книги из ГПНТБ / Григоркина Р.Г. Прикладные методы корреляционного и спектрального анализа крупномасштабных океанологических процессов

тельные

пределы оценки, вычисленные по формулам

(2.40), по­

к а з а н ы

на рис. 3. В этих пределах с вероятностью 0,95

находится

истинное значение автокорреляционной функции.

Н о р м и р о в а н н а я автокорреляционная функция имеет вид за­

тухающей

косинусоиды (см. рис. i2, кривая

1). Б ы л а

предприня­

та попытка

ее аппроксимации в ы р а ж е н и я м и

(2.15) и

(2.20). П р и

аппроксимации вида

(2.15) параметры а и р оказались равными

( ц ~ 0 , 0 7

I/сутки;

р «

0,28

рад/сутки.

П р и аппроксимации

вида (2.20)

<X2»0,04

I/сутки;

р я» 0,29

рад/сутки.

Подставив эти значения в (2.15)

и

(2.20),

получим

/•* ( x ) = e - ° . ° 7 w

cos 0,28т,

ставив в

(2.17) а = ' 0 , 0 7 I/сутки

и (3 =

0,28 рад/сутки,

получим

значения интервалов

корреляции

« J 2 0 суток,

« 4

суткам.

кор

J

кор

J

Интервал

. определенный

по

числу

пересечений

реализаци ­

баний исследуемой

характеристики

г

2л

6,28

Тп=

- у - =

-Q2g-суток«22 суток.

x(t+x) =

^сцхУ—бг),

i

где t ' = l , 2, . . . т — интервал

экстраполирования, 6j — интервал

M[x(t+x)

— 2

aix(t—6i)]^em\n.

г

Я * ( т + в * ) =

2 &iRx ( 6 i - 6 i ) .

г

Приня в т = 1

суткам, 6i —0,

62=1 суткам,

т + 6 = 3 суткам, дл я

экстраполяции

по двум последовательным

значениям получим

леный,

1966)

R%(0)-R%{1)

_

RA0)RA2)-Rx

( l )

a i

^ ( 0 ) - ^ ( l )

Подставив

в выражение

дл я at и с» численные значения

Rx(Q)y

Rx(\)

и Я*(2) , получим

a i = l , 4 ; а2=—

ОД- x{t+\)=\,Ax\t)

—

—0,bx(t—1).

Эффективность

применения

полученного

эстрапо-

ляционного

уравнения будет

зависеть

от

точности определения

ординат автокорреляционной

функции.

менной

области часто оказывается недостаточным. Д л я решения

многих

з а д а ч океанологии надо т а к ж е знать распределение ин­

ных масштабов, т. е. необходимо описание

случайного процесса

в частотной области. Д л я этой цели служит

спектральное разло ­

жение процесса.

Целесообразность спектрального р а з л о ж е н и я оправдана тем,

что многие океанологические процессы с достаточным приближе ­

воряется

принцип суперпозиции

(реакция океана на сумму внеш­

них сил

равна сумме реакций па

к а ж д о е из с л а г а е м ы х ) . Во-вто­

ние приобрело

после того, к а к А. Я. Хинчиным

и Н. Винером бы­

ли получены

соотношения,

связывающие автокорреляционную

функцию с функцией

спектральной плотности

процесса

со

Sx{a)

=

~~

$Rx(x)e-^dx,

(3.1)

—со

со

Rx(x)

=

JSx((a)el a «rfco.

(3-2)

Sx(a)

=

—

§Rx(x)

cos ахdx,

(3.3)

л

о

со

Rx(x)=2

jsx:(co) cosaxda.

(3.4)

о

Функцию 5 ж ((о) часто называют энергетическим спектром про ­

цесса, подразумевая,

однако,

под

этим определением

спектраль-

получим спектральные плотности

5 ^ ( 0 ) = А .

(3.5)

я

о г + с г

S*(co) = — - 7

°

a •

(3.6)

тонно убывает

с увеличением

частоты.

М а к с и м у м

спектральной

плотности (3.5)

находится на

частоте

со = 0. П р и

а->-оо, т. е. с

прямую линию, параллельную

оси частот

и отстоящую от

нее

Dx

с подобным

видом спектральной

на расстоянии — — . Процессы

я а

плотности, у которых интенсивность колебаний одинакова

д л я

ма» являются, в частности, некоррелированные

ошибки океано­

логических

измерений.

