книги из ГПНТБ / Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие

Для

вычисления

второго интеграла

простейшей дроби

х + 2

пре-

х2 + х + 1

образуем

ее знаменатель к сумме

квадратов

+ •

* а + * +

1 = х

+ 1

и сделаем

замену

переменной

t = •х -

J

2_

2

У з

У 1

4

9

arctg* + C =

(хх +

1) + V

3 arc tg ? ^ ± Д

+

С.

У

з

Представляя первое слагаемое в виде суммы логарифмов

и включая

число

In

в произвольную

постоянную, получим

окончательно

2

3

=

—

In | х- — 1 |

1п(д;2 +

л.-+ 1)

—

3

.

2х

+

х3

6

arc tg —

^ + с.

— 1

3

з

У

з

Пример

5.

Вычислить

д.-2 4- х — 7

dx.

{х 4- 2)1 0 0

Знаменатель подынтегральной функции имеет один вещественный ко­

рень,

равный — 2, кратности

100.

Следовательно,

если

разлагать дробь на

разложение на простейшие можно получить значительно проще,

разложив

числитель, по степеням х +

2> '(например, по формуле

Тейлора) и

произведя

почленное

деление

на

знамена'тель.

Имеем:

/

(х)=х*+х-7;

f

( - 2)

=

- 5 ;

Г(х)=2х+1;

/ ' ( - 2 ) =

- 3 ;

/"(*)= 2;

/"( - 2) =

2;

f"'{x) =

0.

Г ( — 2 )

=

°-

Таким

образом,

по формуле

Тейлора

Х

2 +

х _ 7

=

_ 5

_

3 ( х +

2) л. (х + 2)2,

(**)

следовательно,

х2+х

— 7

,3

3

, 1

(х 4-

2)1 0 0

(х

4-

2)1

(*4-2)»в

(л-4-2)°8

Теперь

вычисляем интеграл

f x 2

— х — 7 ,

5

1

, 3

I

I

1

\

dx =

— +

С.

J

(х + 2 ) 1 0 0

99

(А.- + 2 ) 0

0

98 (,v--|-2)»s

97

(х +

2 ) 0 7

З а м е ч а н и е .

Равенство

(**)

можно

получить

также

путем

следую­

щих

тождественных

преобразований:

х 2 +

х — 7 = [(х +

2)

— 2 ] 2 +

[(х + 2)

— 2 ] — 7 =

= (х + 2 ) 2 - 4 (х + 2) + 4 + (х + 2) - 2 - 7 =

=

(х + 2 ) 2 —-3 (х +

2) -

5.Д.

5.3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ

ВЫРАЖЕНИЙ

ОТ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

ФУНКЦИЙ

Под рациональным

выражением от тригонометрических

функ­

виде R (sin х, cos х, tg х,

ctgx, sec х, cosec х).

Не умаляя общности, можно ограничиться рассмотрением ра­

циональных выражений

от sin х и cos х, т. е. выражений вида

R (sin х, cos х), так как все другие

тригонометрические функции

рационально выражаются

через sin х и cos х:

4 . „

sinx

,

.

cos х

,

secx =

1

,

cosecx =

1

tgx =

ctgx = —

sinx

sinx

C 0 S A :

и рациональная функция от рациональных функций других

аргу­

ментов есть рациональная функция этих аргументов.

Общий метод вычисления

интегралов

вида

]" R (sin х, cos х) dx

состоит в

рационализации

подынтегрального

выражения, т. е. в

приведении его к рациональному

выражению

относительно

одной

переменной. Это достигается

при помощи

подстановки

• • ' - * e f .

позволяющей выразить

sin х,

cos х

к dx

рационально

через

пере­

менную t.

Действительно, так как

cos''2 —х . = •

1

1

2

1 +

t g 2 ^ -

ТО

sin л: = 2 sin —cos — = 2cos2 — t g —

2t

2

2

2

2

1 +

/ 2

cos x = cos2

sin2

— = cos2

— 11 — t g 2 — I =

+ 1 2

TO

2 ;

l

Далее,

из равенства

dt =

9

!

А".

dx = — (1 + Г-) dx

о

2

2

COS

^

находим

dx=-2—dt.

I 4- С2

Таким

образом получаем

Г Л (sin х, cos х) dx =

f Я [

,

—^— dz1 = Г Я х (О Л ,

где

(t)

— рациональная функция

переменной t.

