книги из ГПНТБ / Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие
.pdfМинистерство высшего и среднего специального образования РСФСР С Е В Е Р О - З А П А Д Н Ы Й З А О Ч Н Ы Й П О Л И Т Е Х Н И Ч Е С К И Й И Н С Т И Т У Т
С. И. И Т Е Н Б Е Р Г , Л . А. К А Л Ь Н И Ц К И Й
Одобрено Редсоветом С З П И 25 января .1973 г.
ЛИ Н Е Й Н АЯ АЛГЕБРА
ИАНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА П Л О С К О С Т И .
ВВЕДЕНИЕ В А Н А Л И З
У Ч Е Б Н ОЕ ПОСОБИЕ
Общая редакция A.A. ПОТАПЕНКО
Л Е Н И Н Г Р А Д 1 9 7 3
Настоящее учебное пособие составлено в со ответствии с действующей программой по высшей математике для высших технических учебных за ведений, утвержденной Министерством высшего и
среднего специального образования СССР. |
|
||||||
Пособие содержит |
два |
раздела: |
I — |
Линейная |
|||
алгебра |
и аналитическая |
геометрия |
на |
плоскости, |
|||
I I — Введение в |
анализ . |
Указанные |
разделы |
на |
|||
писаны: |
первый |
— С. |
И. |
Итенбергом, |
второй |
— |
|
Л . А. Кальницким . |
|
|
|
|
|
j Г е о . п у б л и ч н а я |
g |
|
I н а у ч н о - т * х и м - : * " к » . я |
| |
|
I |
библиотек» . С'~'.'Р |
\ |
j |
Э К З Е М П Л Я Р |
? |
|
Ч И Т А Л Ь Н О Г О Я Л Л / ' і |
С Е М Е Н И З Р А И Л Ь Е В И Ч И Т Е Н Б Е Р Г Л Е О Н И Д А Л Е К С А Н Д Р О В И Ч К А Л Ь Н И Ц К И Й
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
У Ч Е Б Н О Е П О С О Б И Е
издание Северо-западного заочного политехнического института, 1973 г.
РАЗДЕЛ I
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
ГЛАВА 1
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
1.1. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
В этой главе изучаются основы теории матриц и тесно связанной с ней теории определителей.
Возникшие из потребностей исследования и решения систем уравнений первой степени, матрицы и определители очень скоро нашли применение и в других областях математики и ее приложе ний. В настоящее время они превратились в самостоятельные раз делы математики, используемые как в самой математике, так и в ряде технических дисциплин, например, теоретической электро технике, оптике и др.
Мы ограничимся, в основном, применением матриц и определи телей к вопросам исследования и решения систем уравнений пер вой степени, имеющих важное значение во многих разделах мате матики, и, в частности, в геометрических исследованиях.
