Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

6.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 185 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

дулю, что точка х + Ах тоже

принадлежит

этому

промежутку.

По определению производной

(JC) = lim

/(•* + А * ) - / ( . * )

(2.15)

Д.1--0

Дх

Если

(х)

возрастает

на

рассматриваемом

промежутке,

то,

(х + Ax)>f

(х) при А д ; > 0

f (х +

Ax)<f

(х)

при

Ах<$

(там

же, стр. 131), а потому

дробь

под знаком

предела

в равенстве

(2.15)

положи

тельна. Пределом

положи

тельной

величины

может

быть только положительное

число, либо нуль, а потому

в этом

случае

{х) У> 0 .

Вторая

часть

теоремы

Рис.

доказывается

аналогично

и ее доказательство

предо

ставляем

читателю.

на

Теорема

(Достаточный

признак

монотонности),

а)

Если

некотором

промежутке f

(х) > 0

, /по на этом

промежутке

функ

ция f (х)

возрастает,

б) Если

на

некотором

промежутке f

( х ) < 0 ,

то

на

этом

промежутке

функция

f (х)

убывает.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

любые

две точки рассматриваемого

промежутка,

такие,

что

			Рис.	15			Рис.	16
* 2 > * i -		По формуле			Лагранжа / (д;2) — / (хг ) = (х2 —• xj				f (с),
где	x 1 <<c < : X 2 .		Если		f (х)^>0 на рассматриваемом промежутке,
то	и /' ( с ) > 0 ,		а так		как х%	—х1^>0, то из предыдущего			равен
ства следует, что в этом случае f{x%)—f(xj)							> 0 или / (х2 ) >		(fx-j).
Но	это	и означает,		что f(x)		возрастает	на рассматриваемом про
межутке. Если			же на		этом промежутке /' (лг)<50, то аналогично
находим,		что в	этом		случае	f {х2). <Cf (xx ), откуда		следует	убы
вание функции, на				промежутке.

Доказанные теоремы могут быть просто истолкованы геометри чески. В любой точке промежутка возрастания функции у = f (х) касательная к ее графику образует с осью Ох острый угол ср (рис. 14) на промежутке убывания функции угол ср тупой. Таким образом,

•промежутку		возрастания			функции	/ (х)	соответствует		случай
tg ф = Г (*)>0,			а	промежутку		убывания — случай			tg ср =
=	Г ( х ) < 0 .	' _
у'	Пример 1. у = х2		— 4х +		1; область определения — вся ось			Ох. Имеем
	= 2х — 4 =	2 (х—	2).	Видим, что у'<		0 при	х < 2 и у'> О	при х > 2.

Отсюда в силу второй теоремы заключаем, что на промежутке (— со; 2) функ

ция убывает, а на промежутке (2;						+ со) возрастает (рис. 15); в точке х = 2
убывание переходит в возрастание.
	Пример 2.	у	= хе~А;	область,		определения — вся				ось Ох. Имеем у' —
=	е~х — хе~х	=	(1 — х) е~х.		Так как е~х		> 0, то у'		>	0 при х <1 и у' <0
при л > 1 , .следовательно,				на'промежутке			( — с о ;	1)	функция		возрастает,
на	промежутке (1; + со)			убывает. В точке х =				1 возрастание			переходит
в	убывание (рис.		16).
			2.7. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ.
		НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА
	Функция	/ (к) может			убывать или		возрастать			не во всей своей

области определения. Эта область часто распадается на промежутки возрастания и убывания функции (рис. 17). Точка, отделяющая


промежуток			возрастания от
промежутка убывания функ- У
ции,		называется			т о ч к о й
э к с т р е м у м а						ф у н к
ц и и		(точки		хх, х2,		х3, А.'4
на рис. 17). Точки экстремума
бывают двух			типов:		т о ч к и
м а к с и м у м а				ф у н к ц и и
(точки		хх и л"з), где			функция		'
переходит			от	возрастания
к	убыванию			(если		продви
гаться		в направлении				возра
стания координатых),						и т о ч
к и	м и н и м у м а					ф у н к	Рис. 17

ц и и

(точки

х2

и x4 ), где

функция

переходит от убывания

к возрастанию. В

точке макси

мума

величина

функции

/ (х)

больше, а

точке

минимума —

меньше, чем

во

всех соседних

достаточно

близких точках. Таким

образом, приходим к следующему определению:

1. Точка х0 называется точкой

максимума

функции

f (х),

если

для любой

точки

х, принадлео/сащей

достаточно малой

окрестности

точки

х0,

,. .

