Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

6.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1814 15 16 17 18 > Следующая >>>

6.4.ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Вычисление определенного интеграла исходя из его определе ния практически выполнимо лишь для очень простых функций. В связи с этим в интегральном исчислении разработаны способы вычисления определенных интегралов, которые не требуют выпол нения операций по составлению интегральных сумм и нахождению их предела.

Основной способ вычисления определенных интегралов бази руется на связи определенного интеграла от данной функции с ее неопределенным интегралом.

Связь .между определенным интегралом от данной функции и ее неопределенным интегралом

Пусть функция f (х) интегрируема по промежутку								[а, Ъ].	Возь
мем произвольное х из промежутка					[а, Ъ ] и рассмотрим определен
ный интеграл от функции / (х)			по промежутку			[а, х].	Геометрически
		в	случае ' непрерывной				функции			/ (х)
		этот интеграл выражает					площадь			кри
		волинейной трапеции, ограниченной								гра
		фиком функции у = f (х)					между точками
		а и х (рис. 56). Очевидно, каждому
		значению х из промежутка						[а, Ь]	будет
		отвечать			определенное		значение		инте
		грала		(геометрически определенная						пло
		щадь		отсекаемой		части	криволинейной
Рис.	56	трапеции). Таким				образом,		рассматри
		ваемый			интеграл	представляет			собой

		однозначную функцию х.					Обозначая			эту
функцию через F (х) и, во избежание путаницы,— переменную										ин
тегрирования	на промежутке		[а, х]		через t,	будем	иметь
									(6.11)

Функция F (х) определена в том же промежутке [а, Ь\, что и подынтегральная функция f (х), причем очевидно, что на концах этого промежутка

F(a) = 0,	F{b)=)f(t)dt
Функцию F (х) называют	о п р е д е л е н н ы м	и н т е г р а

л о м с п е р е м е н н ы м в е р х н и м п р е д е л о м .

Связь между	определенным интегралом от данной функции и ее
неопределенным	интегралом устанавливается	исходя из следую
щей фундаментальной теоремы интегрального		исчисления.

130

'Теорема 1. (Барроу). Если функция f (х) непрерывна на проме жутке [а, Ь], то интеграл

F(x)=]f{t)dt

с переменным

верхним

пределом

имеет

производную,

равную

значе

нию

подынтегральной

функции

при верхнем

пределе,

т. е.

F'[(x)

= {\ant)dt)

=f{x).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Вычислим

производную

функции

F (х) исходя из определения

производной. Для этого дадим фикси

рованному значению х из промежутка

[а, Ъ ] произвольное

прира

щение Ах (конечно такое, чтобы точка х +

Ах не выходила за про

межуток [a, b 1) и найдем соответствующее ему приращение

функ

ции F (х)

. v + Д *

AF(x)

= F(x + Ax) — F{x) = j

f {t) dt—^f

(t)dt =

л--|- Д.1-

x+Ax

Sf№t+

f{t)dt-ttV)dt=

f(t)dt.

Применяя

к последнему

инте

гралу теорему о среднем

получим

AF (х) - /

(I)

Ах,

где

£ — некоторая

точка

между

х и х - j - Ах. Таким

образом,

A.F (х)

Ах

Рис.

Замечая теперь,

что при Ах ~> 0 £ ->• х и учитывая

непрерыв

ность функции f (х), получаем

/•'(*) = lim

А Р л (

х )

= П т / ( £ ) = / ( * ) •

Геометрическая

ДА--О АХ

1->х

ясна из рис. 57: при

иллюстрация

теоремы

Ах

0 ординаты графика в точках £ стремятся к ординате в точке х.

Теорему Барроу

можно

сформулировать

иначе: если

функция

f (х)

непрерывна на промежутке

[а, Ь], то определенный

интеграл

J / (t) dt с переменным

верхним

пределом

есть одна

из ее первооб-

следует, что

разных на этом промеоюутке. Отсюда

$fXx)dx = $f(t)dt

+ C.

