книги из ГПНТБ / Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие

A - 6—0

В этом случае значение F (b — 0) показывает, сходится или рас­ ходится данный интеграл.

Для несобственных интегралов от неограниченных функций имеют место признаки сходимости, аналогичные признакам сходи­ мости интегралов по бесконечному промежутку. Основной признак сходимости базируется также на рассмотрении интеграла от абсо­ лютной величины функции.

150

сравнения, доказательство которого аналогично приведенному для

она остается справедливой и в случае неограниченности функции при нижнем пределе интегрирования а.

Теореме можно дать наглядную геометрическую интерпрета­

линии 12. Очевидно, если линия 12 ограничивает конечную площадь, то линия 1Х и подавно ограничивает конечную площадь. С другой стороны, если линия 1Х ограничивает бесконечную площадь, то

151

то данный интеграл сходится и при этом абсолютно.

ГЛАВА 7

НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

7.1. ДВЕ СХЕМЫ ПРИМЕНЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Основное содержание задач, приводящих к вычислению опреде­ ленных интегралов, состоит в том, что ищется значение некоторой величины А, соответствующее промежутку [а, Ь] изменения не­ зависимой переменной х, причем величина А обладает тем свойством,

чале находится приближенное выражение для величины А. Для этого промежуток [а, Ь] разбивают на частичные промежутки и, исходя из условий задачи, вычисляют приближенное значение рас­ сматриваемой величины на каждом частичном промежутке, пропор­ циональное длине соответствующего промежутка.

В качестве приближенного выражения для величины А, в соот­ ветствии со свойством аддитивности, принимают сумму ее прибли­ женных значений на всех частичных промежутках, представляю­ щую собой интегральную сумму для некоторой известной функции на промежутке [а, Ь]. Затем вычисляют точное значение искомой величины путем перехода к пределу интегральной суммы при без-

152

граничном измельчении промежутка изменения независимой пере­ менной. Таким образом, искомая величина оказывается равной определенному интегралу от некоторой известной функции.

При решении задачи по второй схеме изучаемую величину рас­ сматривают как функцию Ф (х) независимой переменной х на про­ межутке [a, b ] и находят дифференциал этой функции

йФ (х) = / (х) dx.

Так как величина Ф (х) обладает свойством аддитивности, то очевидно, что

ф (6) = Ф (а) + Л,

откуда

А — Ф (Ь) — Ф (а). Но по формуле Ньютона — Лейбница

A =$d<b{x) = ti{x)dx.

аа

Для нахождения дифференциала '<2Ф (х) произвольно фиксиро­ ванному значению х на промежутке [a, b ] дают произвольное при­ ращение Ах = dx и вычисляют приближенное значение прираще­ ния функции АФ (х), пропорциональное Ах, т. е. находят главную часть приращения функции. Обычно это та часть приращения функ­ ции, которая получается при условии, что все величины, опреде­ ляющие Ф (х), не меняются на промежутке [х, х + Ах] и равны значениям в точке х.

Ниже приведены решения некоторых простейших задач с при­ менением указанных схем.

7.2.ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

Задача о вычислении площади плоской фигуры формулируется следующим образом: на плоскости дана фигура, ограниченная ли­ нией L . Зная уравнение линии, найти площадь фигуры — Q.

Рассмотрим решение этой задачи в прямоугольной и полярной системах координат.

Вычисление площади плоской фигуры в прямоугольных координатах

В § 6,1 было показано, что интегральная сумма для неотрица­ тельной функции f (х) на промежутке [а, Ь] дает приближенное' значение площади криволинейной трапеции, ограниченной графи­ ком этой функции. Отсюда следует, что площадь Q криволинейной трапеции (рис. 67), ограниченной линией у — / (х), расположенной

153

над осью х и вертикальными прямыми х = а, х = b (a<^b), опре­ деляется формулой

аа

Ясно, что если линия расположена под осью х (рис. 68), то

Рис. 68

Если фигура ограничена сверху линией у = f (х), а снизу —ли­ нией у = ср (х) (рис. 69), то ее площадь