Процессы, спектр которых может быть аппроксимирован вы­

ражением

(3.6), содержат доминирующее по интенсивности ко­

лебание на

частоте

с о 0 > 0 . Кривая функции спектральной

плот­

ности (3.6) имеет максимум, частота которого

связана с

п а р а ­

метрами а и р зависимостью

(Зиновьев, Филиппов, 1968)

Ш о

= У - а 2

- р 2

+ 2 р У а 2 + р 2 .

(3.7)

а ширина основания

максимума

определяется

выражением

АсоЭ ф=

.

(3.8).

1 +

а 2 + 4 р 2

3 Зак. 11821

3 £

(Оо~р, Лсйэ ф~ЗШ.

(3.9)

Как следует из (3.9), чем меньше корреляция между

ордина­

тами

процесса, тем

больше эффективная

ширина максимума

спектра. П р и

а - > - °о,

ДсоЭф т а к ж е стремится

к

бесконечности и

спектральная

плотность одинакова дл я всех

частот

(«белый

ш у м » ) . П р и

а-»-0 максимум сужается, и в

предельном

случае,

при

а = 0 спектр представляет прямую линию

бесконечной дли­

несколько максимумов, по несущим частотам

которых можно

найти

jij, а по ширине основания

к а ж д о г о максимума коэффици ­

енты затухания щ„ Дисперсии

Dj

определяются

следующим

вы­

р а ж е н и е м :

0)

где cojH и cojB — частоты, соответствующие границам боковых

по­

л о с энергонесущего максимума,

c o j H — Ш ; В = А с о ;эф .

И ЛИ ИСПОЛЬЗуЯ (.ЗЛО) ДЛЯ ©_;ц<С0<Сй^в

DJ=K5x(CO)

(3.11)

Таким

образом, с помощью

(3.11) по ординате эмпирической

Многомасштабность океанологических процессов,

в ы р а ж а ю ­

щ а я с я в спектрах в виде дискретных энергонесущих

зон, позво-

ляет

иногда п а р а м е т р а м

аппроксимации

в

(3.10)

придавать

вполне определенный физический смысл. Например, если пред-

ставить

(3j= - = — и

o t j =

Xj

. то 1 j может_ иметь смысл

х а р а к -

1 j

терного временного

масштаба

или периода

элементарной

волны,

т,- — интервала

корреляции,

a Dj — интенсивности

колебаний

или

мощности

процесса.

Определение

спектральной

плотности

процесса, д л я которого

неизвестно аналитическое

выражение автокорреляционной

функ­

ции, осуществляется численным интегрированием. Однако при

этом возникают определенные трудности, связанные с тем, что

вместо истинного значения автокорреляционной функции распо­

лагают, как правило, ее оценкой, известной

в пределах ограни­

ченного

интервала

(0~xVi).

Поэтому

косинус-преобразование

Фурье (3.3) может быть выполнено лишь на конечном

проме­

жутке

времени

Т°

S*(co) =

j " R*x

(т) cos ondx,

(3.12

где 5* (со) — оценка

спектральной плотности Т0^.хт.

Средне -

квадратическая

ошибка

оценки

(3.12) определяется

следую­

щим образом:

T)2 [S* (co)]=6*[S* ( с о ) ] + a » [ S * (со)],

(3.13)

где

b [ S * » ] = M [ S *

(co)] - S x (co)

(3.14)

смещение оценки, а

< T 2 [ 5 * ( » ) ] = M { S * ( c o ) - M [ S ; ( c o ) ] } -

(3.1В)

дисперсия оценки.

Математическое ожидание оценки S* (со) имеет вид

1 о

М [S*

(со) ] =

—

J ( 1 —

^ - ) Rx (х) cos axdx.

(3.16)

П р и увеличении

интервала интегрирования математическое

вательно,

оценка

вида

(3.12)

является несмещенной (Свешни­

ков,

1968)

IimAffS*

( с о ) ] = 5 ж ( с о ) .

Г0 -*-оо

В

то

ж е время

дисперсия

оценки при 70 ->-оо не стремится

к нулю. Поэтому оценка

(3.12)

является самостоятельной.

3*

35

l i m r j 2 [ 5 ; ( a > ) ] = l i m [ — S * - ( w ) ] = 0 .

(3.18)

S* (ю) = —5— J /г (т) R* (т) cosorrch:,

(3.19)

где 1г(х)

п

о

является

весовой

функцией, обладающей

следующим

свойством:

, / \

J 1 П Р И

0 < t < F o ,

hi

I

0

при

х>Т0.

h(x)

' W

Функцию

иногда

называют временным окном, а ее пре­

образование

Фурье — спектральным

окном. При выборе

весовой

функции стремятся к тому, чтобы соответствующее

спектральное

окно ш(со) удовлетворяло

требованию

w(a)

— 1

при

C0 =

Cui,

(3.20)

w (to) =

0

при

Однако оптимальная

ре­

а л и з а ц и я

этого

требования

невозможна .