(6.12)

131

Формула Ньютона—Лейбница

Полученная связь между определенным и неопределенным ин тегралом (6.12) позволяет получить основную формулу для вычис

ления определенного				интеграла.
	Теорема 2. Если			функция		f (х)		непрерывна	на	промежутке
[а, Ь], то определенный					интеграл		от этой функции		по	промежутку
[а,	Ь] равен	разности			значений		какой-либо первообразной				для нее
при	верхнем	и нижнем			пределах		интегрирования,		т. е.
				ь							(6.13)
				Sf(x)dx		= 0(b)—0(a),
				а
где Ф (х) —любая			первообразная				для f (х) на промежутке				[а, Ь].
	Д о к а з а т е л ь с т в о .					Если		Ф (х) — какая-либо			первооб
разная для / (х),			то она содержится					в неопределенном интеграле

(6.12) и может быть получена из него при некотором значении про извольной постоянной С. Обозначая это значение через Clt полу чим

		0(x)	= jf(t)dt		+ Cl.
			а
Для определения С х положим в этом равенстве							х — а; тогда
получим			Сх = Ф (а). .
Таким образом,			Сх = Ф (а). .
Таким образом,
		0(x)=fa(t)dt			+ 0 (а)
			а			'
ИЛИ
		jf(t)dt	=		0(x)-d>(a).
		а
Полагая теперь х = b и возвращаясь к прежнему							обозначению
переменной интегрирования, получим равенство (6.13).
Равенство	(6.13)	называется		формулой		Ньютона — Лейбница;
она является	основной формулой интегрального исчисления.
З а м е ч а н и е .		Для разности			значений	функции f (х) в двух
точках baa	употребляется обозначение
					ь
		ср(Ь) — <p(a) = q>(x) \| -
					а
Иногда употребляется			также	обозначение [ср (х)			Учитывая
это, формулу	Ньютона — Лейбница можно записать в виде
		\f(x)dx		= 0(x)\b-			(6.14)

132

Таким образом, теоремой Ньютона — Лейбница решается до конца вопрос о вычислении определенных интегралов от функций, неопределенные интегралы которых могут быть выражены в ко нечном виде.

Пример 1.
з			з
. \хЧх		= ~х*}	= - L ( 3 * - I ) = 20.
l			l
Пример 2.
п			л
j* sin xdx = — cos х J = 1				+	1 = 2 .
b			о
Пример 3.
dx		,	л	/	it \ _ я
У1 + x2	=arctg>;		= — -	(	7) ~ T •
У1 + x2			4	(	7) ~ T •
—1			—l
Вычисление определенных					интегралов
от кусочно-непрерывных функций
Если функция / (х) на промежутке				[а,	Ь ] имеет конечное число

разрывов первого рода, то вычисление интеграла от нее также мо жет быть выполнено при помощи формулы Ньютона — Лейбница на основе свойства аддитивности интеграла относительно проме жутка интегрирования. Промежуток [а, Ъ) разбивается точками разрыва на промежутки, в каждом из которых функция непрерывна, вычисляются интегралы по этим промежуткам и берется их сумма.

Если, допустим, а<;сх -<Со,				. . . , ст	^ Ь точки разрыва	функ
ции	/ (х), то
	lif(x)dx	= jf(x)dx	+ b(x)dx+		. . . + ]f{x)dx.	(6.15)
	а	а	с,	_	с т
З а м е ч а н и е . Формула				Ньютона — Лейбница применима'
для	функции,	непрерывной на		замкнутом промежутке.		Однако

в рассматриваемом случае на частичных промежутках она может иметь разрывы на концах, если соответствующие односторонние пределы не равны значениям функции в этих точках. Для того чтобы оправдать применимость формулы в этих случаях, можно счи тать значения функции в точках разрыва измененными на значе ния соответствующих односторонних пределов. Как известно (§ 6.3, свойство 8), изменение значений функции в конечном числе точек не влияет на величину интеграла.

Геометрически интеграл от кусочно-непрерывной функции вы ражает сумму площадей криволинейных трапеций, образуемых графиком этой функции (рис. 58).

133

Пример 4. Вычислить интеграл от функции

Г	х 2	0 < х < 1
/ ( * ) =	- 1	* = 1

{3 - х 1 < х < 2.

Данная функция (рис. 59) имеет один конечный разрыв в точке х = Ь

Поэтому

1 f (х) dx = С x-dx +С

(3 — х) dx = — л?

	2
+ I Зх -	11
+ I Зх -	— х 2
1	2

Рис. 58	Рис. 59
При вычислении интеграла для обеспечения	непрерывности подынтег

ральной функции на промежутках [0, 1 ] и [1,2] мы считали, что на правом

конце промежутка	[0, 1] значение функции равно I (1 — 0) = lim х 2	= 1,
	х ~ 1 — о
а на левом конце	промежутка [1, 2] равно f, (1 + 0) = lim (3 — х) =	2.
	лт-1 + 0

6.5.ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

ИНТЕГРАЛОВ

Основные методы вычисления неопределенных интегралов — замена переменной интегрирования и интегрирование по частям — применимы и к вычислению определенных интегралов.

