книги из ГПНТБ / Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие

Теорема

Ролля. Если функция

f (х)

непрерывна

на замкнутом

интервале

[а; Ь], дифференцируема

на открытом

интервале

(а, Ь)

и f (а) — f (b), то

между точками

а и b имеется

по крайней

мере

одна такая

точка

с, в которой f

(с)

=

0.

наименьшее

значения (там же, стр. 175), причем так

как f (а) =

= f (b), то

по крайней мере одно

из

этих значений

принимается

во внутренней точке интервала [а;

Ь].

Пусть, например,

функция

/ (х) принимает наибольшее значение в точке с (а<±с<*Ь,

рис. 11).

Тогда при

любом достаточно

малом

по

модулю Ах будет / (с +

+ Ax)<Cf

(с), откуда следует,

что

f(c+Ax)-f(c)

< Q п

р и

А

х >

0 .

Ах

/ ( С + А * ) - / ( С ) > 0

п р и

Д

л

< 0 -

Ад;

Рис. 12

Рассуждения аналогичны, когда в точке с функция

принимает

наименьшее

значение.

Теорема

Ролля имеет

простой геометрический смысл. Так как

/' (с) = 0, то касательная

к кривой у = f (х) в точке с

абсциссой

ней мере одна такая точка М, в которой касательная

к дуге будет

параллельна оси Ох.

Если

требование

дифференцируемое™

функции

нарушается

хотя бы

в одной точке интервала (а; Ъ), то

производная функции

ференцируемая в точке с. Ни в одной точке дуги

АВ

касательная

здесь не параллельна оси Ох.

2.2. ТЕОРЕМА КОШИ.

ФОРМУЛА КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ ЛАГРАНЖА

,

Опираясь на теорему Ролля, докажем теорему

Коши.

Теорема. Если функции f (х) и

ср (х) непрерывны

на

замкнутом

интервале [а; Ь], дифференцируемы

на открытом

интервале

(а, Ъ),

причем ф' (х) Ф 0 во всех точках интервала (а, Ь),

то

между точ-

ками а и b имеется по крайней

мере одна такая точка

с (а<Сс<СЬ),

что

f(b)-f(a)

=

['(с)'

(2.1)

Ф ( 6 ) - Ф {а)

Ф'(с)

f(b)~f(a)

= R

(2.2)

Ф (Ь) — ф (а)

откуда

f(b)-f{a)-[<?W-

ср(а)]Я = 0,

(2.3)

и введем следующую вспомогательную функцию:

F(x)=f(x)-f(a)-[<p(x)

— <p{a)]R.

(2.4)

Функция F [х)

является

суммой

функций,

непрерывных на

интервале la, Ь] и дифференцируемых

на интервале

(а,

Ь). Поэ­

тому

F (х)

непрерывна на зам­

кнутом интервале

[а; Ь] и диф­

ференцируема

на

открытом ин­

тервале (а; Ь). Непосредственно

видно, что F (а) =

0,

а в силу

(2.3) и F (Ь) = 0, так что F (а) =

=

F (Ь). Таким образом,

функ­

ция F (х)

на интервале

[а; Ъ 1

удовлетворяет

всем

условиям

теоремы Ролля,

поэтому

между

точками а и b найдется

такая

Рис.

13

точка

с,

в

которой

F' (с) = 0.

Имеем F' (х) = f

(х) — Rq>' (х),

так что F' (с) =

/' (с) —

# ф ' (с) = .

=

0.

По условию

теоремы

ф' (х)

0 на интервале (а; Ь), поэтому

и

ф' (с ) =г= 0, и из предыдущего

равенства

находим

/< =

— .

Подставив это выражение в равенство

(2.2),

приходим

к

<р'(с)

(2.1), что

и

требовалось

доказать.

Равенство

(2.1)

носит название ф о р -

м у л ы

К о ш и.

