книги из ГПНТБ / Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие

3.4. МЕТОД ИТЕРАЦИЙ

Рассмотрим уравнение

.

/(х) = 0.

•

(3.8)

Если записать его в форме

х = у{х)

(3.9)

Подставив в правую

часть

уравнения (3.9)

число

х0,

найдем

Х\

= Ф (х0);

далее х2

=

ср (хг),

ха

= ср (х2 ), . . . , хп

=

ср (*„_,)

до тех пор, пока в пределах принятой точности не будет хп

^

xn+i.

Выясним

условия,

при которых

последовательность

[хп]

= хх,

хг,

. . . , хп,

. . . стремится к корню х уравнения

(3.9), или при ко­

жим, что функция

ф (х) дифференцируема в интервале изоляции

корня. Если х0 и хг

— соответственно нулевое и первое приближе­

ния корня х, то х =

ф (х), х± — ф (х0). Вычитая из первого равен-

мулу (2.5) конечных приращений Лагранжа, найдем

х—х1 = ф {х) — ц> (х„) =

(х—х0)

ср' (с,,),

(3.10)

где.с0 — число, лежащее

между х и

х0.

Аналогично,

х—х2=

(х—хх)

ф'

(сг),

х—х3

= (х—х2)

ф' (с2 ),

(3.11)

* - * n

= ( * - * ^ - i ) 4 > ' ( c » - i ) '

j

где xz, х3,

. . . , х

— приближенные значения корня х, а сг,

с2 , . . .

C_i —числа, лежащие

соответственно

внутри

интервалов

[х, хг\,

[х, х 2 ] ,

. . . , [х,

хп_1].

Перемножая

почленно равенства (3.10)

и (3.11),

получим

х—хп

= (х-х0)-<р'

(с„) .ф'(С 1 ) • • - Ф ' ^ ) : ,

\imxn

— x.

Мы приходим к

следующему.

Теорема. Если интервал

[а,

Ь] содержит

только

один

корень

уравнения

х =

ср (х)

и

если

производная функции ср (х) во всех точ­

ках интервала

[а,

Ь]

не

превышает по модулю некоторое число

т < / , то итерационный

процесс сходится к

корню

х, причем

за

начальное

приближение

корня можно принять

любое

число

из

ин­

тервала

[а, Ь].

а)

б)

X-f(x)-\-x,

= x.

Обозначая

%-f(x)-\-,x

= q>(x),

приводят

уравнение

(3.8)

к

форме (3.9). Параметр' X подбирают

так, чтобы

величина

ср' (х)

=

= %-f (х) +

1 была по модулю меньше единицы.

Сущность

метода может

быть интерпретирована геометрически.

димости; на рис. 45, а представлен случай ср' (х) >

0 (приближение

по схеме «лестница»), а на

рис. 45, б — случай ср' (х) <

0

(прибли­

жение по схеме «спираль»).

Пример. Найти

методом

итерации

действительный

корень-

уравнения

Xs1

— 2х +

0,5 =

0.

,

За нулевое приближение корня

примем

число х0 =

0,25.

Решим

урав-

нение относительно

х3

+ 0,5

.

• .

х* +

•

0,5

•

х ; х — — • — — ;

тогда будет q> (я) =

= 0.253 +

0,5

0.0156 + 0,5 =

2

*

2

^ =

0.25783 +

0,5

^

0.01713 +

0,5

^ 0 > 2 5 g 6

2

2

х з =

0.25863 +

0,5

^

0.01735 +

0,5

м >

2

2

Предположим, что на некотором интервале

[a, b ] задана

функ­

ция у — f (х). Требуется

построить

такой

многочлен

у = Рп (х)

заданной степени л,

который

в некоторых

заданных

точках

х0,

хп имел бы значения,

совпадающие со значениями

функ­

ции / (х).

Задачу построения многочлена Рп (х), удовлетворяющего

ука­

занным

требованиям,

называют задачей

и н т е р п о л и р о в а ­

н и я .