Рассмотрим сначала метод замены переменной интегрирования (метод подстановки).

Теорема 1. Если в определенном интеграле J' / (л:) dx от непре-

рывной функции f (х) произвести				а	интегрирования
				замену переменной
при помощи	функции	х =	ср (t),	непрерывной вместе со своей		произ
водной в промежутке		[а, \|5], соответствующем промежутку				[а, Ь\
изменения переменной		х, так, что ц> (а) = а, ц> (\|3) = Ь, и				имеющей
однозначную	обратную функцию			t = я\|з (х), то
	]f(x)dx		= ]f[y{t)W{t)dt.		(6.16)

134

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть F (х) — какая-нибудь перво образная для выражения fix) dx. Тогда интеграл в левой части равенства (6.16) равен F (b) — F (а). Покажем, что этому же числу равен интеграл в правой части. По свойству инвариантности фор

мул	интегрирования		функция	F	[ц> (t)]	является	первообразной
для	выражения
	f [Ф	(t) ] d<f (t)		=	/ [ср (t) ] Ф'	(t) dt,
следовательно,
P			R	••Fl<pW]-Fl<p(a)]=F{b)-F(a).
				••Fl<pW]-Fl<p(a)]=F{b)-F(a).
З а м е ч а н и е			1. Для вычисления определенного интеграла
могут применяться			подстановки		в виде t — ар (х),		ф (t) — ар (х),
а также в виде уравнения Ф (х,					t) = 0, определяющего одну пе
ременную как неявную функцию другой.
З а м е ч а н и е		2. При вычислении определенного интеграла
методом подстановки			нет надобности в полученной				первообразной

возвращаться к первоначальному аргументу. Достаточно вычис лить разность значений этой первообразной при верхнем и нижнем

пределах интегрирования		по новой переменной?'
		1
Пример	1. Вычислить	^~\/~\ x-dx.
Делаем	подстановку	о
Делаем	подстановку

			х = sin /		0	t<	к
			х = sin /		0	t<	—
							2
при х = 0	t — 0;	при	х =	1 t =		, следовательно,
	Y1	— x2dx =		cos2	tdt	= -jr-	Г (1 +		cos 2t) dt--
	tJ		J			4 K
				I	1	I			it
			t	-\	2	sin 2t I
				о			о
Пример 2. Вычислить				dx
Пример 2. Вычислить				1 +	V*
				1 +	V*
Делаем	подстановку x =			t~, считая 2>.0.				Находим		новые пределы ин
тегрирования: при х =			0 t =	0; при х — 4 t =				2. Таким образом,
dx	2tdt					dt =	2\t—		In (1	+t)] • 2(2 — In 3).
\+У~х	l + t					dt =	2\t—		In (1	+t)] • 2(2 — In 3).
\+У~х	l + t			1 +		t.

135

Теперь рассмотрим метод интегрирования по частям.

Теорема

Если

промежутке

(а,

Ь) функции

и (х)

и v (х)

непрерывны

имеют

непрерывные

производные, то

j " и (х) v' (х) dx = и (х) v (х) j — j v (х) и'' (х) dx.

(6.17)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из тождества

(uv)'

= u'v + uv'

имеем

uv' — (uv)' — vu',

поэтому

ь .

j " uv'dx =

J" [(uv)' — vu'] dx = \ (uv)' dx—\

vu'dx,

откуда, замечая,

что для функции

(uv)'

первообразной

является

функция

и,

следовательно,

.ь

$ (uv)' dx=

uv I

получаем

требуемое

равенство.

З а м е ч а н и е .

Часто формулу

(6.17)

пишут в виде,

напоми

нающем формулу (4.13) для неопределенных

интегралов:

\udv

= uv\—\vdu.

(6.18)

В этом случае следует иметь в виду, что в обоих определенных интегралах интегрирование производится по переменной х, а не v и и, как это формально следует из формы записи интегралов.