^,. .

f(x)<f(Xo).

(2.16)

2. Точка х0 называется

точкой

минимума

функции

f (х),

если

для любой

точки

х, принадлежащей

достаточно

малой

окрестности

точки

х0,

, . w

, , ,

f(x)>f(x0).

(2.17)

Значения функции f (х) в точках ее максимума и минимума на зывают соответственно м а к с и м у м о м и м и н и м у м о м ф у н к ц и и f (х).

Таким образом, максимум и минимум функции — это не наи большее и наименьшее ее значения во всей области определения функции, а только наибольшее и соответственно наименьшее зна чения функции по сравнению со значениями функции во всех со

седних, достаточно	близких	точках.
Теорема. Если	функция	f (х) дифференцируема в точке		х0 и
имеет в этой точке экстремум, то f (х0) =			0.	дока
Д о к а з а т е л ь с т в о		не отличается	по существу от	дока

зательства теоремы Ролля. Пусть в точке х0 функция имеет макси

		мум.		Тогда		в силу (2.16) для произ
У"*3	I	вольного			достаточно			малого	по мо-
У"*3	I	дулю		Ах	будет
					f (л-0	+ ДА) — f (*„)		< 0
						Ах
					при	Д х > 0 ;			(2.18)
				/ ( * „ + Д А - ) - / ( А - 0 )				> 0	(2.18)
				/ ( * „ + Д А - ) - / ( А - 0 )				> 0
						ДА:
					при	Д х < 0 .
			При Ах			0 оба эти отношения стре-
Рис. is		мятся		к	общему		пределу /' (х0),		откуда
		и	следует, что f				(х0) =	0.
В случае, когда в точке х0			функция f (х) имеет минимум, рассуж

даем аналогично; предоставим читателю самостоятельно провести эти рассуждения.

Геометрически теорема истолковывается следующим образом: если в точке экстремума график функции у = f (х) имеет касатель- • ную и эта касательная не параллельна оси Оу (как, например, в точке х3 на рис. 17), то эта касательная непременно параллельна

оси Ох (точки х1г	х 2 на рис. 17).	и где,
Кроме точек экстремума, где функция дифференцируема		и где,
как мы видели,	/' (х) = 0 (точки х 2 и х 2 на рис. 17), могут	быть

и такие точки экстремума, где функция недифференцируема. В точке х3 на рис. 17 функция имеет максимум, а в точке х4 — минимум, причем в первой из этих точек /' (х) = со (касательная к графику функции в этой точке параллельна оси ординат), а во второй —

(х) вообще не существует (график функции в этой точке не имеет касательной).

Из изложенного вытекает следующее практическое правило:


точки,	в которых функция	имеет экстремумы,		надлежит	искать
среди	точек, где либо f (х) = 0, либо		f (х) = со, либо f (х) не су
ществует, причем в двух последних			случаях	предполагается не
прерывность функции / (х) в соответствующей точке. Точки					указан
ных трех типов называются		к р и т и ч е с к и м и .

Не в каждой критической точке функция имеет экстремум. Так, например, для функции у = х3 точка х = 0 будет критической, так как в этой точке у' = дх2 = 0; однако в этой точке функция

у= х3 не имеет экстремума (рис. 18).

Вдвух следующих параграфах получены признаки, с помощью которых можно решать вопрос о наличии экстремума в критической точке.

2.8.ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА, ИСПОЛЬЗУЮЩЕЕ ПЕРВУЮ ПРОИЗВОДНУЮ

Теорема. Пусть

х0

будет

критической

точкой

функции

f (х);

а) если в некоторой

окрестности этой точки f',(x)>-0 при

x<ixQ,

Г С*0<СО

при

х^>х0,

то х0

будет

точкой

максимума

функции

f (х); б)

если

же f

( х ) < 0

при х<Сх0, f

( x ) > 0

при

х^>х0,

то

х0 будет точкой минимума

функции

f (х).

,x<ix0

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В случае

«а»

при

функция

возрастает,

при х > х 0 — убывает

(см.

