книги из ГПНТБ / Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие

удобно применять для дифференцирования

степенно-показательных

функций

вида

у=

и (х

) 0 ( А ' ) , а

также

функций,

являющихся ча­

стным

произведений других

функций.

4.

у =

х5х~;

In у = 5Л:2 In х;

—

• у' = \0х

In х - f 5.v2

X

— ,

У

х

откуда

у' =

у (Юх In х +

5А-) =

5х5х'+[

(2 In х + 1 ) .

5.

у =

(sin х)х,

In у =

х In sin х;

— • < / ' =

In sin .v +

л,- X

1

«/

X

cos x,

откуда у'

=

(sin x)x

(In sin A: -4- x ctg я)/

sin д;

3 ,

y=

{X""+.

l )

l

A l

+ 2

X

; In у =

In (.vs +

1) +

—

ln(l +2*)

— ln.v —

A: V(*2

— I ) 3

3

—

In (д.-2— 1);

—-•</

=

-2A-H

2

X

4

У

x2 + 1

3

1 + 2 *

*

4

X -

!

_

* ,

откуда

= ( ^ + 1 ) У 1 + Я «

x

* 2

—

1

A: V (A"2

— I ) 3

.

2.v

.

2

I

3A:

X *2 -f- 1

3(1+2A.-)

x

2 (x2 —1)

1.17. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть даны две взаимно обратные

функции: у — f (х)

и х =

— Ф (У) ( Т А М

Ж Е > С Т Р - 129).

f (х) и х =

ср (у) возрастают (или

Теорема.

Если

функции у =

убывают)

и

в

точке х

функция

f (х)

дифференцируема,

причем

f (х) =р 0,

то

в

соответствующей

точке

у

функция

ср (у)

тооюе

дифференцируема

(по у),

причем

¥(У)

= ~7^г-

(1-32)

/ (*)

или

—

= — ! — .

(1.33)

dy

dy

dx

Коротко: числовые значения

производных

взаимно

обратных

функ­

ций

взаимно

обратны.

переменной у приращения

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Придадим

Ау

=j= 0.

Так

как

функция

х =

ср (у)

возрастает

(или

убывает),

то

Ах = ц>(у-{-Aw) — ф (y)=jLQ

и

=

- .

Функция

Г = Ф ( У )

пользуясь предыдущим равенством,

находим

i i . \ 1 •

А*

1

1

ду - о

Д(/

L I M

_ Д ^

Г (*)•

ДА--о ДА-'

/

• w

1

1

1

1

(arc sin х)'—

=

• =

.

- =

г

.

(sin у)'

c o s У

± У1 — sin2 у

±

У1 — л.-2

Областью

изменения

функции

у = arc sin х является

интервал

'

~ -

1н а

котором cos г/!>0; следовательно, перед

квадрат­

(arc tg х)' = —-— = cos2 У-

l+tg-y

(tgy)'

или

(arctgx)' = - L -

(1.36)

1 + X

Аналогично получается

(arcctg*)' = - — L

-

(1.37)

1 +

х-

Примеры.

1.

у = х3 arc sin-л:; у' — (х3) arc sin х + х3 (arc sin х)' —

= 3.t2 arc sin x + • У

х3

1 - х 2

*

2.

у = arc tg Ух.

Положим

у = arctg и,

и = ]/Зё. Тогда

У =

U =

{У X) =

• 7=-

1 + u2

1 + х

1 + х 2У х

(составить для них таблицы).

Так появились

функции: г и п е р ­

б о л и ч е с к и й

с и н у с

(sh я), г и п е р б

о л и ч е с к и й

к о с и н у с (спя),

г и п е р б о л и ч е с к и й

т

а н г е н с (thjc)

Рис. 7

и г и п е р б о л и ч е с к и й

к о т а н г е н с (cth x), которые

определяются соотношениями:

shx= •

ch х = ех + е-

sh х

(1-38)

thx--

cth х--

ch x

c h *

sh*

c h 2 * — s h 2 x = l ;

(1.39)

sh(*+#) = shx-ctrj/ + ch,x:-sh у,

(1-40)

ch(x + y) — chx-chy + sh*-shz/.

(1.41)

(sh *)' = y

(е*—е-*)' =-L(ex

+ е~х) = ch х;

(ch*)' =±.(е?

+ е-*)' = - i -

(в*— е-*) = sh x;

Примеры.

1.

y — ^/lcchx;

у' =

( V * )

ch * - ( - ? / *

(ch * ) ' =

1

з

-

З1

3 / * 2

ch * +

у х

- sh *.

V

2.

у = (th * ) 3 . Положим

у =

и3, и =

th *.