					з
Пример	3.	Вычислить			Jx	In xdx.
					2				dx.	v
									dx.	1
Полагаем		In x =	и,		xd x =		dv;	тогда	du = —'— ,	v = — x2, следо-
вательно,									x	2
вательно,
^		1			3		j	3	g	g
j" x In xdx =			x2	In x I			^- Г xdx =		In 3 — 2 In 2 — — j - .
2					2	^	2			4
					л
Пример	4.	Вычислить			J ex sin x			dx.
					о
Полагаем		sin x =	u,	etdx — dv,				тогда
					du =		cos xdx, v =		e*.
Имеем
	Я					Я	Я '		я
	j e*sin xdx =			ex	sin л; \|		—J e* cos xdx — —J e* cos xdx.
	о					o o			о

136

К полученному		интегралу снова применяем формулу интегрирования
по частям,	полагая	cos х = и, exdx		=	dv. Получаем
я		я		я	я
j ех	sin xdx =	— е* cos х \|	— [ ех		sin xdx = е я + 1 — [" е* sin xdx,
о		o	b		b

откуда

6.6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

На практике часто приходится иметь дело с интегралами от функций, первообразные которых не выражаются в конечном виде, а также от функций, заданных не аналитическим (формулами), а иными способами, например табличным или графическим. Во всех таких случаях формула Ньютона — Лейбница не может быть при менена и обычно определенный интеграл вычисляется при помощи приближенных методов. 4

В связи с развитием вычислительных машин приближенные ме тоды вычисления определенных интегралов получили широкое распространение. Более того, им дается предпочтение даже в тех случаях, когда функция имеет конечную первообразную, но она настолько громоздка, что вычисление интеграла по формуле Нью тона — Лейбница требует очень большой вычислительной работы.

Наиболее универсальными методами приближенных вычисле ний определенных интегралов являются методы численного ин тегрирования, которые особенно удобны при использовании - вы числительных машин. Формулы численного,интегрирования дают приближенные значения определенного интеграла по известным

значениям функции в некоторых точках промежутка							интегрирова
ния. В основе вывода этих формул лежит замена						рассматриваемой
функции ее приближенным			выражением.
Рассмотрим	простейшие		формулы	численного		интегрирования.
Пусть требуется			b	dx.	Разобьем		промежуток
		вычислить J f (х)
			а
интегрирования	[а,	Ь] на	и равных частей		при	помощи точек
a = * o < * i < * 2 < . . . <xn-l<xn					= b

и обозначим значения функции / (х) в точках деления xk через yk

yk = f(4) (ft = 0, 1, 2, . . . , п).

• Величина

равная длине частичных промежутков [xk, хк+\\, называется ш а - г о м интегрирования.

137

Формулы прямоугольников

Формулы прямоугольников получаются, если в каждом частич ном промежутке [хк, Xk+i] принять функцию f (х) постоянной и равной ее значению либо на левом конце промежутка — ук, либо на правом конце —Ук .,.у Так как

$f(x)dx=	ff(x)dx +	ff(x)dx+	. . . + ]' f(x)dx,
то в первом случае получим
	ь
	^f{x)dx^h[y0	+ yl +	. • • +Уп_{)

Рис. 60

или
lf{x)dx:	[Ух+У\-	(6.19)
во втором случае
ь		(6.20)
$f(x)dx;	'(У1 + У2-	(6.20)

С геометрической точки зрения (рис. 60) при вычислении ин теграла по формулам прямоугольников (6.19) и (6.20) график функ ции / (х) заменяется приближенно одной из ступенчатых ломаных, и величина площади криволинейной трапеции, ограниченной гра фиком функции f (х), приближенно принимается равной площади, ограниченной этой ломаной, т. е. сумме площадей прямоугольни ков. Погрешность формул прямоугольников стремится к нулю при безграничном увеличении числа точек деления п.

Заметим без доказательства, что абсолютная величина ошибки

Rпри вычислении интеграла по.формулам прямоугольников (6.19)

и(6.20) может быть выражена следующим образом:

\R\ = - (Ь-.ау	I f	© I .	(6.21)
где I — некоторая точка на промежутке		[а,	Ь].

138

Если производная функции / (х) на промежутке [а, Ь] ограни

чена

\Г(х)\<М,

т с из формулы (6.21) получается следующая оценка величины R

	Формула трапеций
Эта формула получается, если, как и прежде, промежуток			ин
тегрирования	[а, Ь] разбить на п равных частей с шагом h —b~a		>
			п
но на каждом	частичном промежутке	х й + 1 ] подынтегральную

функцию у — f {х) заменить линейной, совпадающей с ней на кон цах, т. е. применить линейную интерполяцию

		y=yk+	У к ^ 7 У к	(-*)•
Так как в этом		случае
xk+i	xk+i
J	f(x)dx	Ук+Щг^-{х-хк)			dx = y	* \	y ^ h,
xk	xk
TO
	f{x)dx^h(^±J^		+ ^±J^	+	Уп-l	+	Уa
	f{x)dx^h(^±J^		+ ^±J^	+

139

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1814 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