Матрицей называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, состоящей из определенного числа строк и опреде ленного числа столбцов и рассматриваемой как единое целое. Мат рица, состоящая из п строк и m столбцов, записывается так:
а и |
а \ і |
• |
• |
• |
altn |
|
аИ |
а22 |
• |
• |
• |
а2т |
/1 14 |
Числа аік, составляющие матрицу, называются э л е м е н т а м и матрицы. Для удобства записи элементы матрицы обозначаются
одной буквой с двумя индексами: і и k; первый указывает |
номер |
|||||
строки, а второй — номер |
столбца, на пересечении которых на |
|||||
ходится |
данный |
элемент. |
При этом |
строки нумеруются |
сверху |
|
вниз, |
а |
столбцы — слева |
направо.* |
|
|
|
* |
Индексы i n k |
принято |
не разделять, однако читать нужно |
каждый |
||
индекс отдельно. Например, элемент а32 |
следует читать ta три два», а не |
|||||
«а тридцать два». |
|
|
|
|
3
Часто матрица А записывается в виде |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
••А\\а1к\\{і=\, |
|
2, |
|
п; |
k=\, |
2, |
, |
m). |
|
|
|
|||||
Матрица, |
имеющая |
п |
строк |
и |
m |
столбцов, называется |
п р я |
|||||||||||
м о у г о л ь н о й |
м а т р и ц е й |
р а з м е р а м |
X m |
(читается |
п |
на |
т). |
|||||||||||
В частности, |
если матрица |
А состоит |
из |
одного столбца |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
А = |
|
Û21 |
|
|
|
|
|
(1.2) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<71І |
|
|
|
|
|
|
|
|
т. е. имеет размер п х |
1, |
то она называется о д н о с т о л б ц о в о й |
||||||||||||||||
матрицей. Если |
матрица Л состоит |
из одной |
строки |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Л |
== \\а-,л |
а12 |
. . . al m || |
|
|
|
(1.3) |
||||||
т. е. имеет размер |
1 X m, |
|
то она |
называется |
о д н о с т р о ч н о й |
|||||||||||||
матрицей. |
Матрица, |
состоящая |
|
из |
одинакового числа п |
строк |
и |
|||||||||||
столбцов, |
т. е. |
матрица |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
П 1 |
"12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А == г 21 |
а |
2 2 |
|
|
|
|
|
|
(1.4) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
*л1 |
" п 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
размера |
пХп |
п |
называется |
к в а д р а т н о й |
матрицей. |
В |
этом |
|||||||||||
случае |
число |
называется |
|
п о р я д к о м |
матрицы. У |
квадратной |
||||||||||||
матрицы |
совокупность |
элементов |
а1Ъ |
|
а 2 2 , |
|
апп, |
расположен |
ных на диагонали, соединяющей левую верхнюю вершину мат рицы с правой нижней вершиной, называется г л а в н о й д и а г о н а л ь ю матрицы. Совокупность элементов, расположенных на
второй диагонали называется |
п о б о ч н о й |
д и а г о н а л ь ю . |
Матрица, состоящая из одного элемента |
а, отождествляется |
|
самим числом а |
|
|
I N I |
= а. |
(1.5) |
Элементы теории матриц будут рассмотрены в конце настоящей главы. Вначале займемся изучением важнейшей числовой харак теристики квадратной матрицы, называемой о п р е д е л и т е л е м матрицы, и применением определителей к исследованию и решению систем линейных уравнений.* В связи с этим остановимся еще на обозначениях и основных понятиях, принятых в теории та ких систем уравнений.
|
* |
Линейным уравнением принято называть уравнение первой степени |
||
относительно |
неизвестных. Происхождение такого наименования связано |
|||
с тем, |
что, как |
будет показано в дальнейшем (гл. 3), уравнению первой |
сте |
|
пени |
|
с двумя |
неизвестными геометрически соответствует на плоскости |
пря |
мая |
линия . |
|
|
4
Для удобства записи и исследования системы линейных урав нений, состоящей из п уравнений с m неизвестными, принято не известные обозначать одной буквой с соответствующими индек сами: хъ х2, . . . , хт; коэффициенты при неизвестных обозначать также одной буквой, но с двумя индексами, і и k, аналогично обо значению элементов матрицы, из которых первый — і указывает на номер уравнения в системе, второй — k на номер неизвестного;
наконец, свободные члены — одной буквой |
с индексом, |
указываю |
|||||||||||||||
щим на номер уравнения: Ьг, |
Ь2, |
. . . , Ьп. Разумеется, |