Доказанная теорема может быть просто истолкована геометри­

чески. С этой целью обозначим независимую

переменную буквой t

и рассмотрим параметрические уравнения у

= f (t); х =

ф (t) не­

которой

линии. Пусть дуга

АВ (рис. 13) будет графиком этой ли­

нии,

соответствующим

некоторому промежутку

[а; Ь] изменения

параметра t, так что точка

А имеет

координаты

[ф (а); / (а)], a

точка В — координаты

[ф (b)\ f (6)1. Угловой коэффициент

хорды

А В будет tg ф =

i f f =

f?l~H?\

' а

^ТТГ = Ух (с )

е

с

т ь

Усовой

Л Р

ф(6) — ф ( а )

ф'(с)

коэффициент касательной

к дуге

А В в некоторой ее точке М. Из

равенства этих двух угловых коэффициентов

[формула (2.1)1 сле-

дует^параллельность хорды

и касательной.

Итак,

теорема

Коши

утверждает

следующий очевидный геометрический фактt"5 на глад­

кой дуге АВ

всегда найдется по крайней мере одна такая точка М,

'щей

дугу.

В формуле Коши положим, в частности, ср (х) =

х\ тогда ср (а) =

— а,

ср (b) =

Ь, ср' (х) = 1 и эта формула принимает вид

lS^LzlSEL=f

(с)

Ъ — а

или

f(b)-f(a)

= (b-a)f'(c),

(2.5)

где

а < с < 6 .

Последняя

формула называется

ф о р м у л о й

к о н е ч н ы х

п р и р а щ е н и й Л а г р а н

ж а.

В соответствии с этой форму­

тервале

[a; b ] дугу кривой, заданной уравнением у = f

(х).

Формулу (2.5) часто используют в другой форме. Вместо на­

чального

аргумента а пишут х,

а вместо b пишут х +

Ах.

Тогда

с — а

с — х

0

b — а

Ах

'

где

0 — некоторое

число, удовлетворяющее

условию

0<<9<;1.

Отсюда с =

х + QAx. Таким образом,

в новых обозначениях фор­

мула

(2.5)

примет вид

f(x+

Ах) —f (х) = Ax-f

{x +

QAx)

(2.6)

( 0 < 8 < 1 ) .

f (b)—f

(а) — ^ р - ( p — a ) — ^ - i b — a f

— . . .

• • •

(п—1)!

( f t - a ) ' - 1

- 4 ( f t - a ) "

= 0

(2.7)

п\

F(x)

= fib)-t(x)—££>_(&_*)_.Ш-(6_*)>_

. . .

. . . - ^ { Ь - х Г - ' ~ ^ - ( Ь - х ) :

( я —

1)1

я!

В силу

(2.7)

F (а) — О и непосредственно

видно, что F (Ь) = О,

так что F (а) — F (Ь). Кроме того, функция

F (х) будет,

очевидно,

дифференцируема на замкнутом

интервале [а; Ь].

Таким

образом,

функция F (х) удовлетворяет более жестким условиям, чем условия

теоремы Ролля, поэтому

она

подавно

удовлетворяет последним.

Следовательно,

между точками

а и

Ь

существует

такая

точка с,

что F' (с) = 0.

Имеем

F'

(*)=-/'(*)

f" (х)

(b~x)-

1!

(Ь-х)

1!

(b—x)

2!

где точка с лежит между

точками а и х ( а < с < х ) .

Формула (2.8)

называется ф о р м у л о й Т е й л о р а

/г-го

порядка для функции / (х). Последний член этой формулы Rn

(х) =

= 1!П v '(Л (х — а)п;

( а < с < х )

называется о с т а т о ч н ы м

ч л е -

п\

f ( * ) - f ( 0 ) + - ^ - * -

• Х 2

+

2!

/<"-') ( 0 ) ^ - 1

/ W ( C )

^

(2.9)

( я - 1 ) 1

где 0 < с < х . Эту формулу иногда называют ф о р м у л о й

М а к -

л о р е н а.

Отметим некоторые частные случаи формулы (2.8) При п = 1

будем иметь

f(x)

= f(a) + f'(c)(x-a);

(а<с<х).

Мы пришли к формуле Лагранжа, которая, таким образом,

является частным случаем формулы

Тейлора. При п =

2 получим

f(x)

= f (а) + Ш-\х-а)

+ Ш-

(х-аГ

•

11

[|

2Л\

Отбросив в этой формуле остаточный член, получим прибли­

женное значение

функции

f(x)taf

(а) + f (а) Ах>= f (а) + df (а) (Ах =

х—а),

основанное на применении дифференциала (см. § 1.7).

