книги из ГПНТБ / Григоркина Р.Г. Прикладные методы корреляционного и спектрального анализа крупномасштабных океанологических процессов

т а к ж е

возможности прогноза этих процессов значительно рас­

ширяются, если наряду с обычным взапмноспектральньш

ана­

лизом

привлекать аппарат частного и множественного

спект­

рального анализа . В отличие от теории частного

корреляционно­

го анализа, а т а к ж е

вопросов приложения этого

анализа

к

реше­

нию

специфических

технических

и

метеорологических

задач,

сравнительно подробно освещенных в соответствующей

литера­

туре

(Брукс,

Карузерс, 1963; Пановский, Брайер, 1967),

теория

и вопросы применения частного и множественного

спектрально­

го

анализа

фактически не изложены

в отечественных техниче^

ских

и специальных океанологических публикациях. Вместе с

тем

д а ж е сравнительно небольшой

опыт успешного

.применения

этого

анализ а в океанологии (Привальокий, 1968)

показывает,

что

он может

дать

весьма полезные

и интересные

результаты.

В дальнейшем

изложении мы будем следовать

Бендату,

Пирсо­

ционного

анализа и т а к ж е оперирует с остаточными

стационар­

ными процессами, но в их спектральном представлении. В

связи

с этим вводится понятие функции

остаточной

(частной)

спект­

ральной

плотности, которую д л я

краткости

будем

называть в

дальнейшем остаточным (частным)

спектром.

ж е т

быть дано

следующим

образом . Пусть Хи есть прогнози-

руемый

по yt

процесс

ХЦ.

Разность xlt—Хи=Ахц,

аналогично

•§ 2,

является

остаточным

случайным процессом.

Остаточным

(частным) автоспектром процесса xit

является преобразование

•Фурье

остаточного

процесса

Axlt.

Обозначим полученный

авто-

спектр

S,n.y(w).

Образова в

разность

yt—yt=Ayt

и

выполнив

преобразование

Фурье

Ауи

получим

остаточный

автоспектр

Svv.i(a)

процесса

yt.

Хц,

ХЦ, iji.

Рассмотрим

три стационарных

случайных процесса

можн о найти,

прогнозируя

х и по x2t,

х п

по

yt и

т. д., получим

шесть остаточных автоспектров процессов хи,

%ги

yt-

SH.Z(CO)

I

S2 2.i(ffl)

I

^ууЛ(а),

I

I

(4.1)

I

I

5,ii.v (o)

I

Szi.y((u)

I

Syyz(a).

П о аналогии

с уравнением

(2.9), остаточные автоспектры могут .

быть найдены из уравнений типа

S , i . 2 ( ( o ) = S 1 1 ( © ) [ l - F 2 2

( ( o ) ] ,

(4,2)

S w ^ ( t o ) = S „ „ ( ( o ) [I—Fig

(©)]

(4.3>

пли

вообще

5£ i(co)Sj j(cu)

J

(4.4)>

где

(со) — о с т а т о ч н ы й

автоспектр

процесса

i,

прогнозируемо­

го по /, 5i,(co)

— о б ы ч н ы й

автоспектр

процесса

i;

S;J(CO) — о б ы ч ­

ный

взаимный

спектр процессов /, /;

/4/(00) —• обычная

когерент­

ность

спектральных компонент процессов

i , / на частоте

со.

Н а

основе

(4.2) — (4.4)

остаточный автоспектр

можно интер­

ванной частоте. И з <(4.2) — (4.4) следует,

что

Su.j—Sn((£>),

когда

Р2.(а)

=0,

т. е. когда

процессы i и / на

частоте

со

некогерентны.

Если

F 2 . ( c o ) = . l ,

что

возможно, когда

процессы

i

и /

на

частоте-

со полностью

когерентны, 5n..7(co) = 0 .

П р и

N процессах

может

быть получена я - мерная матрица остаточных автоспектров.