что уравне |
||||||||||||||
ния системы |
считаются перенумерованными |
сверху |
вниз. |
|
|||||||||||||
|
В общем случае система из п линейных уравнений с m неиз |
||||||||||||||||
вестными записывается в |
следующем |
виде: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
а11х1 |
+ а12х2 |
+ . . . + а1тхт |
|
= Ь1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
а21Х1 |
~\~ а22Х2 |
"~Ь |
• |
• • |
~f" а2тХт |
= |
^2 |
|
|
/1 |
fi\ |
||||
|
|
a n l X l + |
ап2Х2 |
+ |
|
• • • + |
аптХт |
|
— |
! |
|
|
|
||||
|
Матрица |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а11 |
а12 |
• |
• • |
alm |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
л |
a 2 1 |
a22 |
• • • |
a2m |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Il anl |
an2 |
• • • anm |
II |
|
|
|
|
|||||
составленная |
из коэффициентов |
aik |
при |
неизвестных |
xlt |
. . . , |
хт, |
||||||||||
называется м а т р и ц е й |
с и с т е м ы. |
Р е ш е н и е м |
системы |
ли |
|||||||||||||
нейных уравнений (1.6) называется такая совокупность m чисел |
сг, |
||||||||||||||||
с2, |
. . . , ст, |
что при |
замене |
неизвестных х1 |
|
на съ |
х2 |
на с 2 . . . , хт |
|||||||||
на ст все уравнения |
системы |
обращаются |
в |
тождества. |
|
|
|||||||||||
|
Система линейных |
уравнений |
называется |
с о в м е с т н о й , если |
|||||||||||||
она |
имеет хотя бы одно решение, |
и |
н е с о в м е с т н о й , |
если |
она |
||||||||||||
не имеет ни одного решения. Например, система |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2хг |
+ |
Зх2 |
= |
1, \ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1хх |
+ |
Зх2 |
= |
5 |
) |
|
|
|
|
|
|
несовместна, так как левые части уравнений совпадают, а правые
различны. Очевидно, |
никакая |
совокупность значений неизвестных |
|||
хх и х2 не может удовлетворить обоим |
уравнениям. |
если |
она |
||
Совместная система называется о п р е д е л е н н о й , |
|||||
имеет только одно решение, и |
н е о п р е д е л е н н о й , |
если |
ре |
||
шений больше чем одно. Две системы |
уравнений называются |
э к- |
|||
в и в а л е н т н ы м и , |
если все |
решения первой системы |
являются |
||
решениями второй и если все |
решения |
второй системы |
являются |
||
решениями первой. |
|
|
|
|
|
5
Мы ограничимся рассмотрением, главным образом, систем ли нейных уравнений, в которых число уравнений п равно числу не известных, т. е. систем вида
а 1 х Х 2 |
-г Û i 2 * 2 т • • • -г а\пхп — |
|
||||||
а 21-^1 |
~\~ а22Х2 |
~\~ |
• |
• |
• |
~f~ аіпХп |
" ^2 |
(17) |
anlXl |
~Ь апЧХ2 |
"Г |
• |
• |
• |
+ пппХп |
~~~ hfl' |
|
матрица которой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аіг |
|
а12 |
|
. . . |
аы |
|
|
л |
а 2 1 |
а 2 2 • • • а2п |
|
||||
|
|
| | а и 1 ап2 |
|
• • • апп II |
|
представляет собой квадратную матрицу я-го порядка. Применение определителей в теории систем линейных уравнений
позволило разработать метод исследования таких систем и способы их решения. С помощью определителей были получены условия, позволяющие по коэффициентам системы, устанавливать, является ли система совместной или несовместной, в случае совместности системы устанавливать ее определенность или неопределенность, и был найден способ вычисления всех решений совместной системы.
1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА. СИСТЕМА ДВУХ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Изучение теории определителей начнем с рассмотрения опреде
лителя второго |
порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
Определение. Определителем |
матрицы |
второго порядка |
|
|||||
|
|
|
&21 |
^22 |
|
|
|
|
(определителем |
второго |
порядка) |
называется |
число, равное |
разно |
|||
сти произведений |
элементов главной |
и побочной |
диагоналей, |
обозна |
||||
чаемое символом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
и |
|
а12 |
|
|
|
|
|
&21 |
^22 |
|
|
|
||
Таким образом, по |
определению |
|
|
|
||||
|
"11 |
"12 |
а і і а 2 2 |
аІХаіг. |
(1.8) |
|||
|
^21 |
^"22 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Для краткости записи определитель матрицы А обозначают од ной буквой, например D, или D (А).
