книги из ГПНТБ / Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие

3.8. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Под численным дифференцированием понимают задачу о вы­ числении значений производных функции / (х), заданной на ин­ тервале [а, Ь], для которой известны лишь значения в некоторых точках х0, хг, . . . , хп этого интервала. Пусть Р„ (х) — интерпо­ ляционный многочлен, приближающий функцию / (х). Считая, что производные функции / (х) равны соответствующим производ­ ным интерполяционного многочлена Рп (х), будем иметь прибли­ женные равенства:

f'(x)^P'n(x),

f(x)^P"n(x),

Г\х)^Р\Г(х) ('«),

Рассмотрим формулы численного дифференцирования, осно­ ванные на интерполяционной формуле Ньютона:

упрощения дальнейших вычислении удержаны члены, содержащие

Аналогично могут быть получены формулы, содержащие раз­ ности выше третьего порядка, и формулы для вычисления произ­ водных старших порядков, хотя .точность последних сравнительно невелика.

80

Формулы (3.22) значительно упрощаются, если значение про­

Как известно, (sh х)' = ch х; по данным таблицы ch 1,25 = 1,888.

4 Заказ № 1181

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ГЛАВА 4

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

4.1.ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Одна из основных задач интегрального исчисления состоит в на­ хождении функции по ее производной или дифференциалу. Эта операция, обратная дифференцированию, называется интегриро­ ванием функции. С необходимостью восстанавливать функцию по ее производной встречаются уже при решении простейшей меха­ нической задачи, например, о прямолинейном движении матери­ альной точки, когда требуется по известному закону изменения ускорения материальной точки во времени определить законы из­ менения ее скорости и пути. Так как ускорение является произ­ водной от скорости по времени, а скорость — производной от пути по времени, то, очевидно, задача сводится к интегрированию со­ ответствующих функций.

Первообразная для данной функции. Множество всех первообразных

Исходным понятием в интегральном исчислении является по­ нятие первообразной.

Определение. Функция F (х) называется первообразной для функ­ ции f (х) на некотором промежутке, если во всех точках этого про­ межутка

Г (х) = f (х),

или, что то же самое, если

dF (х) = f (х) dx.

Задача о нахождении первообразной для данной функции не обладает единственностью решения. Так, для функции cos х пер­ вообразными будут, очевидно, функции sin х, sin х + 1, sin л; —У~2 и вообще любая функция вида sin х + С, где С — произвольное число. Интегрирование функции состоит в нахождении всех ее пер­ вообразных.

82

Неопределенный интеграл

Определение. Совокупность всех первообразных для данной функ­ ции f (х) на некотором промежутке называется неопределенным интегралом' от f (х) на этом промежутке и обозначается символом

\f{x)dx.

В данном символе функция / (х) называется подынтегральной функцией, произведение / (х) dx — подынтегральным' выражением, переменная х — переменной интегрирования.

Из теоремы 1 следует, что для вычисления неопределенного инте­ грала от данной функции достаточно найти для этой функции ка­ кую-нибудь первообразную. Если F (х) — первообразная для / (х), то, по определению,

произвольную постоянную С. Вычисление неопределенного интег­ рала иногда называют взятием интеграла. Равенства вида (4.1) , будем называть в дальнейшем формулами интегрирования.

З а м е ч а н и е . В связи с произвольностью в выборе перво­ образной при вычислении неопределенного интеграла, в зависимости от способа вычисления могут получаться различные результаты. Во всех таких случаях найденные первообразные могут отличаться

Оба ответа правильны. Заметим, что указанные первообразные отличаются на постоянную:

В теории неопределенного интеграла большое значение имеет вопрос об условиях существования неопределенного интеграла.

Теорема 2. Всякая непрерывная функция имеет в своей области определения первообразную, а значит и неопределенный интеграл.

Доказательство этой теоремы выходит за рамки нашего курса; ограничимся ее геометрической иллюстрацией.

84

Пусть функция f (х) непрерывна и неотрицательна. Рассмотрим площадь * фигуры, ограниченной кривой у = f (х), осью х и двумя ординатами, соответствующими фиксированной точке х = а и произвольной точке х.>-а (рис. 47). Такая фигура называется кри­ волинейной трапецией. Очевидно, каждому значению х отвечает определенное значение площади Q (х). Покажем, что функция Q (х)— одна,из первообразных для /(х) . Дадим произвольному фиксированному значению х произвольное приращение A,v, напри­ мер, положительное. Площадь криволинейной трапеции получит положительное приращение AQ (х). Пусть т и М — наименьшее

и наибольшее значения функции f (х) на промежутке [х, х + ДА']. Очевидно, что

т Ах < AQ (х) < М Ах,

откуда

Ах

Устремляя Ах к нулю и замечая, что при этом вследствие не­ прерывности f (х) величины т и М стремятся к одному и тому же

Q' (х) = / (х).

Для того' чтобы приведенную интерпретацию распространить на случай непрерывной функции, принимающей не только поло­ жительные, но и отрицательные значения, достаточно площади, расположенной под осью х, приписать отрицательный знак (рис. 48).