Итак, всякое рациональное выражение от тригонометрических

функции

интегрируется

в конечном

виде. Подстановка t = ig~

dx

l 4- Г-

dt

I—sin.v

+ cos A-

I

,

2t

, 1— t2

1

1— t

•t2

1 +

t-

=

— \n\\—t\4-C

=

—\n

- i s

— 4 - C .

Подстановка

tg-^-=t

часто

приводит

к

интегралам от гро­

. п

t2

о

1

j

dt

sin^x =

, cos*x =

, dx=

1 + 1 2

l + t 2

1 + 1 2

получим интеграл от рациональной функции

dx

С

dt

cos3.v

J (1 — t°)2

Вычисляя его известным способом (разложением на простейшие) и воз­

вращаясь к переменной х, получим

dx

1

,

1-f-sin*

,

1

sin*

, „

cos3 *

—

4

1П

•

;

1

2

1- C.

1 — sin *

5.4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

ВЫРАЖЕНИЙ

Иррациональные

алгебраические

выражения, вообще говоря,

не интегрируются в конечном

виде. Так, доказано, что уже рацио­

нальные в ы р а ж е н и я

вида R

(х,

)/~Рп(х)}

[где Рп (х) — м н о г о ч л е н

степени выше второй (/г>2) ] и R [х, "УРп

(xfj

[где Рп (х) — мно­

гочлен степени выше

первой

(я>> 1)

и

/л>>2]

за исключением не­

щие интегрирование в конечном виде.

1.

Интегрирование

выражений,

зависящих

рационально

от

дробно-линейной

функции а

х b

(а,

Ь, с, е — ПрОИЗВОЛЬНЫе. Ве­

ся +

6

щественные

числа)

в рациональных

степенях ^

,

, . . .

,

т. е. вычисление

интегралов вида

'III

ИtQ

Ulfe

J

l\cx

+

b\jh

(ax--,-b\fh

(ax-i- b\,4i

dx.

e j

\cx-\-ej

\cx+e)

Рационализация подынтегрального выражения достигается при­

менением подстановки

ах —

b

,р

с* + е

где р — общий знаменатель

дробей

Т± ^ Hh. ^

. . .)

EL.

Действительно; при такой

подстановке

etP — b

х = -

CtP

(ах+Ь\ъ

"h

...

p l

^

^

mk

t'nk

=

fb,

= = t P j ± = t

f £ L ± * W =

сх - f е/

\сх

+

е

a — ctP

где р1г

р 2 , . . . , pk

— целые

числа.

Следовательно,

J Я [х, 'У'а2—x2)dx

= [—7? (| a j cos ф,

| а | sin ф) | а | sin фйф =

=

J jRi (sin ф, с о э ф ^ ф ,

где

R-L — рациональная

функция

своих

аргументов.

Аналогичные

результаты

получаем

в

случае

,

^"R{X,

У а?-\-х2)

dx,

(— оо <л;<5со),

если применить

подстановку х — \ а\ tg ф, считая

^-<<Ф<2-^- ,

и в случае

§Р^(х,~У~х2—a2)dx,

(— о о < < д : < — \а\,

\а\<^х<лсо)

1

л

при

пбдстановке

х = |а|

c

p s

^

,считая

0 < 5 ф < —

при лг?>|а| и

- ^ - < Ф < к при

х < — \ а \ .

Пример 3. Вычислить

СУ

9 — х2

^

Полагаем х =

3

IJ

х2

я

cos t 10 < t < п,

t Ф —

2

У

9 — х2

=

3 sin

dx =

—3 sin t dt

и, следовательно,

.

9 cos3 /

cos2

i

1 -

С

М

а < Л

=

-

f

^ ^

+

1 dt = -tgt

+

t + C:

cos2

f

J

cos2 /

+

arc cos

\- C.

Пример 4.

Вычислить

I

и

- j - mdx,

где т — любое ве-

щественное число.

]

У х

2

+

т

J

Для вычисления первого интеграла введем замену переменной по фор­

муле

t =

x +

Ух2

+ т .

Тогда

I 1 I

~

I

*

х+ Ух2

+ т ,

t

,

dt=\

1 +

,

dx —

/

dx =

r

dx.

Ух2 + т

Ух2 + т

У х 2

+ т

dx

=

dt

Ух2

+

т

~~

t

и,

следовательно,

dx

('

dt

= In U | + С .

Ух2

+ т

J /

Возвращаясь к

переменной х , получим

Ух*

d *

+

= In I х + V x2

+ m\ + C.

Второй интеграл можно выразить через первый следующим образом.