х0, xlt

. . . ,

хп—\, хп,

Итак, пусть в л + 1 точках

называемых

у з л а м и

и н т е р п о л и р о в а н и я ,

известны

значения

функции у = f (х):

Уо = ?[хо)'

< / i = / ( * i ) >

• • •

• yn-i

= f{xn-^

yn =

f{xn)-

Требуется

построить

и н т е р п о л я ц и о н н ы й

м н о г о ­

ч л е н

степени

л

Рп(х)=а^

+ а ^

+ . . . +dn_lX

+ an

(3.12)

такой,

чтобы

в

узлах интерполирования

значения

функции

/ (л;)

и многочлена Рп

(х) совпадали, т. е. имели бы место л + 1 равенств:

г/о = /(^о) = ^„ (Хо), )

yi = f(xi) = Pn

(*i),

(3.13)

Р,г (X) = А0

(х—Хх)

(Х — Х2) (Х — Х3)

• • • (Х — Хп)

+

+ Ах (х—х0 ) (х—*х2)

(х—х3 )

• • • (х—хп)

+

+ А2 (х—х0 ) (х—хг)

(х—х3 )

• • • (х—х„)

+

+

+

+ А п

(*-*о)

• • • (* - *„ - • )

•

(3-Й)

Коэффициенты

А0,

Alt

А2, . . .

, Ап найдем из условий

(3.13).

у0 = А0(х0—х1)

(х0 —х2 ) (х0 —х3 ) • • • (х0 —х„),

откуда

(л'о — xi)

(хо — хй) (хо — ^'з)

• • • (хо — хп)

Подставив в (3.14) вместо х число хх,

получим:

г/i = Ах {хх—х0)

(хх—Хо) (хх —х3 )

• • •

(х х — х п ),

откуда

Ах

=

1-

ух.

Аналогично

(х1 — Х0)

(х1 — Х2 ) (*! — Л.-3)

• , • (ХХ

— Хп)

могут быть определены

и остальные коэффициенты

"

(хп-хо)

(хп-хг)

(хп~хд

• • ( х п - * « - • )

У"'

Подставив найденные значения А0,

Аг,

. . . , Ап

в (3.14), полу­

чим и н т е р п о л я ц и о н н ы й м н о г о ч л е н

Л а г р а н ж а

р { х ) =

(х

~

* i ) (х

~

-v2) (* ~ хэ)

- • • (л— хп)

у о

+

(х0

— ж,) (х0

— х2) (х0 — х3)

••• (х0 — хп)

|

(х — х0) (х — х2) (х — х3)

•••

(х —

Хп)

^

д

(Х1 — Х0)

(хх

Х2 ) (Хд — х3)

• • • (х1

— хп)

|

(* -

* 0 ) (* -

*l) (Х

-

* 8 )

(Х~

Xn-l)

( 3

(хп -

Хо)(Хп

-

Xl)

(Хп

-

Х2)

• • • (*„

-

Подчеркнем, что в общем случае узлы

интерполирования рас­

+

положены на

интервале

[а,

Ъ ]

произвольно. В частном случае ве­

личина хм-1 — Х[ (i

= 0,

1, 2, . . . , я — 1) может

быть постоянной,

т. е. узлы могут быть расположены в равноотстоящих точках.

Некоторые частные случаи формулы Лагранжа:

1) п — 1 — формула

линейной

интерполяции:

Pi(x) = y = ^ z

^ y a

+ ^ : : ^ y i ;

(3.16)

Х'о — Xi

Xi — XQ

2) п — 2—формула квадратичной

интерполяции:

Р2(х)=у-

(х — xt ) (х — х2 )

(х — А-„) (х — х2)

(х0 — xx ) (х0 • - х 2 )

(хг — л-„) (хг — х2 )

Hz-

(3.17)

(."^2 — # п ) (Х% — Х^)

Геометрически равенство (3.16) может быть

истолковано

как

уравнение прямой линии, проходящей через точки (х0, у0) и {хх,

уг),

проходящей через три точки: (х0,

у0), {xlt

уг),

(х2 ,

у2).

Пример 1. Написать многочлен первой степени, который в точках с абс­

циссами х0 = 0 и х1

= 2 был бы соответственно равен 3

и 11.

Воспользуемся

формулой

(3.16):

У-

-•3-

'

х — О • 11 или

у =

4х +

3.

0—2

2—0

Пример 2. Функция ft (х) задана

таблицей

X

0

2

3

/ (*)

5

13

68

у

( х - 2 ) ( х - 3 ) 5 ,

( х - 0 ) ( х - 3 )

1 3

|

( х - 0 ) ( х - 2 )

•68

( 0 - 2 ) ( 0 - 3 )

( 2 - 0 ) ( 2 - 3 )

( 3 - 0 ) ( 3 - 2 )

= 17х2 — 30* +

5.