* Здесь и в дальнейшем мы исходим из интуитивного представления о площади плоской фигуры, ограниченной криволинейным контуром. Строгое

85

Таким образом, первообразную для функции / (х) можно представ­ лять себе как переменную площадь, ограниченную графиком этой функции, между произвольно фиксированной точкой х — а и пе­ ременной точкой х. Из всей совокупности первообразных эта перво­

определения имеет неопределенный интеграл.

Действительно, всякая элементарная функция непрерывна в своей области определения, следовательно, по теореме существова­ ния, она имеет в этой области неопределенный интеграл.

З а м е ч а н и е . В связи с установленной связью между неоп­ ределенным интегралом, и вычислением площадей плоских фигур, называемым квадратурой, сама операция вычисления неопределен­ ного интеграла часто называется взятием квадратуры.

4.2.ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Существующие методы и способы интегрирования функций осно­ ваны на использовании свойств неопределенного интеграла.

Прежде чем рассматривать эти свойства, заметим, что так как неопределенный интеграл представляет собой не одну функцию, а совокупность' функций, то равенства, содержащие слагаемыми не­ определенные интегралы, не являются равенствами в обычном смысле.

В соответствии с определением неопределенного интеграла, вся­ кое такое равенство означает, что равны между собой производные или дифференциалы обеих его частей. Следовательно, разность ме­ жду обеими частями равенства, содержащего неопределенные ин­ тегралы, равна не нулю, а произвольной постоянной. О таких ра­

в равенствах, содержащих слагаемыми неопределенные интегралы, отдельные слагаемые, включая и неопределенные интегралы, можно переносить из одной части равенства в другую, как это делается в обычных равенствах, с той лишь разницей, что при переносе всех неопределенных интегралов в одну часть равенства в другой ча­ сти, не содержащей неопределенных интегралов, следует писать слагаемым произвольную постоянную. Например, из равенства

J sin х dx — х sin x—$xcosxdx,

справедливость которого может быть установлена путем сравнения

При перенесении неопределенного интеграла в ту часть равен­ ства, которая содержит произвольную постоянную, последнюю следует опустить, так как неопределенный интеграл неявным об­ разом уже содержит произвольную постоянную.

86

Свойство 1. Производная неопределенного интеграла равна подын

неопределенного интеграла понимаются производные и дифферен­

З а м е ч а н и е . Из свойства линейности неопределенного ин­ теграла относительно подынтегральной функции следуют, в част­ ности, два практически важных правила, используемые при вычис­ лении неопределенных интегралов:

1) постоянный множитель можно выносить за знак неопределен­ ного интеграла. Если с — постоянная величина, то

2) интеграл от суммы конечного числа функций можно заменить суммой интегралов от каждой функции в отдельности, при усло­ вии, что эти интегралы существуют:

87

рирования следует, в частности, что неопределенный интеграл от дифференциала функции равен самой функции, сложенной с про­ извольной постоянной. Действительно, так как

Jdx = x-f-C,

то, заменяя х любой дифференцируемой функцией F (х), получим

4.3.ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ И. ПРОСТЕЙШИЕ СПОСОБЫ

ИНТЕГРИРОВАНИЯ

В основе дифференциального исчисления лежат формулы диф­ ференцирования основных элементарных функций. Путем исполь­ зования этих формул и применения правил дифференцирования может быть найдена производная любой элементарной функции, причем в результате дифференцирования элементарной функции всегда получается элементарная функция.

Техника интегрирования также построена на использовании нескольких элементарных формул (так называемой таблицы ос­ новных интегралов). Однако, так как не существует общих правил интегрирования (подобных дифференцированию), то сам процесс интегрирования оказывается значительно сложнее и требует под­ час большого искусства.

Основная трудность интегрирования состоит в приведении подын­ тегрального выражения к виду, позволяющему использовать таблицу основных интегралов: Здесь мы сталкиваемся с одной важ­ ной особенностью интегрирования. Оказывается,, что первообраз­ ные ряда элементарных функций не могут быть выражены в эле-

88

ментарных функциях и, следовательно, их неопределенные интег­ ралы в принципе не могут быть вычислены указанным методом. К подобным функциям относятся уже такие функции, как ех\ sin х1, s l n x , ]/cosx, —J—. Интегралы таких «особых» элементар-

хIn X

ных функций реально существуют, что следует из теоремы сущест­ вования, но они представляют собой функции, выходящие за класс элементарных.

Об интегралах, представляющих собой неэлементарные функ­ ции, принято говорить, что они не берутся или что они не выра­ жаются в конечном виде.

Ниже рассмотрены основные способы и методы интегрирования функций, а также некоторые классы функций, интегрируемых в ко­ нечном виде.

Таблица основных интегралов

Эта таблица получается из формул дифференцирования основ­ ных элементарных функций. Обращая указанные формулы, полу­ чим:

1. J0dx = C.

3.j - ^ d x - l n U I + C.

Сax

4.\ axdx — \-C, в частности.

4a. \exdx = ex-±C.

5.fcosxdx = sinx + C.

6.J sin x dx = —cos x - j - С.

при которых определены подынтегральные функции. Справедли­ вость всех формул, кроме формулы 3 очевидна. Докажем эту фор­ мулу.

89