6
Подчеркнем разницу между матрицей второго порядка и ее оп
ределителем. |
Матрица |
—• таблица |
чисел, рассматриваемых |
в оп |
ределенном порядке; |
определитель |
матрицы — число, получаемое |
||
по известному |
правилу |
по числам, |
составляющим матрицу. |
Разли |
чие между матрицей и ее определителем подчеркивается и в обо значениях.
Обратимся теперь к исследованию и решению системы двух ли нейных уравнений с двумя неизвестными при помощи определите
лей второго |
порядка. |
|
|
|
Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя |
неизвест |
|||
ными х1 и х 2 : |
|
|
|
|
|
І1Л1 |
' 2 2 A 2 |
|
(1.9) |
|
|
|
||
Матрица |
этой системы |
|
|
|
|
|
'11 |
"12 |
(1.10) |
|
|
21 |
2 2 |
|
является матрицей второго порядка. Определитель матрицы си стемы
|
|
а і г а 1 а |
|
называется |
определителем |
системы. |
|
Получим |
из системы |
(1.9) методом исключения другую сис |
|
тему, каждое уравнение |
которой будет содержать только одно |
||
неизвестное. Для этого умножим сначала |
обе части первого ура |
||
внения системы (1.9) на а 2 2 |
второго на — |
а 1 2 и сложим почленно |
полученные равенства; затем проделаем тоже самое, взяв в каче
стве множителей соответственно — а 2 1 и a i v |
В результате |
получим |
|||
(оцй 2 2 |
^21 ^ і г) %1 ~ |
^1^22 |
^2^12' |
(1.11) |
|
( о ц о 2 2 |
^21^12) -^2 ~ |
^11^2 |
û2 1 Ôj. |
|
|
В уравнениях системы (1.11) коэффициенты |
при неизвестных х1 |
||||
и х2 одинаковы и равны определителю системы |
(1.9). Что касается |
правых частей уравнений системы (1.11), то легко видеть, что они
тоже представляют собой |
определители второго порядка |
|
|||
^1^22 |
b^flll ~ |
Ь1 |
а 1 2 |
(1.12) |
|
Ь% 0 2 2 |
|||||
|
|
|
|||
аг1Ь2 |
— а21Ьг |
O l l |
*1 |
(1.13) |
|
а 2 1 |
Ьг |
||||
|
|
|
Правая часть первого уравнения системы (1.11), содержащего неизвестное xt является определителем матрицы, получающейся из матрицы (1.10) системы (1.9) заменой первого столбца, состоя-
7
щего из коэффициентов при неизвестном хх на столбец из свобод ных членов, а правая часть второго уравнения этой системы, со держащего неизвестное х2 является определителем матрицы, по лучающейся также из матрицы (1.10) заменой второго столбца, состоящего из коэффициентов при неизвестном х2 на столбец из свободных членов.
Если обозначить
" i l |
Û12 = |
D; |
bi |
|
flu |
bi |
(1.14) |
Û21 |
^22 |
|
b2 |
û 2 2 |
a t l |
b2 |
|
то система уравнений |
(1.11), запишется в виде |
|
|
||||
|
|
|
D-x1=D1, |
|
|
(1.15) |
|
|
|
|
D-x2 |
= |
D2. |
|
|
|
|
|
|
|
Система уравнений (1.9) и полученная из нее (1.15), вообще говоря
не эквивалентны. Однако имеет место следующая лемма. |
|
|||
Лемма. Всякое решение |
системы |
(1.9) является |
также |
реше |
нием системы (1.15). |
Пусть числа с1 и с2 |
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
являются ка- |
|||
ким-либо решением системы |
(1.9). Подставляя эти |
числа |
вместо |
|
неизвестных в систему (1.9), получим два тождества: |
|
|
||
а11с1 |
+ а12с2 e s Ьх, |
|
(1.16) |
|
|
|
|
|
|
а 2 1 С 1 ~Г а22С2 — |
Ь2. |
|
|
Известно, что тождество остается тождеством при умножении обеих его частей на одно и то же число и что почленное сложение тождеств дает также тождество. Поэтому, если с тождествами (1.16) произвести те же преобразования, которые были выполнены с си стемой уравнений (1.9) для вывода системы (1.15), то получим тож дества
D-c1 = D1, D-c2 = D2.