Тогда

4/' =

Зи2 - и'

= 3 (th я)2 - (th *)'

= 3 (th * ) 2

c h 2 *

иметь

производную.

Эту производную

называют

п р о и з в о д ­

н о й в т о р о г о

п о р я д к а ,

или

в т о р о й

п р о и з в о д ­

н о й

от функции у

— f (х) и обозначают одним из символов: у " ,

Производную от второй производной называют третьей произ­

водной от функции

у = f (х) и

обозначают у " , f"

(х), г/(3), /( 3 ) (х).

ним из символов: у {

п

\ fn)

(х).

Иногда,

указывая

переменную, по

которой берется производная, пишут у"хх,

у х х х

и т. д.

Пример

1. у

= 4*3

+

2* —

1,

у'

= .12*2

+ 2;

у" =

24*.

у'"

=

24;

уМ = у& = . . . = о.

_

Вообще для многочлена n-й степени все производные, начиная с (л +

1)-го

порядка, равны

нулю.

4

_

„

ах

i .

ах

I /

2 ах

^

i „ \

п

ах

Пример

2. у

= е ;

у =

ае

;

у

= а е

и вообще

ууп> =

а е .

Дифференциал функции y = f(x),

где

х

— независимая

пере­

менная,, определяется формулой dy =

/'

(х)

dx,

где

dx

— Ах —

произвольное приращение

аргумента

х.

Зафиксируем

dx;

тогда

dy

будет функцией от х. Дифференциал от этой функции называют

д и ф ф е р е н ц и а л о м

в т о р о г о

п о р я д к а ,

или

в т о ­

р ы м д и ф ф е р е н ц и а л о м

функции

у

=

f (х) и

обозначают

d2y

или

d2f (х). Поскольку

dx зафиксирован

(постоянен),

то

d2y

= d (dy) = d If

(x) dx]

=

[/'

(*) dx-}'dx = f" (x)

dx2.

Дифференциал от d2y

называют

т р е т ь и м

д и ф ' ф е р е н -

ц и а л о м

функции

и

обозначают

одним из символов: d3y или

d3f (х). Имеем

dhj =

d

(d2y) = d

[f

(x) dx2}

=

[/"

(x) dx2]'

dx

= f

(x)

dx3.

i

Аналогично определяются дифференциалы четвертого, пятого

порядков и т. д. Вообще дифференциалов

/г-го порядка функции

у — f (х)

называется

величина,

которая

обозначается

и

опреде­

ляется в соответствии с равенством dny

=

d {dn~~ly).

Пользуясь методом математической индукции, легко доказать,

что

dny

= fn)

[x)dxn.

(1.42)

независимой переменной.

Если имеется сложная функция у = / (и),

и = ср (х), то

dx = f'(u)du,

(1.43)

/ 1 П ) ( Х ) 1 = = Ц -

( Ь 4 4 )

циала независимой

переменной.

>

Выражение

часто применяют для

обозначения производ­

* = ф ( 0 , # = W

(1-45)

y = -ty[g(x)\ =

f(x).

(1.46)

Таким

образом,

в

результате исключения переменной t из

двух

равенств

(1.45)

мы пришли к функциональной

зависимости

переменной

у

от

переменной

х.

Итак,

задание двух

равенств

(1.45)

равносильно

заданию

функциональной

зависимости

у

от х. Это же видно из самих

равенств

(1.45);

действительно,

для

каждого

значения

t

(из

упомянутой

выше области)

из

системы (1.45)

находится

пара

значений

х

и у,

которые и при­

нимаются

соответствующими

Рис. 8

друг

другу.

Задание функциональной зависимости между переменными х

иг/с помощью двух равенств (1.45) называется

п а р а м е т р и ч е ­

с к и м с п о с о б о м

задания этой функциональной

зависимости.

Независимая

переменная

t называется

п а р а м е т р о м .

Графиком

функциональной

зависимости

(1.46) или .(1.45) яв­

ляется в декартовой системе координат хОу некоторая линия I .

Равенства

(1.45)

называются

п а р а м е т р и ч е с к и м и урав­

линии

на плоскости

это два равенства, выражающие координаты

х и у

произвольной

точки этой линии через произвольно выбран­

координат

хОу точки (х1г уг)

(х2, у2), . . . , (хп,

уп) и провести

через них

плавную кривую.

Эта кривая и будет (приближенно)

линией I (рис. 8). Исключив

из уравнений (1.45)

параметр t, при­

дем к уравнению линии / в обычной форме (1.46).

чале координат

(рис. 9). Пусть М (х, у) — ее произвольная точка.