Замечая,

что

Ух2

+

т

dx

=

\

х2

+

т

dx=

т

Г

dx

, Г

л.-2 dx

У х 2 + т " ~

"' ] Ух2

+ т

' J

Ух2

+ т '

применим

ко

второму

интегралу

в правой

части

формулу

интегрирования

по

частям, полагая

xdx

х

,

х—и,

-

=

fix:;

Ух2

+

т

тогда получим

Ух"

+

mdx

=

m

Г

у

d x

т

+

г-Уг2

+

т—

\

y x 2

+

mdx,

У х2-\-

откуда

y X

2

+

mdx

= —

(хУ"х2-\-т

+

т

'

d*

2

(

J

Ух2

+

т

Используя

формулу

интегрирования

для

первого

интеграла,

получим

|

yx2

+

mdx

= - ^ - ( х У х 2

+

т

+

т\п

[х

+

Ух2

+

т])

+

С.

3. Вычисление

интегралов

вида

j

R

[х,

~\/~ ах2

+ bx+cj

dx

в

области,

где

ах2

+

Ъх +

с > 0 ,

сводится

к

вычислению

одного

коэффициентов a,

b и с. Для этого нужно лишь квадратичный трех­

член ах2 +

Ьх +

с преобразовать по методу дополнения до пол­

ного квадрата и сделать соответствующую подстановку.

Пример 5.

Вычислить

^

^ Х

Vx2

— 2x + 2

Имеем

х2

— 2х + 2 = (х — I ) 2 + Г.

Полагаем

х -

1 == tg *

л;

<t<

л .

;

—

—

2

2

тогда

dx =

dt

, 1 Л - 2 - 2 х + 2 = -

cos2

cos t

t

и, следовательно,

dx

dt

Vx*

— 2x + 2

I c

o s t

Полагая теперь

tg — = "

( — ! < « < ! )

получим

2dt*

1

1

du =

cos t

1 — u 2

1 — и

1 -f- и

= In 1 + н + С = In

• + C .

1 - й

1 —tg

dx

1 + tg

l + C = l n » + " " ' + C .

In

У A.-2 —

2*4-2

cos t

l _ t g T

= In (tg t +

К 1 + tg2 1)

+ С =

In [x — 1 + 1/x2 — 2A ;+ 2) + C.

'

ГЛАВА

6

I

Исходным понятием в теории определенного интеграла

является

понятие интегральной

суммы. Пусть функция / (х) определена на

конечном

замкнутом

промежутке [а,

Ь],

где а<^Ь. Произведем

разбиение

промежутка

произвольным

образом на п частей

точками

xlt х2, . . . , хп-1, следующими друг

за

другом в возрастающем

порядке:

а = х0<х1<х2

. . . <хп_г<хп_х<хп

= Ъ,

и в каждом частичном промежутке

[xk,

хк+\\ (k = 0, 1, 2, . . . t

п — 1) выберем произвольно по точке \ к

(рис, 49)

Хк

^>к ^

Хк + Г

чены соответственно х0 и хп.

Определение. Интегральной

суммой

ап

для функции f (х)

на

промежутке [й, Ь], отвечающей

данному

разбиению

промежутка

а = х0<х1<.

. .<[хк_{<хп

= Ь

и данному

выбору

промеоюуточныг

точек \ k , называется

сумма

про­

изведений

значений

функции f (х) в точках

\ k

на длины

соответст­

вующих промежутков

[xk,Xk+\]:

°n = f{4

{X-Xo)+f(^)(X2-Xi)

+

---+f{K-MXn-X^l)-

1—1

1

L - l

1

1—1

h->

1

a.=x0

xt

x2

xK

X/<+, xn_f

xn=b

Рис.

49

2 ^

(6-1)

fc=0

Решение многих математических задач связано с нахождением

предела суммы вида (6.1) при безграничном делении

промежутка

[a,

b ] на части. Это обусловило

введение

понятия

определенного

интеграла — одного

из

фундаментальных

понятий

высшей

мате­

матики.

Определение. Конечный предел

последовательности

интеграль­

ных

сумм

(если он существует) для функции

f (х) на

промео/сутке

[а,

Ь] при стремлении

всех длин

частичных

промежутков

Axk к

нулю (в этом случае

число разбиений п стремится к

бесконечности)

и условии,

что этот предел не зависит ни

от способа

разбиения

промеясутка на части,

ни от выбора промежуточных

точек,

назы­

вается определенным

интегралом

(или интегралом)

от

функции

f (х) по промеоюутку

[a, b ] и обозначается

символом

]f(x)dx.

(6.2)

а