Эти равенства и показывают, что числа сг и с2 являются реше нием системы (1.15). Таким образом, все решения системы (1.9) находятся среди решений системы (1.15). В частности, если система (1.15) имеет только одно решение, то оно может быть лишь единст венным решением системы (1.9), и если система (1.15) не имеет ре шений, то система (1.9) и подавно не имеет решений.
Приступим теперь к исследованию системы уравнений (1.9) Возможны два случая: либо определитель D системы отличен от нуля, либо он равен нулю. Рассмотрим каждый из них в отдель ности:
1. D Ф 0. В этом случае система уравнений (1.15) имеет единст венное решение
*і = § - ; *2 = | - 2 |
(1-17) |
8
и, следовательно, по лемме, система уравнений (1.9) либо имеет только одно решение, именно (1.17), либо не имеет решений.
Покажем, что значения неизвестных по формулам (1.17) яв ляются решением системы (1.9). Подставляя эти значения в первое уравнение системы (1.9), получим
в ц ^ + ^12^- = -^- ton (М22 — М12) + |
а 1 а |
(ацЬг |
— а2 1 Ьх ) 1 = |
|
= - 5 - ( в ц М г г — ai 1M12 + |
аігОцбг — ахга^Ьх) |
= |
||
= -jf fei ( û l l û j ! — O l 2 Û 2 l ) |
= " j j " |
felD |
= Öl- |
|
Аналогично убеждаемся в том, что и второе уравнение системы (1.9) удовлетворяется этими же значениями неизвестных. Таким образом, при D ф 0 система (1.9) совместна и имеет единственное решение. (Система определенна.) Это решение при помощи опреде лителей может быть записано в виде
fei Û12 |
|
|
|
fei fl22 - . |
A'.) — - Ö2i fe2 |
\ — / |
|
a l l Ö12 |
ß l l |
û12 |
|
Û21 ^22 |
^21 |
^22 |
|
Полученный результат является частным случаем теоремы, или правила Крамера применительно к системе двух линейных урав
нений с двумя неизвестными.* |
Если определитель |
системы |
двух |
|||||
линейных уравнений с |
двумя неизвестными отличен |
от |
нуля, |
то |
||||
система совместна и имеет единственное решение {система |
опреде |
|||||||
ленна). |
В этом решении |
каждое из неизвестных хг и х2 |
равно |
дроби, |
||||
знаменателем которой |
является |
определитель |
системы, |
а |
числи |
|||
телем |
— определитель |
матрицы, |
получающейся |
из |
матрицы |
си |
стемы заменой столбца |
из коэффициентов при |
определяемом |
неиз |
||
вестном на столбец |
из |
свободных членов. |
|
|
|
2. D = 0. Обращаемся к определителям Dt |
и |
D2. |
|
||
1) Хотя бы один |
из определителей D± или |
£>2 |
отличен от |
нуля. |
В этом случае система (1.15) несовместна, так как одно из ее урав нений (именно то, у которого правая часть не равна нулю) не может быть удовлетворено никаким значением неизвестного. Следова тельно, по лемме и система (1.9) не совместна.
2) Оба определителя Dx и D 2 равны нулю. Покажем, что в этом случае система (1.9) эквивалентна одному из ее уравнений, напри
мер, |
первому |
|
|
|
011*1 + й12*2 = |
fei. |
(1-19) |
* |
См. § 1.8. - |
|
|
9