Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

6.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

величина	s	стремится		к	конечному пределу		s,	не зависящему от
способа выбора точек				Mk,	то	кривая АВ называется с п р я м
л я е м о й ,		а число s		называется д л и н о й				этой кривой.
Пусть	плоская		кривая		АВ	(рис. 36) задана		параметрическими
уравнениями			* = ф(0 . # =					(2-27)

где функции		ф (i)	и g	(t)	имеют непрерывные		производные, не об

ращающиеся одновременно в нуль, и допустим, что при t = а по лучается точка А, при t = р — точка В. Можно доказать, что при этих условиях кривая АВ будет спрямляемой й что в этом случае предел отношения длины любой дуги кривой АВ к длине хорды, стягивающей эту дугу, при стремлении длины дуги к нулю равен единице.

Рис. 36

На кривой АВ возьмем точку М (х; у), которой соответствует значение ^-параметра. Длина s дуги AM будет, очевидно, функцией

от t : AM = s = т|з (t). Задача фактического отыскания длины дуги, т. е. функции s = яр (/) по заданным уравнениям (2.27) кривой решается в интегральном исчислении (см. § 7.4). Здесь же найдем

дифференциал этой функции, который назовем									д и ф ф е р е н ц и
а л о м д л и н ы д у г и .
На кривой возьмем еще точку N и пусть At,									Ах, Ay, As будут
приращения параметра,		декартовых				координат			и длины дуги при
переходе от точки М к точке N. Для длины хорды MN имеем MN										=
— У Ах2 + Ау2,	откуда
	MN	л	Г(Аху			.	(Ауу
	~АТ	= У (17)			+{А7)		•		_
Умножив и	разделив	левую часть этого						равенства на MN		=
= As, получим
	MN	As_ _	/	/Ал:\ 3			IAy \ 3
	~Ш'	At~V		\At)		+	\Atj	"
						+

При -> 0 точка N будет неограниченно приближаться к точке М и расстояние между ними будет стремиться к нулю, а потому

при 0 в силу сказанного выше будет ^5 -> 1. Следовательно,

в пределе при At -> 0 предыдущее равенство перейдет в следующее:

ds_		dy_\2	(2.28)
dt	dt )	dt	(2.28)
dt	dt )	dt
откуда
ds=y	dx2+dy2		(2.29)

Это и есть искомое выражение для дифференциала длины дуги плоской кривой. Из формулы (2.29) следует, что ds есть длина ги


потенузы		прямоугольного				треуголь
ника с катетами				dx и dy.		Но	тогда
(рис. 37) дифференциал длины дуги ds
геометрически				представляет			собой
длину отрезка			касательной к				кривой
в точке с абсциссой х, соответствую
щего интервалу				[х; х	+ Ад:].
Предположим				теперь,		что	кри
вая А В	задана			уравнением
;	t/ = / ( x ) ( a < x < 6 ) ,						(2.30)
причем	/ (х)		обладает		непрерывной
производной.			Задание		кривой		урав			х+Ах
нением вида (2.30) можно рассматри										х+Ах
вать как частный случай						параметри			Рис.	37
ческого	задания			(2.27);		убеждаемся			Рис.	37
в этом, взяв х за параметр и напи
сав х =	х,	у =		/ (х).	Таким		образом,	кривая	АВ	оказывается
спрямляемой, и вместо (2.28) получим
откуда					ds=\/~l+y'2dx.					(2.31)
					ds=\/~l+y'2dx.					(2.31)
Пример. Найти дифференциал							длины дуги	кривой	у = х3.	В этом слу-
чае у' =	З*2	и по формуле (2.31) ds = У1 +						9х*dx.

2.17.КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ

Ниже построены величины, характеризующие степень искрив ления кривых. Рассмотрим спрямляемую плоскую кривую, имею щую в каждой точке касательную, и вырежем дугу MTV этой кри вой длины As (рис. 38).

Известное представление о степени искривления дуги можно получить, следя за углом поворота касательной при прохождении этой дуги. Из двух дуг одинаковой длины более искривлена будет, очевидно, та дуга, при прохождении которой касательная повер нется на больший угол.

Пусть касательная к кривой в точке М образует с осью абсцисс

угол ср, а при прохождении дуги ММ эта				касательная поворачи
вается на угол Аф. Таким образом, угол Аф, называемый					у г л о м
с м е ж н о с т и	дуги МЛ', является		углом, образованным каса
тельными в крайних точках дуги.
Определение	1. Средней	кривизной	Кср	дуги называется	модуль
отношения угла	смежности	дуги к ее	длине.