При доказательстве формул

Коши, Лагранжа и Тейлора нигде

не играл роли тот факт, что Ъ >

а, а потому все эти формулы спра­

ведливы и при b<Са.

В рассмотренные

теоремы, о среднем — Ролля,

Коши,

а также

в формулы Лагранжа

и Тейлора входит неизвестная точка с, отно­

сительно которой

известно только,

что она

является

внутренней

. . . + f = ^ f ( , - < . , - '

(2.Ш)

(п— 1)!

назовем м н о г о ч л е н о м Т е й л о р а для функции

f (х). За

f(x)^Pn^(x).

(2.11)

В силу формулы Тейлора ошибка этого приближенного равен­

ства будет равна Rn (х) = ^ ® (х — а)п,

где с лежит между а и х.

Пример. Возьмем функцию f, (х) =

ех.

Для нее f' (х) =

I" (х) = . . .

=

= /("> (4 = е,

так

что /

(0) = f

(0) =

f" (0) =

. . . =

fn~l)

(0) = е° =

1.

Частный случай

многочлена

Тейлора (2.10) для функции f, (х) =

е* при

а=

0 (многочлен Маклорена)

будет:

1!

2!

( i — l ) l

чим

Заменив рассматриваемую

функцию

ее многочленом

Маклорена,

полу­

• * я , + т г + 1 г +

••• +

1

^

т

-

(2Л2)

Далее имеем

и!

л!

где с лежит между 0 и *. Предположим,

что функция

рассматривается

только на интервале

— 1 <х <1. Тогда,

поскольку в этом случае с лежит

между — 1 и +

1, будем иметь следующую оценку:

Rn (х) I

< т < 1

откуда следует,

что за абсолютную

л!

л!

погрешность

приближенного равенства

(2.12) можно принять величину

Д =

3

.

л!

Пусть, например, мы хотим, чтобы абсолютная погрешность прибли­

женного равенства (2.12) не превосходила

0,00001.

Нужное

число л найдем

3

Заметив,,

что

1! = 1 ,

2! =

2,

3! = 6, ,4! =• 24,

из условия •—• < 0,00001.

л!

5! =

120, 6! =

720,

7! =

5040,

8! =

40 320, 9! =

362 880,

находим, что

должно быть л = 9.

Итак, для интервала — 1 < х < 1 имеем приближенную формулу

е * « 1 + — + — + . . . + —

1!

2!

8!

с абсолютной погрешностью, не

превосходящей

0,00001.

В

частности, при

X =

1

е я 1 + — + 4 - + . . . + — и 2 , 7 1 8 2 8

.' 1!

2!

81

Пусть требуется вычислить предел

l i m / ( x ) .

(2.13)

x-r а

Если / (х) — элементарная функция и а принадлежит ее области

определения, то для вычисления этого

предела нужно

(там же,

стр. 163) перейти к пределу под знаком

функции f (х),

что приво­

дит к подстановке

в / (х) вместо х предельного значения а. Если же

а не принадлежит

области определения функции / (х), то формаль­

ное

применение

правил предельного перехода приводит к

одному

из

следующих

О

со

п

семи лишенных смысла символов: —

, — , 0-со,

со — со, 0°, со0 ,

I ю .

В этом случае

говорят, что в точке а имеет место неопределен­

р а с к р ы т и е м

н е о п р е д е л е н н о с т и .

Теорема. Если

функции

ср (х)

и g (х) дифференцируемы

в неко­

торой окрестности

а, при х ->• а одновременно

являются

бесконечно

малыми

или бесконечно большими

величинами

и g' (х) Ф 0 в

упомя­

нутой

окрестности

(исключая,

может быть, саму точку а), то

lim ^

= lim JElW

(2.14)

х-а

g(x)

X-KZ

g'(х)

при условии,

что второй

предел

существует

(здесь а может быть

и числом и одним из символов: со, — со, +со) .

Не будем доказывать эту теорему во всем ее объеме, а рассмот­

рим только

случай,

когда

а — число и lim ср (х) = 0, lim g (х) —

=

х->а

х-*а

0. Поскольку в точке а функции ср (х) и g (х) дифференцируемы,

а

значит и

непрерывны,

то ср (а) = g (a).= 0.