Пример 3. На промежутке [0, 3]

задана функция ft (х) = З* — 2х + 4.

Найти

многочлен Лагранжа

третьей

степени,

значения которого в точках

мощью интерполяционного

многочлена

вычислить

значения ft (0,5); ft (1,5),

JS (2,5).

Составим таблицу

X

0

1

2

3

/(*)

5

5

9

25

по данным которой вычислим интерполяционный

многочлен:

( * - 1 ) ( * - 2 ) ( х - 3 )

( * - 0 ) ( * - 2 ) ( * - 3 )

•5-

" ( 0 - 1 ) ( 0 - 2 ) ( 0 - 3 )

( 1 - 0 ) (1 -2) ( 1 - 3 )

(х — 0) (х— 1) (х — 3)

( х - 0 ) ( х -

1 ) ( * - 2 )

25.

' ( 2 - 0 ) ( 2 - 1 ) ( 2 - 3 ) '

( 3 - 0 ) ( 3 - 1) ( 3 - 2 )

f{x0) = u0, f{x^ — t/i, f{x2)

= y2, . . . , f(xn)

= un.

Числа

Уг — Уо = Д#>.

Уг—Ух

= Д # 1 .

Уз — Уг = Д # 2 .

* / „ _ , — # „ _ 2 = 4 , - 2 ,

УП—&-1

=АУп-1

называются р а з н о с т я м и ' п е р в о г о

п о р я_д к а

функции

/ (х). Разности разностей первого

порядка

называются

р а з н о ­

с т я м и в т о р о г о

п о р я д к а

функции / (х):

А2у0 =

Дг/i — Ау0

= у2 — tyi + i/o.

A 2 #i =

Ау% — Ауг

= ys — 2г/2 +

Уи

А 2 г/„ _ 2 - Д у „ _ , - Дг/„_2

= УП~2УП-,

+

Уп-Г

A V i = A i _ V 1 - A J " V . - i ( » = 1 , 2, 3, ... . ,

n-k+1)

Разности удобно

записывать

в виде табл. 1.

•

Т а б л и ц а !

У1

АУс

. А 2 Л

Л3<У<

Л4 !//

A5 №

Уо

Ау0

У1

А2Уо

Л3</о

Уг

A2i7i

Д4 (/°

A<V

A

i7i

Уз

2

Л2<72

3

ЬУз

Л3<72

' У4

А2Уз

А<74

Уо

Полезно иметь в виду формулы, выражающие разности через

значения функции (табл. 2).

Т а б л и ц а

2

У

АУ

А2у

Д3<7

A*iV

Уо

У1 — У0

22/1 +

Уо

iVi

Уг -

Уз — 3<v2 + 3(/х

— iVo

У2 — У1

+

6f/ 2 -

2

Уз

2

1/4— 4t/

3

4ft-

i iVo

iV

2<Y -f Ух

£74 —3i7 3 H - 3i/

Уз —У2

2 - iVl

+ 61/3 — 4г/,

Уз

£V*— 2г/3

+

Уо

г/5 — 3i74 + 3i73

— 4(/4

!-i7l

'Л —Уз

+ Уз

- Уг

У4.

Уъ— 2iV4

Уъ — У\

Уъ

Пример. В табл.

3

даны

разности

функции f (х) = х4—

2* + 4 для

значений,

равных 0,

1,

2,

3,

4, 5,

6, 7,

8.

I

Т а б л и ц а

3

X

£7

AiV

А2</

А3<7

A4i7

Аьу

более удобную для вычислений, чем формула

Лагранжа.

Пусть в равноотстоящих точках

х0 ,

хх,

х 2 ,

- • • • хп

— узлах

интерполяции — известны

значения

функции

/(х):

у0

= f (х0 ),

Ух = f (xi), • • - .

yn = f (*„)• Величину

xi+l

—

х,- =

h (i

= 0, 1,

2, . . . , n — 1)

назовем

ш а г о м

и н т е р п о л и р о в а н и я .

Построим многочлен Рп

(х) степени п такой, чтобы выполнялись

Рп

(х) = А0 + Ах (х—х0 ) + Л 2

(х—х0 ) (х—хх)

+

+ А3(х—х0)(х—хх)(х—х2)+

• . -

+

+ А . { х - х о )

{ х ~ х 2 )

• • •

( З Л 8 )

Коэффициенты

А0,

Ах,

. . . ,

Ап

этого

многочлена найдем

из

условий (3.13). Используя эти условия

и подставив в (3.18) х

=

х0,

найдем А0 =

у0.