Рис. 38 Рис. 39

Итак, средняя кривизна дуги ММ по определению равна: Кср —

— . Чем ближе будет точка N к точке М, тем лучше будет

величина Кср характеризовать степень искривления кривой вблизи точки М. Таким образом приходим к следующему определению.

Определение 2. Кривизной К кривой в точке М называется пре дел средней кривизны, дуги ММ этой кривой при условии, что точка

N неограниченно	приближается к		точке М, так		что длина дуги
ММ стремится	к нулю	(конечно,	если указанный		предел сущест
вует).
Итак, по определению				Дф
	К = Hm КСп = lim			Дф
	К = Hm КСп = lim			As
	•	N-+M		As

Впрочем, обычно знак модуля здесь не пишут, а рассматривают кривизну с тем знаком, с которым она получается. Тогда

/ С = lim	Д<р	. (2.32)
As-*0	As	~ds

Таким образом, кривизна кривой в данной точке есть значение производной от угла смежности по длине дуги в этой точке.

Величина обратная кривизне К кривой в данной точке назы вается р а д и у с о м к р и в и з н ы R кривой в этой точке, так

1		О принимают R = со; в случае К = °о
что R = —. В случае /С
принимают	= 0.
Пример.	Вычислить кривизну и радиус кривизны окружности радиуса

а (рис, 39). Вырежем дугу MN окружности длины As и пусть Дф будет угол смежности этой дуги. Очевидно, центральный угол, стягиваемый дугой MN,

тоже будет равен Дф, так что MN = As =					аДф. При As —> 0 Дф ->• 0 и фор
мула (2.32) дает		Дф	,.	Дф	1	„		1
К -	П т						R
			= lim — —		= —			К
	As^O As		Аф->о аДф		а а
Итак, кривизна и радиус кривизны окружности — одни и те же
во всех ее точках; при этом радиус					кривизны			окружности	равен
просто радиусу	этой окружности. Отсюда следует, что если								радиус
кривизны кривой	в некоторой			ее точке М		равен		R , то эта	кривая
вблизи точки М	искривлена			так оке, как окружность радиуса R .

2.18.ПРАКТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВИЗНЫ И РАДИУСА

КРИВИЗНЫ

Формула (2.32) неудобна для вычисления кривизны, так как обычно функциональная зависимость угла <р, образованного ка сательной к кривой с осью Ох от длины дуги s кривой, не задается.

Пусть			кривая		задана		уравне	У
нием		вида		у — f (х),			где / (х)
дважды дифференцируема. Тогда								1
у'	=	tg ф, откуда				<р =	arc tg у'
и,	следовательно,
			л	dy':		y"dx	. (2.33)
		1	+у'-

	Дифференциал					ds длины ду
ги плоской кривой определяется
формулой (2.31). Подставив вы								0
ражения (2.31)					и (2.33)		в фор	VР и с - 4 0
мулу		(2.32),		получим формулу,

удобную	для вычисления		кривизны		кривой:
			Йф	у
Для	радиуса кривизны		получаем
	R	=	± = V+y'2)l			(2.35)
		. К		У"		F (х, у) = 0,
Если	кривая задана	неявным		уравнением вида
то производные у' и у",		входящие в две последние формулы, на
ходятся по правилу дифференцирования неявных функций.
Формулы (2.34) и (2.35) справедливы и в случае,						когда кривая
задана параметрическими			уравнениями		х = ср (t),	у = g (t), при
условии, что ф (t) и g (t)		дважды		дифференцируемы.

Пример 1.	Для прямой у =	kx +	Ь будет у' = к, у" =			0; следовательно
в силу формулы (2.34) кривизна		прямой К =		0 и радиус		кривизны = со.
Пример 2.	В точках перегиба		кривых	тоже у" — 0;			следовательно,
вблизи точек перегиба кривая походит на прямую.
Пример 3.	Найти кривизну	параболы у = х2 . Здесь				у' =	2х, у" = 2 и
	2
формула (2.34)	дает /С =	тг- • Эта величина			будет		наибольшей,
	(1 + 4х2 ) ^				0, где К = 2. Этот ре
когда знаменатель будет наименьшим, т. е. в точке х =

зультат соответствует геометрической картине (рис. 40), из которой видно, что действительно, при х = 0 парабола искривлена более всего.