2.6, теорему 3),

сле

довательно,

в точке

х0 функция переходит от возрастания к

убы

ванию, т. е. х0

есть точка

максимума. Аналогичное рассуждение

проводится

случае

«б»).

Итак, достаточное условие наличия экстремума в критической точке х0 функции / (х) состоит в перемене знака производной /' (х) при переходе через точку ха. Если при переходе через х0 производ ная /' (х) меняет знак с плюса на минус, то в точке х0 будет макси мум, если же с минуса на плюс,— то минимум.

Если при переходе через критическую точку производная не меняет знака, то в критической точке экстремума нет, и эта точка принадлежит либо промежутку возрастания, либо промежутку убывания функции, в зависимости от знака f (х).

Пример 1.	ft (х)	=	(х +	I ) 2	(х — I ) 3 ; функция	определена	и	непрерывна
на всей оси Ох. Ее производная
f' {х) = 2 {х +	1) (х	-	I ) 3 +	3	(х + I ) 2 {х - I ) 2 =	(х + 1) (х	-	I ) 2 (5х +1)

всюду существует и конечна. Следовательно, критическими здесь будут только

те точки, в которых f{ (х) =

т. е. точки (располагаем их в порядке

возрас

тания)

X-L

— 1;

х% =

; хя

1. Исследуем

эти

точки.

Пусть х — точка, принадлежащая достаточно малой окрестности

соот

ветствующей

критической

точки.

Тогда

при

х < — 1 ft (х) >

при

х > — 1 I' (х)

< 0;

отсюда

следует,

что хг

— 1 есть

точка

максимума

функции, причем

J5(—1) =

0. Далее при х<

—f/

(х) < 0,

а при х >

— J—

f (х)^>0;

следовательно,

х2

есть

точка

минимума

функции,

при-

чем / (

—\

— — ~ r ~

— Ы -

Наконец,

при

1 /' (х) >

при

3125

х > 1 f,' (х)

при переходе

через

точку х3

1 производная

не

меняет

знака, оставаясь

положительной. Следовательно, точка х3 = 1 не является

точкой

экстремума,

а принадлежит

промежутку

возрастания

функции.

Касательная к графику функции	в этой	точке совпадает	с осью Ох (так как
ft (1) = 0). Отметив еще, что f, (0)	= —	1, f, (1) = 0, легко представить		себе
график рассматриваемой функции (рис. 19).
Пример 2. f(x)—x2—3-/"л:2;	функция определена		и непрерывна	на
всей оси Ох. Ищем производную

Эта производная конечна для всех х == 0; ft (0) = со. Точки, в которых ft (х) = 0, находим из уравнения

V F - 1

Рис. 19

Рис. 20

4_ откуда хъ — 1 = 0, х* = 1, х = ± 1. Итак, имеем следующие три крити-

»ческие точки данной функции: хх = — 1, х2 = 0, х3 = 1. Пусть снова х — точка, принадлежащая достаточно малой окрестности исследуемой крити

ческой точки. Тогда при х <

— 1 ft (х) <0,

а при х

> — 1 ft (х)

> 0, от

куда

следует,

что хг

— 1

является

точкой минимума функции,

причем

(—

1) — —2.

при х

< 0 ft (х)

>0, а

при х > 0 // (х)

<0,

поэтому

х2

0 есть точка максимума функции; f (0) =

0 и касательная

в этой

точке

совпадает с осью

Оу

(так как ft (0) =

оэ). Наконец,

при х

< 1 ft

(х)

< 0,

при х > 1 f

(х)

> 0,

таким образом, х3 =

1 является точкой

минимума

функции, причем f (1) =

— 2. Определив из уравнения f (х) =

х-

— 3 у/~х2 =

точки пересечения

графика функции у

= f (х) с

осью

Ох,

что

дает,

_4_
х3 — 3 = 0, х* = 27, х =	± У^27,	построим	этот график (рис. 20).
2.9. ДОСТАТОЧНЫЕ		УСЛОВИЯ	ЭКСТРЕМУМА,
ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ	ВТОРУЮ И СТАРШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ

Если функция удовлетворяет в критической точке некоторым более жестким требованиям, чем непрерывность, то для решения вопроса о наличии экстремума в этой точке можно пользоваться

достаточным условием экстремума, вытекающим из следующей теоремы.