П о э т о м у

под­

бирают

функцию

/г(х)

та­

ким образом, чтобы спект­

ральное

окно

имело

такую

форму,

как

показано

на

рис.

4 с

минимальной высо­

той

боковых

максимумов .

При

вычислении

оценок

спектральной

плотности

•к/т

океанологических

процессов

обычно применяют

веговую

Рис.

4.

«Спектральное

окно»

функцию

Хэмминга

/и(т) =0,54-j-0,46 cos ———

при

С К т ^ Г о ,

i

о

/ ? . ( т ) = 0

при

%>Т0,

(3.21)

•боковые

максимумы

спектрального

окна

которой

незначи­

тельны.

Однако применение функции Хэмминга может привести к по­

явлению

отрицательных ординат

спектральной

плотности,

кото­

р а я

в действительности

всегда является

положительной

функ­

цией. Поэтому на частотах с отрицательными

значениями

при­

нимают

спектральную плотность

равной

нулю.

Отрицательных

значений оценки можно избежать, если применять весовую

функ­

цию

П а р з е н а

А ( * ) = . 1

П Р И

0 < х < ^ - .

A ( T ) = 2 ( l

^

-

)

3 при

Л ± - <

Х

<

Т 0 ,

(3.22)

h(x)=0

при

т > Г 0 .

Вычисление

S*(co)

осуществляется обычно двумя последова­

тельными

операциями:

а)

численным

интегрированием

(3.12), например,

по

способу

трапеций

го

5*

(со) =

2

б (Z) /?* ( Ш )

cos

.

(3.23)

где

(=0

f

0

при

0 > / > > т ,

6(/) =

>

У2

при

/ = 0 ,

l=m,

[

1

при других I в интервале

(0,

т.),

1=0,

1,

2 . . . ,

т — число

ординат

оценки автокорреляционной

"=Хт^Т0,

k=0,

1

q — число вычисляемых

ординат 5* (ю);

б) сглаживанием

оценки с помощью весовых

коэффициентов,

в частности, коэффициентов Хэмминга

S*

(со,,) =0,-23S*

(coft_i) -f-0,54S*

(со*) +0.23S*

(tof c + 1 ).

(3.24)

Сглаживание

(3.24) аналогично

введению

весовой

функции

в подынтегральное выражение (3.19).

Д с о = ^ -

(3.25)

или при

Т0=хт

с максимальным

сдвигом

автокорреляционной,

функции

Дсо = •

•

Г - ^ - S ^ c o )

при

СО =#=0.

< r a [ S * ( ( o ) ] = ^

J ;

'

(3.26)

I

— 5 2 (со)

при

c o = 0 .

* о

где / =

\h{x)dx-

Подставив в (3J26) весовую функцию Хэммипга, получим вы­

ражение

—Tf,—'S* (.со)

при

с о = 0 ,

a 2 [S;(co)] i

(3.27)

- 7 J ° S4co)

при

0 = 0 .

1-е.

Л

Б о л ь ш ое влияние

на точность вычисления оценки спектраль­

н о й плотности могут

оказать погрешности дискретизации. Ка к

.ласти

низких частот (так называемый эффект перепутывания

•частот

или и л л ф з и я дискретизации) . Среднеквадратическая

о ш и б к а

дискретных наблюдений будет тем больше, чем больше

чение ошибки находится

в интервале

(Лежен,

Пантелеев, 1968)

< Ч (А7) ^

( 3 + Q ) гЩ-.

(3.29)

со

со

<

где Е= f |S.x.(co) \Ча,

EN= J

15^(со)'12rfco;

J

\Sx(a)

\Ча

(2p + l)coj V

плотности, интервал

квантования по времени д о л ж е н

быть мень­

ше

периода

наиболее высокочастотной гармоники. Однако, ка к

у ж е

отмечалось, спектр

океанологических процессов

содержит

составляющие с периодами в несколько

минут и д а ж е

секунд,

•следовательно, измерения

д о л ж н ы

быть

фактически

непрерыв­

ными. Выполнение этого требования едва

ли возможно в насто­

я щ е е время,

поэтому

приходится идти на

известные допущения.

В частности,

можно

предположить,

что высокочастотные

микро­

осредненные

величины. П р и таком условии интервал дискретно­

сти д о л ж е н

выбираться

в соответствии с постоянной времени

прибора . К- Д- Сабинин

(1967) рекомендует производить изме-