Приведе м формальное определение остаточных

(частных)

взаимных спектров трех

стационарных

случайных

процессов

x\t>

Хц> у и Если

из процесса

Хц исключить

его прогнозируемое

по

хц

значение Хц.2

и получить остаточный процесс Ахц.%

и из

процесса-

yt исключить прогнозируемое по x2t

значение

yt.t

и

получить

остаточный процесс Ayt.2, то выполнив преобразование

Фурье-

ковариационной

последовательности

М[Ахц.2-Аг/о-т],

получим,

остаточный

взаимный

спектр 5iV .2 (со)

процессов

xit

и

yt.

Дейст­

Syy-2

Syl.2

(4.6)

Siy.2

Su.z

г де Syi.2,

Sly,2

—

остаточные

взаимные

спектры, причем S y i . 2 и

Siy.2, — комплексно сопряженные величины, Syy,2,

5 ц . 2

—

остаточ­

ные автоспектры процессов tjt и Хц.

Матрицу

(4.6)

называют

остаточной

спектральной

матрицей.

Д л я

разделенных в

(4.5)

пунктирной линией групп, как можно по­

казать, выполняется

соотношение

Sx>*= [f™ 5 н ] _

Н [ S a ] - 4 S » , - S s , ] .

(4-7)

П о р я д о к

расчета

Sxy.2

дается формулой

(4.8),

которая

показы­

вает,

как

вычисляются

члены остаточной

матрицы (4.6).

'уу

Sy2 • Soy

Sy2—5oi

Sxy.2 —

S22

S22

(4.8)

Sjo-Szy

>'!/

о

О 2*1

И л и

окончательно

дл я

5iy .2f(w)

5iy .2 (co) =Siy(a)

[

1 —

S 12(a)-Szy(a)

"1

(4.9)

592(co) -Siy (со)

J

В о о б щ е

Sij(&)

•iSji(o))

"J

Sih.i(a)

= 5 i f

t ( c o ) [

1 —

(4.9a)

5 jj(ff») - 5 № (со)

J

Е с л и

хц

и x2t

некогерентны,

(4.9)

приобретает вид

Si„.2(co)=Sij,(co),

Sih.j(a)

=Sih((£)).

(4.96)

цессов может быть обобщен дл я

N процессов хц

на входе

линей­

ной системы и

процесса на выходе yt

(Бендат,

Пирсол,

1971).

Р а с ш и р е н н а я

до

(Af-f-1,

N-\-i)

членов

спектральная

матрица

уу

y

i

>уг

Sy%

. . .

Syx

S

Sy

Siy

5 ц

Sl2i

S13

. . .

5)дг

5 ухх —

iS2i

S22

S23

(4.10)

•S.Vy

"S.vi

I 5JV2

SjST3

S.wv

.Деление спектральной

матрицы

(4.10)

показано

т а к ж е пунктир­

ными линиями

в

(4.11)

A (2. 2)

B(2,N-\)

•S" y.Y.V

С (N-l,

2)

D{N-\,

i V - 1 )

(4.11)

где A(2,

2), В(2,

N-l),

C(N—l,

2), D{N-l,

N-l)

являются

подматрицами

либо с двумя, либо с (/V— 1) строками

и колонка­

ми:

Л (2,2)

=

5У 1

В ('2,

iV— 1)

=

Sy2

5 у з

SyN

5j2

5i3

SIN

S 2 y

S 2 i

^22

5гз

.S2iV

^Зу

•$31

^32

5 3

3

S3N

C ( t f - 1 , 2 ) = ,

D(N—1,

iV—1) =

(4.12)

SNV

SJVI

•S.Y2 S.Y3

>JVJV

Остаточную спектральную матрицу межд у

и yt

можно запи­

сать

>xy.23-I\TZ

Syy.23-N

Syi.23.-N

(4.13)

S[y.23-N

5.11.23...Д'

Четыре

члена Sxv.23-N

могут

быть определены

путем

выполнения

н а д матрицами А, В,

С, D

следующих

действий:

>д:у.23,..N=A-BD-i-C,

(4.14)

где D~x — матрица, обратная

D.