Теорема. Если в некоторой			окрестности критической				точки х0
функция	f (х) дважды	дифференцируема,			причем	ее вторая		произ
водная в этой окрестности непрерывна,					то в случае f" (х0) < 0			имеем
максимум,	а в случае f" (x)>0 имеем минимум.						_
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Напишем		формулу	Тейлора		второго
порядка	[формула (2.8) ] при п = 2, заменив а на					х0,
	f{x)=f(x0)	+ ^ - ( x - x 0		) +П £ (_„)*.
Функция / (х) дифференцируема				в критической точке			х0	(даже

дважды дифференцируема), в силу					чего /' (х0) = 0 (см. § 2.7) и это
равенство	принимает вид
		f(x)-f(x0)		= f^EL(x-x0)\					(2.19)
Пусть	f" ( х 0 ) < 0 ;		тогда	вследствие непрерывной					второй	про
изводной обязательно существует такая окрестность точки х0,										в ко
торой /" (х)< 0 (там же, стр. 161). Пусть х						в формуле			(2.19)	при
надлежит этой окрестности. Но тогда и с, лежащее								между х0 и х,
тоже принадлежит этой окрестности, в силу чего								/" (с) < 0 . Так
как (х — х0)2^>0,		то правая		часть	(2.19) в	этом	случае отрица
тельна, откуда и / (х) —ч/ (х0)<СО,					что равносильно		(2.16).
Аналогично доказывается вторая часть теоремы.-
Итак, если в критической точке х0 будет						/' (х0)	=	0, /" (х0 )-<0,
то х = х0	есть	точка	максимума;		если же	(х0)	=	0, /" (х0 )>>0,

то х = х0 есть точка минимума.

Большинство функций, с которыми приходится иметь дело на практике, удовлетворяют условиям последней теоремы, в силу чего этот достаточный признак экстремума имеет большое практи ческое значение.

Пример 1.

/(.Y) =

—

х4

— X S

— ж 3

+ 2 ;

функция

определена

непрерывна

на

всей

оси

Ох.

Имеем

I' (х) = XS

— 2х%

— 3*;

производная

всюду существует и конечна, в силу

чего критическими

точками здесь

будут

только те точки, в которых f' (х)

Определяем эти точки, для чего ре

шаем

уравнение

(х) =

х3 — 2,v2

— Зх =

Корни этого

уравнения

(в по

рядке возрастания) х1

— 1, х2

0; xs

3. Далее находим

f" (х) =

Зх2

—

— ^x —

I" (— 1) =

4 > 0, откуда

хг

= — 1 есть точка

минимума

функ-

х2

ции,

причем / ( — 1) =

—

; /" (0) =

— 3 < 0 ;

поэтому

есть

точка

максимума,

причем f, (0)

2; {," (3) =

12 >

0„ а х3

— 3 есть точка минимума,

причем / (3)=

График

функции у

f, (х) представлен

на рис.

21 „

Если f (х0) = 0 и /" (х0) = 0, то для решения вопроса о наличии экстремума в критической точке х0 нужно применять более общий

достаточный признак экстремума, вводящий в рассмотрение про изводные старших порядков и вытекающий из теоремы.

Теорема. Пусть в некоторой окрестности

критической

точки

х0

функция

f (х)

дифференцируема п

раз,

п-я

производная

функции

непрерывна

этой

окрестности

(ха)

= f" (х0)

= . . .

= / ( л - 1 )

(х0)

О,

то время как f{n)

(х0)

Тогда

при

четном

функция

имеет

максимум,

если f n )

(х0)

< 0

минимум,

если /( л ) (х0 )

> 0 ;

при

нечетном

функция

точке

х0

не

имеет

экстремума.

Рис. 21 Рис. 22

Д о к а з а т е л ь с т в о . Заменив а на х0, напишем формулу Тейлора (2.8), которая при выполнении 'условий теоремы примет

вид

f(x)-f(x0) = -f^L(x-x0)n,

где с лежит между х0 и х.

При п четном рассуждения дальше проводятся так же, как при доказательстве предыдущей теоремы. Если же п нечетное, то ве

личина (х — х0)п

меняет знак при переходе х через точку х0, в силу

чего при переходе х через точку

х0 меняет знак

и разность / (х)

—

/ (х0).