2.19. ЦЕНТР И ОКРУЖНОСТЬ КРИВИЗНЫ. ЭВОЛЮТА И ЭВОЛЬВЕНТА

В точке М проведем нормаль к кривой I (рис. 41) и на этой нор

мали в сторону вогнутости отложим отрезок					МС, равный					радиусу
R кривизны кривой в		точке	М(МС	= R). Точка			С		называется
				ц е н т р о м				к р и в и з н ы
				кривой в точке М, а окруж
				ность	радиуса		R		с	центром
				в точке		С называется					о к-
				р у ж н о с т ь ю					к р и в и з -
				н ы кривой в точке М. В силу
				сказанного в конце § 2.16
				кривая вблизи точки М искри
				влена	как окружность						кри
				визны кривой в этой точке.
				Каждой точке М на кри
				вой соответствует свой центр С
	Рис. 41			кривизны.		Множество					всех
				центров		кривизны				кривой

				называется				э в о л ю т о й
этой кривой. Сама же		кривая по отношению к своей эволюте на-
зывается	э в о л ь в е н т о й .
Задача составления		уравнения эволюты не входит в программу.
Укажем	без доказательства		приемы	приближенных					построений
эволюты по эвольвенте и эвольвенты по эволюте.

1.Каждая нормаль к эвольвенте является касательной к эво люте; эволюта как бы о г и б а е т все семейство нормалей к эволь венте. Поэтому, если построить достаточно много нормалей к эволь венте I, то линия, огибающая эти нормали, и будет эволютой L (рис. 41).

2.Если гибкую нерастяжимую нить, обтягивающую эволюту L , развертывать, сохраняя натянутой, то каждая точка нити опишет эвольвенту / (рис. 41). Этой операции развертывания нити равно сильно качение (без скольжения) прямой линии по эволюте L ; каж дая точка такой прямой описывает эвольвенту / линии L (поэтому эвольвенту называют еще р а з в е р т к о й ) .

Данная линия может иметь лишь одну эвольвенту, но у данной эволюты существует бесконечное множество эвольвент.

ГЛАВА 3

НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

3.1. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ. ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ

Многочисленные задачи математики и прикладных наук сво дятся к решению уравнений. Однако лишь немногие типы уравне ний могут быть решены точно. В связи с этим возникла необходи мость в' разработке приближенных численных методов решения уравнений.

а)

	5\
	4
	3
	2
	1
	О'	1 2 *о2	1	5
	- I	1 2 *о2	1	5
	- I
	-2
	-3
	- 4
	-5
				Рис. 42
Рассмотрим		некоторые		методы	приближенного			нахождения
д е й с т в и т е л ь н ы х				корней уравнения			f (х) =	0. Эту задачу
можно разбить на два этапа:
1) определение интервала в котором находится								один-единст
венный корень уравнения				(в этом случае говорят, что корень о т -
д е л е н ,	или изолирован, что обычно означает нахождение корня
с весьма' малой		точностью);
2) вычисление корня с любой наперед заданной точностью.
Численное		решение	уравнения		f (х) =	0	часто	целесообразно
начать с	чертежа' — графика функции у					=	/ (х). Это позволяет

выяснить число точек пересечения графика с осью абсцисс (число действительных корней), приближенное значение абсцисс этих точек или определить интервал, в котором лежит каждая точка пересечения.

Иногда бывает удобнее представить уравнение f (х) — О в форме Ф (х) = 'Ф (х). Построив графики функций у = <р (х) и у = я|) (х), можно найти точки их пересечения, абсциссы которых равны при ближенным значениям корней уравнения. На рис. 42, а, б пока-

заны графики, позволяющие найти приближенное значение				х0
корня	уравнения х 3 — 2х — 5 =	0. Эти графики	показывают,	что
корень	этого уравнения лежит в	интервале [2;	2,5].

Во многих случаях удается подобрать приближенное значение корня или интервал, в котором корень отделен. Например, легко

заметить,	что	корень	уравнения / (х) — ех		+ ё~3х — 4 — 0 ле
жит между а = 1 и 6 = 2.				Действительно,	f (1)<0, f ( 2 ) > 0 ,
откуда в	силу	свойства	3 функций, непрерывных на замкнутом
интервале	(там же, стр.		176),	и следует высказанное утверждение.