К а к в обычном взаимноспектральном

анализе

оперируют по­

нятием

обычной

функции

когерентности

/ ^ ( а ) ,

та к

в частном

взаимноспектральном

анализе оперируют понятием функции част­

процессов на

некоторой

фиксированной частоте со. Обозначим

спектральные

компоненты

исследуемых

процессов

соответствен­

но -Vi(co), х2 (со),

у (со). Если поставленную

задач у

решать, оты­

скивая обычные

когерентности F22(a),

F2y((a),

F2y(a),

не исклю ­

шенной по сравнению с истинной

линейной связью межд у

Xi(co)

и у (со). Высокие

значения Ff

(со)

могут при этом

быть

о т р а ж е ­

нием

только

того

факта,

что

х%(и>) высоко когерентна

с Xi(co).

В действительности ж е

межд у Xi(co)

и у (со) может

вообще не

быть никакой физической связи. Если дл я такого случая

рассчи­

тать

частную

когерентность

м е ж д у

JCi(co) и у (со),

она

будет

близка к нулю. Н о и

обычная, и частная когерентности

м е ж д у

х2 (со)

и у (со)

д о л ж н ы

быть близкими

к единице.

Рассмотрим ситуацию второго типа: Xi(co) и

х2 (со)

некоге­

рентны и проходят через физически существующую

линейнук>

систему, формируя на выходе у (со). Обычная когерентность

м е ж ­

ду *i(co) и у (со) окажется в этом случае заниженной

относи­

тельно истинной когерентности, поскольку в спектральную

ком­

поненту процесса

yt

вносит

свой

вклад, помимо

*i(co),

т а к ж е

х2 (со). Так как Xi(co)

и х2 (со)

некогерентны, этот

в к л а д

практи­

ходе. П о д о б н а я ситуация будет иметь место

и в том случае,

если

рассчитать обычную когерентность межд у

^(со) и

у (со). Тогд а

шумовую компоненту в у (со) будет д а в а т ь

Xi(co).

Так как

р а с ­

истинная связь между Xi(co) и

у (со) или

х2 (со)

и

у (со)

д о л ж н а

была бы оказаться линейной, a

F2

(со)

и

F2

(со)

д о л ж н ы

были

бы быть близкими к единице. Однак о этого

не произошло

из - за

присутствия шума либо в виде Xi(co), либо

в

виде

Хг(со).

Ч а с т ­

ная ж е когерентность м е ж д у хх (со)

и у (со), при расчетах

которой

шум х2 (со) исключен, получится

равной

или

близкой к

единице..

Близкой к единице д о л ж н а

получиться

и частная

когерентность,

м е ж д у х2 (со) и у (со).

Таким образом, частная когерентность выявит

истинную л и ­

нейную взаимосвязь xit, x2i

и yt,

д а ж е

если

она

не выявляется

по обычной когерентности и безотносительно

к тому,

я в л я ю т с я

ли дв а входных процесса

коррелированными

или

некоррелиро -

но выразить через остаточные авто- и взаимные

спектры

следу­

ющим

образом:

^ ( ш ) - ^ ( с о ) 5 й , , ( с о ) '

( 4 Л 5 )

причем

0^.Fik,j(a)

^ d . Аналогично (4.15)

можно

записать

част­

ную когерентность

F\.. (со), F\jh (со), F2.jh

(со), ^

(со), F 2 . . (со).

И з

подобия

(4.15) и

(2.19)

очевидно, что частная

когерент­

ность

является

спектральным

отображением к в а д р а т а

частного

коэффициента

корреляции, о чем упоминалось

выше. И з

(4.15)

видно т а к ж е , что в случае двух

процессов частная

когерентность

является обычной когерентностью /*\ft(co).

Н а

основании (4.15)

можно дать следующее

определение

частной когерентности.

