсо)

Q(co)

= — Л И о э т ^ ф о — Ф 1 )

j "

sin co0 t-sin

шйх=

ч Г

sin (соо—>со) 7"

sin

(соо+со) Г "]

—А\Ач

5 1 п ( ф 2 — Ф 1 ) I

— —

7Г,

; — г — I

™-

2(со 0 - со)

2 (соо+со)

AizT

AS-T

выражени е д л я

когерент-

и при 5 к ( с о ; ) = — ^ — ;

Sy(cui) = - ^ г —

jit

ности на общей	частоте		yCo^i)+Q4m) =
	b (он)г	= •	yCo^i)+Q4m) =
		УЗ^СОг) У 5 „ ( с 0 г )
=	y s i n 2	(ф2 — ф1 ) + С 0 5 2 (ф2—Ф1) = 1 .		(1-13)
Если выполнить взаимноспектральный анализ				натурной реа

л и з а ц и и , включающей периодическую составляющую, с реализа

цией	гармонического		колебания той	ж е частоты (тестом), то
д о л ж н ы получить		значение когерентности на этой частоте,, близ
кое к	единице. Ч е м меньше будет величина когерентности, тем
менее	устойчива	ф а з а	исследуемого	колебания . Этим способом

1 1 8

м о ж но определить т а к ж е фазу периодической составляющей от носительно заданной ф а з ы тестовой гармоники . П о известной, формуле взаимноспектралвпого анализа находим разность фаз;

Фп—ф	=в(со;) =arctg-		Q ( C 0 i )	(1.14)
			Co(cOi)
г
где ф п — начальная ф а з а		составляющей	процесса, ф г — заданная-
н а ч а л ь н а я ф а з а тестовой		гармоники.

Обычно спектр океанологических процессов имеет несколькомаксимумов, поэтому анализ с отдельными тестовыми гармони к а м и связан с большим числом повторяющихся вычислений. Что бы сократить эти вычисления, м о ж н о использовать тест, пред ставляющий сумму большого числа косинусоид с одинаковыми

амплитудами, начальными		ф а з а м и и частотами, отличающимися-,
на величину	дискретности	эмпирического спектра. Ка к п о к а з а л и
результаты	экспериментальных вычислений, м а к с и м а л ь н а я вели

чина когерентности м е ж д у суммой гармоник и отдельной гармо

никой

на

фиксированной

частоте

не превышает

0,6—0,7 (см.

рис.

14),

что

связано с

погрешностями

расчета

ограниченных.

S(ui}

500

400

300

200

Г(ш)|

100

0,8 -

ОМ- Щ

\ л

/ /

•

-«-Л-.+Г'1 '

ID,

рад/сутки.

0,2

0,4

0,6

0,8

1,2

7,4

7.5

I I

-2Q

1,8

2,0

Рис. 14. Функции спектральной плотности «суммарного теста» (1), отдельной тестовой гармоники с со=0,35 рад/сутки (2) и когерентность «суммарного теста» и гармоники (3)

реализаций . Тем не менее применение подобного «суммарноготеста» полезно при исследовании регулярности колебаний вовсей частотной области спектра.

§ 2. Модулированные периодические процессы

Часто подходящей моделью дл я океанологических процессовможет быть модель с фазовой, амплитудной или частотной моду ляцией периодических колебаний

119-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1812 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