Следовательно, в сколь угодно малой окрестности

точки

х0

найдутся

как

значения

х0, для которых

f (х) <f

(х0),

так

и значе

ния х, для

которых

/ (х) > / (х0),

откуда

и следует, что

в точке

х0

экстремума

нет.

Пример

/ (х) — ех +

ё~х —хг;

функция определена

непрерывна

на

всей

оси

Ох.

Имеем:

/' (*)

= ех

— ё~х

— 2х; f

(х) =

ех

ё~х

— 2;

{х) — ех —е~х;

/(4)

(х) = ех +

ё~х.

Первая производная

(х)

всюду

существует и конечна, поэтому 'критическими будут только те точки, в ко

торых	f' (х) = ех	— ё~х	— 2х =	0.	Нетрудно	показать,		что единственным
корнем этого уравнения является очевидный						корень	х =	0. Далее находим
f (0) =	Г (0) = Г	(0) =	0; / ( 4 )	(0)	= 2 > 0,	откуда	следует, что * = 0
есть точка минимума функции, причем I (0) =						2 (рис. 22).
46						I
						I

2.10.ОТЫСКАНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ

ФУНКЦИЙ

Пусть функция / (х) определена и непрерывна на некотором промежутке (конечном или бесконечном). Если этот промежуток не является замкнутым интервалом, то среди значений, принимае мых / (л:) на этом промежутке, может и не быть наибольшего и наи меньшего. Если же эти значения существуют, то их можно отыскать,

руководствуясь следующим признаком: если функция

f (х)

непре

рывна на

некотором

промежутке

имеет

на

этом

промежутке

единственный

экстремум,

то

соответствующее

значение

функции

будет наибольшим

или

наименьшим

в зависимости

от того,

будет

ли

этот

экстремум

максимумом

или

минимумом.

Действительно,

пусть

х0

является

единственной

точкой

экстремума

функ

ции f (х) и этот

экстремум — максимум.

Предположим,

что

на

этом

проме

жутке существует

такая

точка

хг,

что

/ ( * i ) > / (хо)

( Р и с - 23). В силу

непрерыв

ности f (х) на замкнутом интервале с кон-

цами в точках х0

и хх

она

принимает на

хо

*г

этом интервале свое наименьшее значе-

р и

ние в некоторой точке х2.

Эта

точка,

очевидно, не может совпасть ни с х0

ни

с хг

и потому

оказывается

точкой

минимума

функции

/ (х).

Но

это противоречит предположению о единственном экстремуме

функ

ции;

поэтому

неравенство

/ ( x x ) > /

(х0)

несправедливо и /(x)-<

f(x0)

для

всех

из

рассматриваемого

промежутка.

Таким

образом,

f (х0)

есть

наибольшее

значение

функции.

Случай

когда

един

ственный

экстремум есть

минимум,

рассматривается

аналогично.

Пример

fi (х)

х2

In х; область определения — промежуток (0; +

со).

На этом промежутке производная f[ (х) —

2х

In х

х существует и конечна.

Из уравнения ff

(х)

0 находим единственную критическую точку х=

Т' е-

при-надлежащую

промежутку

(0;

со). ft" (д;)=21п х +

f I—т=г|

2 > 0 ,

V Уе

следовательно,

в точке х —

V е

функция

имеет минимум. Поскольку

это

единственный экстремум функции I (х)

на

промежутке

(0;

со), то

в точке

х = — ф у н к ц и я

I (х)

принимает

наименьшее

значение на

промежутке,

•У г

(0; +

со) которое равно

*[~ут) =

Пусть теперь функция f (х) определена и непрерывна на замкну том интервале [а; Ь]. Тогда среди значений функции на этом ин-

тервале обязательно существуют и наибольшее и наименьшее (там же, стр. 176). Очевидно, что если наибольшее значение достигается

во внутренней точке интервала	[а, Ь], то оно будет одним из макси
мумов. Но оно может достигаться и в граничных точках		интервала.
Следовательно, для отыскания	наибольшего значения	функции
(х) на замкнутом интервале [a; b ] надо сравнить все ее максимумы

и значения / (а) и / (Ь) и из этих чисел выбрать наибольшее. Анало гично, наименьшим значением / (х) будет наименьшее из всех ми нимумов функции и чисел f (а) и f (b).