Подставив в (3.18) х =

хх,

получим

Ух = Ао + Ах (хх

— х0) = у0

+ Ах

(хх — х0),

откуда, вводя

разности функции / (х), найдем

Л

—Уо

—Ух — Уо _ А

^ о

1

* i —*о

h

V.k

Аналогично, при х = х 2

получим

у2 = А0

+ Ах

(х2 — х0 ) + An (х2 — х0 ) (х2 — хх);

Ух—Уy

о

+

A„-2h

2

,

у, = у0 + ^— -°-.2h

У2=УоТ

h

откуда

д

_ . У% — ЗУх +

Уо

А 2 у 0

2/г2

2!/г2

Продолжая

вычисления, легко показать, что

( £ = 1 , 2, . . . , п).

Подставив

вычисленные

коэффициенты

А0,

Ах,

. . . , Ап

в

ра­

венство (3.18),

найдем

р (х)

=

и

\ х

~ хв

АУ°

I ( * ~ х о )

(*~ *i)

А"Уо

|

,

(А: — .-с0) (A-- — -vj (А; —

АГ2)

Д3у0

•

ч

/г3

.

31

•

( ,v -

_

(д; _ , V i

) ( я -

. . .

(,у

-

X n _ ! )

Д Д у |

)

(3.19)

A"

'

n!

Этот

многочлен

называется

и н т е р п о л я ц и о н н ы м

м н о г о ч л е н о м

Н ь ю т о н а .

Формуле (3.19) можно придать другой, более удобный вид.

Обозначим

х

~ ft° — и; тогда

х

х

~ х

°

* ——

Х — Х^(Х-Х0

_

^

=

Ц ( Ц _ 1 ) ;

ft

Л

h

\

h

X —

XQ

X —

X^

X — .Vg

X —

XQ

(

X

—

XQ

ft

A

A

h

\

h

x

/

x —

x0 _ 2 \

= U (u —

l)(u — 2).

X — XQ

X X1

* — Л н — 1

X — XQ I X — XQ

1 . . .

X

ft

'

ft

ft

~

ft

\

ft

Х ( * 7 * °

— n + l j = u(H—1)(ц—2)

•••

( и — л + 1 ) .

В новых обозначениях интерполяционный многочлен Ньютона

принимает

вид

Рп (х) = у0

+ UAt/o +

и - ^ -

AhJo

+

" ( " - O C - g ) 'А з У о

+

+

. . .

+

» ( » - 1 H » - 2

> - - - ( " - B

+ 1> Д У .

(3.20)

л!

дить

все вычисления

заново'.

Частные случаи формулы

Ньютона:

1)

при

п =

1 имеем

формулу

линейной

интерполяции:

Pi{x)

= y = y0+

Х

, Х"

АУо

или у = у0

+ иАу0;

-

ft

2)

при

л =

2 имеем

формулу

квадратичной

интерполяции:

р

/ и _ _ „ _ „

I

х— хо

А ^о

| (х — х0)(х

— х1) А2 у„

или

, .

.

и (и — 1)

.о

у = у0

+ иАу0

+

А-у0.

X

У

Д</

Д3</

0

5

0

1

5

4

4

8

2

9

12

, 16

3

25

Шаг интерполирования

А = 1.

Используя данные этой таблицы, соста­

вим интерполяционный

многочлен

(3.19):

y = , s +

£ = ° . - g - +

fr-OH*-1)

. J L +

I

II

l 2

21

, (л — 0 ) ( л — 1 )

(я —2)

_8_

l 3

'

3!

или

4

2

и = —x3 —,2.v2 -!

x + 5.

3

3

X

У

Ьу

А"У

Д3г/

1,2

1,5095

1,3

0,1889

1,6984

0,0170

0,2059

0,0021

1,9043

0,0191

0,2250

1,5

2,1293

Вычислить sh 1,25. В нашем случае h = 0,1;

и =

—'•

-— =0,5;

следовательно, по формуле (3.20) находим:

0,1

sh 1,25 =

1,5095 +

0,5 0,1889 + 0 ,

5 ( ° ' 5 ~

! )

-0,0170

+

2!

0,6(0,5 - 1) (0,5 - 2 )

, 0

| 0 0 2 1 =

1

> 6 0

1 9 .

3!

-

Табличное значение

функции

sh 1,25 =

1,6019.