Воспользовавшись таблицей значений показательной функции, установим, что корень уравнения лежит внутри интервала [1,3; 1,4]. Аналогично, подбором можно убедиться, что корень уравне-

ния х3 =	х +	3	/	3	\ 3	л>	3	27	7
ния х3 =	х +	2 близок к —	:	—		л>	\-2;	— л ; — ,		а корень
	xs	2	\	2	/		2	8	2
уравнения	xs	+ х = 1000 близок			к 10.
Итак,	графически или подбором					можно		установить		интервал

[а, Ъ\, в котором отделен корень х уравнения / (х) = 0. Ниже из лагаются некоторые способы, с помощью которых этот интервал

может быть сколь		угодно уменьшен.
		3.2. МЕТОД		НЬЮТОНА
Пусть	задано	уравнение	f{x)	= 0.	.	(3.1)

Будем	предполагать, что		на замкнутом интервале		[а,	Ь]\
1 ) функция / (х) дважды			дифференцируема;

2)производные /' (х) и /" (х) непрерывны, отличны от нуля и знакопостоянны;

3)имеется единственный корень х уравнения (3.1);

4)известно число х0 , которое можно принять за приближенное значение искомого корня.

Функцию / (х) представим с помощью формулы Тейлора (2.8) при а = х„ и п = 2. Тогда, если х — искомый корень уравнения (3.1), будем иметь равенство:

f(x)	= f (х0) + ( х - х 0 ) 7 ' (х0) +				^ = ^ t	f" (С) =		о,1,	(3.2)
где точка с лежит между х0			и х. Если точка х„			близка		к	значению
х корня, то разность х — хй			мала и, отбрасывая член,					содержащий
(х — х„)2 , получим уравнение для определения нового								приближен
ного значения	хх	искомого	корня	х:
откуда		/(*o) +	( * i - * o ) f (*о) = 0,						(3.3)
откуда
	значение корня хх								( 3 - 4 )
Полученное	значение корня хх			не	является		точным,		так как
оно получено	не	из точного равенства			(3.2),	а	из приближенного

равенства (3.3). Применив формулу (3.4) еще раз и считая, что теперь известно приближенное значение х-,, найдем новое прибли жение к корню

Л«Э	Л 1		•
Поступая аналогично еще раз, найдем
Л д	Л о		*
и вообще
- т £ т < »		= 0,	1, 2,	. . . ) •	(3.5)
f	(*«)				хп+\
Теперь естественно спросить,		при	каких	условиях точка	хп+\
(« = 0 , 1 , 2 , . . .) действительно будет ближе к точке х, чем точка					хп.

Ответ на этот вопрос дает следующая теорема, которую мы приве

дем

без доказательства.

Теорема. Если

функция

f (х)

удовлетворяет

на

интервале,

[а,

Ъ] перечисленным в

начале

настоящего

параграфа

условиям

величины f (хп)

и f"

(хП)

(п =

2, . . .)

одного знака,

то

точка

хп+\

расположена ближе

к точке х,

чем точка

хп.

Обычно вычисления следует вести до тех пор, пока в пределах

требуемой точности

не получится: хп+\ ^

хп.

Метод Ньютона имеет простое геометрическое истолкование.

Построим на промежутке [а,

Ь] график функции f (х). По условию

(х) и /" (х)

непрерывны,

знакопостоянны' и

отличны от

нуля.

Геометрически

это

означает,

что в

любой

точке интервала

[а,

кривой у — f (х)

можно провести касательную,

что

кривая

эта

на интервале

[а, Ъ ] не имеет экстремумов

и либо только выпукла,

либо только вогнута. Так как на интервале [с,

Ъ ] имеется единст

венный корень уравнения, то кривая в единственной точке х пе

ресекает ось абсцисс. Выберем на кривой произвольную							точку	MQ
с	абсциссой	х0, но такую,	что	/ (х0) f"	( х 0 ) > 0	(это значит,		что,
/	(х0) и /" (х0)	одного знака),	и	проведем	к этой	кривой	касатель

ную:

У — f (*о) — F (*i>) (* — Хо).

Полагая в последнем уравнении у = 0, найдем уравнение для

определения точки хх пересечения	касательной	с осью Ох:
— f(x0):=f'(Xo)(x1	— x0),

откуда получим формулу (3.4).

Нам известно, что точка хг будет лежать ближе к х, чем точка х0.

Теперь проведем касательную к кривой у = / (х) в точке Мх		с абс
циссой хх и найдем
Луо -—У Л 1	/ f a )
— точку пересечения новой касательной с осью Ох. Точка хг		будет
лежать ближе к х, чем точка хг, и т. д.