За параметр t

примем угол, составленный радиус-вектором ОМ

равенств параметр t (для чего возводим

их в квадрат

и почленно

складываем),

получаем

уравнение

рассматриваемой

окружности

в обычной

форме:

или

хг + у2 = R2 (cos2* +

sin2 0

х* _|_ у* =

R*.

Эллипс

и

гипербола.

Рассмотрим

уравнения х =

a cos t,

у =

= Ь sin t и выясним, какую кривую они выражают. Функции

cos t

раметр

t: —

= cos t;

-^- = sinf,

откуда -^- +

- ^ - = 1 .

Мы

при­

шли к

уравнению эллипса, поэтому данные уравнения являются

параметрическими уравнениями эллипса.

Рассмотрим теперь

уравнения

х = a ch t,

у — b sh t.

Исполь­

зуя соотошение (1.39), исключим из них параметр t:

— = cht,

— = sht,

а

ь

х2

и2

откуда

— = 1 .

J

а2

ь2

Мы

пришли к уравнению гиперболы; поэтому исходные

урав­

скольжения по неподвижной

прямой. Пусть окружность радиуса

а катится по оси Ох (рис.

10). Будем рассматривать циклоиду,

Рис. 9

Рис. ю

* = Ф(*).~0 = 11>(О-

(1-47)

Производную

от у

по х можно вычислить, пользуясь только

параметрическими уравнениями

(1.47) и не представляя эту функ­

циональную зависимость в явной форме (1.46).

Теорема. Если

в некотором

промежутке

изменения

t

функция

х = ф (t) возрастает

(убывает),

функции х — ф (t)

и

у = г|з (t)

дифференцируемы,

причем ф' (t) Ф 0, то

на соответствующем

промежутке

изменения

х переменная у будет

однозначной

и диффе­

ренцируемой

функцией

от х; при

этом

, ; = £ i 2 . = J i ,

( 1 . 4 8 )

1

ф (0

xt

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Поскольку

функция

х = cp (t) воз­

растает или убывает в рассматриваемом

промежутке

изменения t,

то она допускает

однозначную

и дифференцируемую

[в силу ус­

ловия ф' (/) =£ 0]

обратную

функцию

t = g (х), причем

в силу

(1.32) g' (х) = г 1

. Учитывая это, на основании теоремы о диффе­

ренцировании сложной функции находим производную

от у =

="Ч>

lg(x))

= f (х):

y'x=V(t).g'

W =

-

^ | ,

что и требовалось

доказать.

Вторая

производная у" есть

производная

по х от у'х.

Приме-

(y'Y

няя

формулу (1.48) не к у ,

а к

у ' х , получим ухл = - L - V - •

Продол-

xt

жая

эти действия,

можно

найти

производную

любого

порядка от

у по X.

Пример

1. Вычислить ук

и ухх,

если х =

2 cos t,

у = 4 sin

Имеем

Пример 2. Вычислить yx

и г/л^, если

х =

a (t

— sin i), у = а (1 —

— cos t).

Имеем

Ut

a sin t

,

t

Ух = — =

—г.

Г =

c t S - 7 - .

х,

а (1 — cos

2

a (1 — cos t)

4a

1.24. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ

ФУНКЦИЙ

Пусть будет дано уравнение

вида

F(x,y)

= 0,

(1.49)

связывающее переменные л: и у

и не разрешенное относительно у .

ческое

п р а в и л о :

чтобы найти

производную

от неявной функ­

ции у

аргумента х,

заданной

уравнением (1.49),

дифференцируем

по х обе части этого равенства,

считая у функцией

от х

(определяе­

мой этим равенством). Из полученного после

дифференцирования

равенства алгебраически определяем

искомую производную

у'.

Пример 1.

Найти производную неявной функции у, заданной уравнением

Х 2 _j_ у%= ^

(уравнение окружности).

Так как у

есть функция от х (определяемая этим уравнением), то второй

член слева в данном уравнении является сложной

функцией от х. Диффе­

ренцируем по х обе части равенства, причем член

у2

дифференцируем как

сложную функцию: 2х + 2у-у' = 0, откуда имеем у' =

. Данное урав»

У

цируемые

явные функции;

у =

+ У R2

— х2

и у =

— УR2

— х2

(верхняя

и нижняя

полуокружности).

Отсюда,

соответственно,

' _

— *

_

'_

— У

х

У

~ +

УЯ^х2

~

~ ~~У~' У

~ — yw=x*

~

~~У~

'

что совпадает с найденным выше результатом.

Пример 2.

Пусть неявная функция у определяется уравнением

х3

+

ху2 — sin 2у =

О

Дифференцируем

по х обе его части

ЗА:2 + у2

+

х-2уу'

— cos 2у-2у' =

О,

откуда

Зл:3 +

У2

У

~

—

.

2 cos 2у — 2ху