Пример		2.	I (х) = V х2	(1 — л-2);	область	определения			— замкнутый
интервал	[—	1;	1]. Наибольшее и наименьшее			значения f: (х), очевидно, до
стигаются	в тех		же точках,	что и для функции		ср (А-) =		х" (1 — л;2),		рассмат
			У		риваемой		на	интервале		[— 1;	1].
			У		Имеем		ф'	(.г) =	2.v (1 — 2л-2);
					ф" (х)	=	2 — 12л-2.		Критические
					точки	функции ф (х) находим					из
					уравнения ф' (х) = О, корни ко
					торого

Рис.

то функция ф (л) в точках

хх

х3

имеет максимум, равный ф I

I =

х« — мини-

—

\У

— , а в точке

мум, равный ф (0)

1 2 /

это

Сопоставив

со

значениями на концах ф ( — 1)

Ф (1) =

найдем,

что

наибольшим

значением

ф (х)

на

интервале

[—

будет—!—,

что достигается

при

х=

± - 4 = 1

наименьшим

будет

0 при

х =

I (х) —

Уф

(х)

/ 2

± 1 и

Для

функции

наибольшим

значением

будет

—

в точках

х =

± —L=R,

а наименьшим—0 в точках х =

± 1 и 0 (рис.

24)

]/ 2

Рассмотрим три задачи на отыскание наибольших и наименьших

значений

функций.

Задача

1. Дано

уравнение

прямолинейного

движения

точки

х = 6t2 — t3

{t — в секундах,

х — в метрах). Найти наибольшую

скорость

точки.

\2t — З^2.

Р е ш е н и е .

Скорость

точки

v — —

Требуется

найти наибольшее значение этой функции на промежутке

(0, +

со).

На этом промежутке

функция

v —

v (f)

дифференцируема,

причем

= 12 — 6£. Из

уравнения

12 — 6^ =

находим

единст

венную критическую

точку

t =

2. Далее, v"

—6 < 0 для

всех

в частности при

Следовательно, при

t — 2 скорость

(t)

имеет е д и н с т в е н н ы й экстремум, и именно максимум, ко-- торый тем самым оказывается наибольшим значением этой функции. Итак, наибольшее значение скорости будет v (2) — 12 м/сек.

Задача 2. Установить наиболее экономичные размеры открытого

сверху круглого	цилиндрического	бака заданной вместимости	V.
Р е ш е н и е .	Наиболее экономичными будут те размеры бака
(х — радиус и	h — высота), при	которых его поверхность S	бу

дет наименьшей (в этом случае на изготовление бака пойдет наи меньшее количество материала). По условию должно быть лх2п — V,

откуда 1г— — ; поэтому

S = S (х) = лх- + 2лхИ, = лх2 +2V

областью определения этой функции будет промежуток (0; + со). Требуется найти х, при котором функция S (х) имеет наименьшее значение. Имеем

S' = 2nx-	2V_	R
	' х2

	S" = 23t			+ 4V			rh	rh	rh	3:

Производная			S'	существует
и конечна во всех точках про										Pi
межутка		(0;	+	со),	поэтому
из уравнения			5'	= 0 находим					4 f J
единственную				критическую
		3	/~v					л групп
точку	х—у		— .		Так	как
								Рис.	25
S " > 0	во всех			точках		про-

межутка		(0;	+	со),	то	най
денной критической точке соответствует минимум									функции 5. По
скольку		функция 5			имеет на		промежутке (0;-f со) е д и н с т в е н-
н ы й	экстремум — минимум,						то этот	минимум и	будет наимень
шим	значением			Si	Итак, наиболее экономичные				размеры	будут:

х-	з
	V п	'	ях2 V я '

т. е. высота бака должна равняться его радиусу.

Задача 3. п гальванических элементов, из которых каждый имеет

внутреннее сопротивление г и электродвижущую	силу Е, соеди
нены в х последовательных групп, причем каждая	группа состоит
из у параллельно соединенных элементов (ху = п,	рис. 25); R —

сопротивление внешней цепи. Каковы должны быть числа х и у, чтобы сила тока / в цепи была наибольшей?

Р е ш е н и е .	Если т элементов				соединены		последовательно,
^		'	цепи	„		тЕ	=	Е	— . если
то по закону Ома сила тока в			цепи	будет		тт +	=		— . если
						тт +	R	'г+«-	тп
									тп

З а к аз № 1181

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 185 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