Пусть

х — точка

рассматриваемой

окрестности; по формуле Коши

Ф (*) — Ф (а) =

Ф(*)

=

Ф'(с)

g(x) —

g

(а)

• g

(х)

g' (с)

где с лежит между а и х.

При х -> а, очевидно,

и с - > - а .

Следовательно,

1 •

Ф W

1 •

ф' (с)

lim

т- ' = lim т

v

'

л:-кг

g(4

с~а

g'(С)

но это и есть формула (2.14), только иначе написанная.

Из последней теоремы вытекает следующее практическое пра­

вило раскрытия неопределенностей двух первых типов.

Правило Лопиталя. Для

раскрытия

неопределенностей

типа

—

или

надо от предела

отношения

функций

перейти

к

пределу

отношения

их производных.

Если

отношение

производных

стре-

мится к

некоторому

пределу

(конечному

или бесконечному), то

к

этому

же пределу

стремится

и отношение функций.

Может случиться,

что отношение

производных

снова приведет

О

оо

„

к

одной

из неопределенностей

— или

. Тогда,

рассматривая

..

ж 2 - ^5х

4-6

/

0 \

,.

2х — 5

lim ,

'

• — -

—

= lim

= — 1.

* - ь 2

х2 — Зх + 2

V 0 /

х-*ъ2х

— 3

2 lim 1

~ c o s 3 * — ( 0

\ — lim 3

s i n З х " —( 0 \ _

i j m 9

c o s 3 *

9

х^о

х2

\ 0 ]

х~о

2х

\ О j

х~о

2

2

l i m

J H f L = ^ = l i m _ ^ _ 1= o.

2

- 1

. л .

О

•

1

1

АС2

s i n —

\

2д: sin

cos

4.

lim

х

=

I и

х

х

;

последний пре-

—

= lim

*~o

sin д:

\ 0

/

д: - 0

c o s *

дел не существует, так как cos —

при х ->• 0 не стремится ни к какому

х

пределу (ни к конечному, ни к бесконечному). Следовательно, в этом

случае

правило Лопиталя неприменимо. Отсюда, однако,

вовсе не следует,

что не

существует

и рассматриваемый

предел.

Действительно,

непосредственно

видно, что

2

1

m

—

{

х

1\

х

х

s

•

Jim

= lim \х

sin —

J = 0,

так как х

> 0

при

х^о

sin х

лг-о V

sin х

х

j

sinx

х -> О, а функция sin

ограничена.

5. lim(l — *)tg

— = (0-oo) = lim.

1 - *

= ( —

* - i

2

x~\

c t g —

V 0

2

lim

— 1

2

nx

n

„4

л

2

•cosee

= lim

О /

= lim

1

lnx+1

-

*-л

— +

X

7.

lim (cos х)* 2

= ( 1 ° ° ) = Л?

Имеем In А = In

lim (cos х)'

х->0

-

lim

In (cosx) *

=

lim

• In COS X

= (oo • 0) =

hm

In cos x

—

-

j

— =

А—0

х->0

x^O

x

0

=

— lim

sec2 x

_

1

0

I

*->o

2х

о ;

2

2

Отсюда

lim (cosx)x ~

=

A = e

"Г

1

x - 0

2.6. ПРИЗНАК ПОСТОЯНСТВА ФУНКЦИИ.

ПРИЗНАКИ ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ

ФУНКЦИЙ

Теорема 1. Если

во всех точках некоторого

промежутка

f

(х) =

= 0, то функция

f (х) постоянна на этом

промежутке.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

хг

и х2

— любые

две точки

рассматриваемого

промежутка;

по

формуле

Лагранжа

/ (х2) —

— / (xi)

=

(х2 —xi)

/' (с)> г Д е с

лежит между

хх

и х2

и потому

тоже

принадлежит

рассматриваемому

промежутку.

Но

тогда,

/' (с) =

0,

и

предыдущее равенство

дает

f {х2) — f (*i) = 0 или

f (хг)

— / I х i)-

Отсюда

и следует, что f

(х) =

const на

рассматри­

ваемом

промежутке.