Ч а с т н а я когерентность

является

мерой

герентность можно рассматривать ка к

обычную когерентность

двух

остаточных

процессов. Д л я

остаточных процессов

может

быть найдена т а к ж е разность фаз

е . , ( с о ) = t s l f * A ; \ = - g ^ V -

и л е )

ReOift.j(co)

СОгй.Дсо)

где

Qi/i.ji(co) — остаточный

(частный)

квадратурный

спектр,

Coih.j

(со) — о с т а т о ч н ы й (частный)

коспектр процессов i

и k, из

которых исключен процесс /.

Использование

и трактовка

F2h.

(со) и

вполне

анало­

F2

( Ш ) = .

[ - W ^ c a ) ] 2

(

1 7 )

В теории частного спектрального

анализа часто т а к ж е

опери­

руют понятием

комплексного

частного коэффициента

регрессии

на частоте со,-, который представляет

собой

О22.ь(С0)

О1 2 .з(С0)

Х1<(ш)=а2 (со)А-2г(со)+ 2 о3 (со) •x-j t(cu)+et(co),

(4.19)

#12 (со):

•S12(co)

•S22

(C0)

(4.20)

5г2(сй)

5 I 2 (OJ)

S\i

S i 2

•Sf<7

S%\

S2 2

^

> ) =

l - [ S « ( c o ) - S < ( ( o ) ] -

(4.23)

где 5' (со) — i - i i диагональный элемент

матрицы,

обратной

(4.22).

Если на входе

системы

действуют

только

два

процесса

хп

и

х-11, а на выходе один у и матрица

Sxx(a)

запишется

s y l

Syz

Sn

S12

(4.24)

Sly

S*>2

и функция множественной когерентности между

A-I(CO), х2(ш)

и

//(со)

будет

/ r a i ^ ( t 0 ) = 1 - [ S w S 1 1 , J ~ 1 '

( 4 l 2 5 )

где S l

y y — п е р в ы й

диагональный

элемент

матрицы, обратной

Р2

/ , л

[Sig(co)]3

с , ,

(4.26)

F t 2

" И

с / \ с /

1

= П з ( с о ) .

У Л

О ц ( С 0 ) о 2 2 ( С 0 )

жет

быть

т а к ж е

записано следующим

образом:

(ш) =

1-

5Ц.Р(СО)

(4.27)

5 ц (со)

где

Р

—

множество (2, 3, . . . т),

5 ц . Р

— частный спектр

про ­

цесса

Хц, полученный после

исключения

из xit

процессов

х2и-

Хаи

•

• • ,

x m i . Из сравнения (4.26)

и

(2.26)

видно,

что

функция

множественной

когерентности

является

обобщением

понятии

янными параметрами; б) полученные оценки

спектральной и

взаимной

спектральной

плотности являются несмещенными;

в) к а ж д ы й

из входных

процессов свободен от

шума (посторон-

7 Зак . 11821

qj

динамических

систем

Теория случайных

стационарных

процессов

позволяет ре­

шить практически в а ж н у ю задачу

отыскания

вероятностных

характеристик реакции

системы по известным характеристикам

действия в

случайную

функцию

реакции, с

математической

точки зрения

не имеет

значения.

Представляет

интерес лишь

которая ставит в соответствие

з а д а н н ы м

функциям (внешние

воздействия — вход системы)

другие

функции

(реакция

систе­

м ы — выход) . Оператор

системы является

ее

наиболее

общей

характеристикой и может

быть

з а д а н

в виде уравнений,

опреде­

стему, внутренняя

структура которой неизвестна и недоступна

д л я исследователя.

Изучение

структуры и

поведения

системы

проводится только

на основе

сопоставления

сигналов

на входе

Вольфа,

представляет

собой задачу

«черного ящика» .

В том

случае, когда

известна о б

щ а я структура динамической

возникает з а д а ч а идентификации модели и реального

процесса.

Р а з р а б о т к о й методов идентификации с учетом реально

действу­

О к е а н

можно рассматривать как

некоторую

динамическую

систему,

описываемую уравнениями

движения,

неразрывности,