так как она представляет собой разность площадей криволинейных трапеций, ограниченных этими линиями. Формула (7.3) справед­ лива при любом расположении линий относительно оси х [конечно, при сохранении условия, что f (х)>- ср (х) ]. Вычисление площади более сложной фигуры может быть выполнено при помощи формул (7.1), (7.2) и (7.3) путем соответствующего разбиения фигуры на части и суммирования их площадей. Так, например, при вычисле­ нии площади фигуры, изображенной на рис. 70, ее можно разбить, например, на три фигуры, площади которых вычисляются по фор­ муле (7.3).

Пример 1. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной па­ раболой у = 4Л:2 — 1 и прямыми х — 0 и х = 1 (рис. 71).

154

Из чертежа видно, что рассматриваемая фигура состоит из двух частей: криволинейной трапеции D x , расположенной ниже оси х, и криволинейной трапеции Z?2 , расположенной выше оси х. Вычисляя площади этих фигур по формулам соответственно (7.1) и (7.2), получим

_1_

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной гиперболой у =

У

Из чертежа видно, что данная фигура ограничена сверху линией у =

=— и снизу — линией у = — х. Для вычисления площади по формуле

155

Вычисление площади плоской фигуры в полярных координатах

Пусть фигура ограничена линией, заданной уравнением в по­ лярных координатах

Для этого разобьем данный сектор на более узкие секторы при по-

искомой площади, считая, что в пределах каждого частичного сек­ тора, ограниченного лучами ф = q>k и ф = Ф^+р полярный радиус не изменяется. При таком условии частичный сектор можно считать

кругового сектора, как известно из геометрии, равна — [/ (|f t )]2 Дфй . Таким образом, приближенно площадь частичного сектора

156

Так как площадь всего криволинейного сектора

п—1

Q=2>Qk,

то приближенное значение этой площади будет

я—1

Точное значение площади равно пределу полученной суммы при max Дф/, -*• 0; но эта сумма представляет собой интегральную

сумму для функции — / 2 ( ф ) на промежутке [а, В], и ее предел равен

Рр

| ^ - / 2 ( ф ) ^ Ф = | ^ Р 2 ^ -

аа

Таким образом,

Q=4-'J"pBdq>. (7.5)

Задача была решена по первой схеме применения определенных интегралов. Решим теперь для примера эту же задачу, пользуясь второй схемой. Обозначим -через Q (ф) переменную площадь кри­ волинейного сектора, отсекаемого лучом, проведенным под углом Ф ( а < ! ф < ; р ] . Далее дадим фиксированному значению ф (рис. 75)

Л 2 ( ф ) = - ^ - р 2 Л р .

157

Интегрируя полученное выражение в пределах от а до р\ при­ ходим к формуле (7.5).

Вычисление площадей сложных фигур в полярных координатах может быть произведено путем разбиения их на более простые, площади которых вычисляются по формуле (7.5).

158

7.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА ПО ПЛОЩАДЯМ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

Вычисление объемов * тел в общем случае рассматривается в разделе «Интегральное исчисление функций нескольких перемен­ ных». Однако некоторые частные случаи этой задачи могут быть решены уже сейчас.

Пусть дано тело конечных размеров, для которого известны пло­ щади всех сечений, перпендикулярных некоторой прямой (рис. 78). Найдем объем этого тела. Будем решать задачу по первой схеме применения определенных интегралов. Примем указанную прямую за ось х и обозначим через а и Ь (а<^Ь) абсциссы точек пересечения

с осью крайних плоскостей, ограничивающих тело. По условию

с осью х. Разобьем данное тело на л слоев при помощи плоскостей,

[xk<lk<xk+l).

*-Мы исходим из интуитивного представления об объеме тела, ограни­ ченного кривой поверхностью. Строгое определение этого понятия можно найти, например, в книге Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц . «Основы математиче­ ского анализа», т. 1.

159