Пользуясь геометрической терминологией, метод Ньютона на зывают м е т о д о м к а с а т е л ь н ы х . На рис. 43 наглядно показано построение касательных и вычисление приближенных значений искомых корней уравнения. На этом рисунке представ лен случай, когда на интервале [a, b ] f" (х) > 0, а так как / О, то за точку х0 мы взяли точку Ь.

Пример. С помощью метода Ньютона найти с точностью до 0 , 0 0 0 1					корень
уравнения	f (х) = х3 — 2х — 5 =	0.
В § 3	. 1 мы нашли интервал	[ 2 ; 2 , 5 ] , где изолирован	корень	заданного
уравнения	(рис. 4 2 ) . На этом интервале /' (х) = ЗА:3 — 2		и /" (х)	=	6л: не

Рис. 43

изменяют знак и не обращаются в нуль, причем на этом интервале /" (л-) > 0 . За нулевое приближение к искомому корню примем число х0 = 2 , 1 , что можно сделать, так как f, ( 2 , 1 ) > 0 . Вычисляем:

-	/ Ы	- 2 , 1 - Д . " - 2 - 2 , 1 - 5
	ГЫ	3 - 2 . 1 3 — 2

= 2 | Q 9 4 6 >

, 2 = X l _ Ж .	= 2 , 0 9 4 6 - * 1 « » - 4 , 1 8 Я 2 - 5 = 2,0945 .
Г(хх)	1 3 , 1 6 1 9 — 2

Очевидно, что число х = 2 , 0 9 4 5 можно принять за приближенное зна

чение корня.

3.3. М Е Т О Д Х О Р Д

Предположим, что левая часть уравнения f (х) = 0 на интер вале [a, b ] удовлетворяет условиям, указанным в начале предыду щего параграфа. Тогда численное значение действительного корня заданного уравнения можно найти с помощью так называемого ме тода хорд.

Проведем через две точки (a, f (а)) и (b, f (b)) прямую

y~f ^	= х ~ а и	найдем точку х±
f(b)—f(a)	Ь — а
положив,	у = 0 . Получим
	0 — f (а)	Хл—а	' v	~ а
	f(b)-f{a)	Ь-а	' v	~ а
	f(b)-f{a)	Ь-а

пересечения	ее с осью
Ь — а	, , .

— Т77Т 7 7 - Г - / ( А ) f(b)-f(a)

Ох,

/о	с\
( 3 - 6	)

или

хх = b-	f{b)-f{a)	•f(b).	(3.7)
	f{b)-f{a)

Число xx принимаем за приближенное значение корня уравне ния. Далее следует вычислить значение / (хх) и определить, в ка ком из .интервалов [а, хх], [хх, Ь] находится корень уравнения. Если f (а) и / (хх) разных знаков, то для дальнейших вычислений следует применять формулу типа (3.6), если же / (хх) и / (Ь) разных знаков, то надо воспользоваться формулой типа (3.7). На рис. 44 показан геометрический смысл метода хорд.

Пример. Решить	уравнение	х3 — 2х — 5 =		0 с помощью метода хорд.
Корень данного уравнения отделен в интервале				[2; 2,5] (рис. 42). Вычислим
первое приближенное	значение	корня	хх
h	п		2 5 2
	- / (а) = 2		^	— • ( — ! ) = 2,0755.
			5,625	+ 1

а)

Рис. 44

Вычисления показывают / (2,0755) <0, а так как / (2,5) >0, то корень лежит внутри интервала [2,0755; 2,5]. Находим второе приближение

	x„ = 2,0755	^	A	U	/	0 D	(-0,2104) = 2,0908.
		5,625 +		0,2104
Так	как f, (2,0908) < 0, то
	х3 = 2,0908 -	9 с .		.9		попа
		— А			и	а и	в	(— 0,0418) = 2,0938;
		5,625 +			0,0418
четвертое	приближение	/(2,0938)<0;

	д-4 = 2,0938 — — — 2		' 0		9	3 8		(— 0,0084) = 2,0944;
		5,625 +			0,0084
пятое приближение		/ (2,0944) <						0;
		9 Я		9 (1Q44
	хъ = 2,0944							(0,0017) = 2,0945.
		—			0,0017
		5,625 +

Таким образом, по методу хорд мы достигли в пятом приближении точ ности, полученной в результате второго приближения в методе Ньютона.

В предыдущих вычислениях мы считали, что корень уравнения найден с нужной степенью точности, если в пределах допустимой

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