Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

6.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1815 16 17 18 > Следующая >>>

или
I	f (х) dx Ь — а(Уо + Уп	+ У1 + У2 +	(6.22)
I

Вычисление интеграла по формуле (6.22) с геометрической точки зрения (рис. 61) означает замену графика функции вписанной ло маной и, следовательно, замену величины площади криволиней ной трапеции, ограниченной ее графиком, суммой площадей пря

моугольных трапеций,	ограниченных		этой ломаной.
Доказывается, что ошибка R при вычислении интеграла по фор
муле трапеций (6.22)	выражается следующим образом:
		12/г2	•га),	(6.23)
где 5 — некоторая точка на промежутке [а,				Ь].
Если вторая производная функции / (х)				на промежутке [а,	Ъ ]
ограничена	\| / " ( * ) < М ,

то из формулы (6.23)	получается следующая оценка величины				R
	<	( 6 - а ) 3 • м.
		12я2
Формула парабол		(формула Симпсона)
Эта формула получается, если подынтегральную функцию ин
терполировать многочленами второй			степени
	у = Ах2	+ Вх + С,		(6.24)
т. е. параболами с вертикальной осью симметрии.
Покажем предварительно, что через любые три точки (х1г					ух)
(*2> Уг), (хз> Уз) с различными		абсциссами всегда можно' провести

параболу (6.24) и при том только одну. Для этого достаточно пока


зать, что определитель, системы линейных			уравнений
( Ax\ + Bxx	+ C =		yv
Ах22 + Вх2	+	С^у2,
Ах1 + Вх3	+	С^уя,

определяющей коэффициенты А, В, С квадратичного трехчлена (6.24), отличен от нуля. Вычислим определитель системы

А =

х \

хг

140

Вычитая элементы первой строки из элементов второй и третьей строк, получим

				1
•^2	^ \	"^2	^1	^ ~ (Х2 ^ l ) (^3 ^ l ) X
х \	х \	хг	х\	^
		хх	1

X x% + *i 1 О = ( х 2 — X i ) ( х 3 — х а ) ( х 2 — х 3 ) .

x 3 - f xx 1 О

				X 2/(W хяк+г		хп~ь
			Рис.	62
Так как абсциссы точек хг,			х 2 , х3 различны, то Д Ф 0.
Разобьем	теперь	промежуток		[а,	Ь] на четное число равных
частей п = 2 т и представим			искомый		интеграл	в виде суммы
Ь	> \ А'з	*4			*2m
Jf (X)dx= J f(x)dx+ J f(x)dAT+ . . . + / J							/(x)dx.
a	*o	^2			A '2m—2
На каждом сдвоенном промежутке					jx,A , x 2 f t + 2 ]		длины

•^гй+г х2к~2Ь

заменим функцию / (х) квадратичным трехчленом вида (6.24), сов

падающим с нею в точках х^, x 2 k + v % + 2 ,		[геометрически (рис. 62)
параболой, совпадающей с	графиком	функции	f (х) в точках
(»' У»)' {x2k+v Угь+i) [x2k+2>	#2*+?)]» и	вычислим	приближенное

значение интеграла на этом промежутке.

141

Учитывая,

что

x2k

x2k+2 =

2л'2 / ,+ 1 ,

последовательно

нахо

дим:

x2k+2

х2к+2

(X'fft + 2

*2fc)

^ [X2k + 2

X2k)

—

T3 i 2

(4k+2

+ X2kX2k-V2

+ Xlk)

+ 35 (% + X2k+2) +

6C]

= T К A

C ) +

(

+ C)

+ A

(**

+ X2k + 2f

2B [х2к + x2k+2)

+ 4C] =

- | - ( y 2 f t + 2

#2 f t

ty2fc+1);

суммируя теперь эти значения интегралов по /г (/г =

0, 1, . . . , т),

получим

Jf(x)dA: =

—(г/0

г/2 +

4//1 + г/2 +

у4

4г/з+

• • •

ао

•• • +У2,п-2 + У2,п — 4У2,п-1)-

Таким образом, формула Симпсона имеет вид:

	[ f ( Х ) А Х = Ь~1ЬГ	№° + У ^	+ 2	(^2 +	V4 И" • • • + У2т-2)			+
		+ Цу1+у3+		. . .	+ i r a	m _ I ) ] .		(6.25)
	Исследования показали, что ошибка R при вычислении интег
рала по формуле Симпсона (6.25) выражается следующим								образом:
		R =	( 6 - " ) 5 ;<ГУ) ( § )					(6.26)
где	£ — некоторая	точка на	промежутке			[а,	Ь].
	Если четвертая производная функции f					(х)	на промежутке [а,		Ъ ]
ограничена
		\| f ( I V ) * \| < M >
то	из формулы (6.26) получается следующая оценка величины								R:
		'	'	180л*

З а м е ч а н и е 1. Сравнивая выражения (6.21), (6.23) и (6.26), определяющие погрешности вычисления интегралов по формулам соответственно прямоугольников, трапеций и парабол, замечаем, что в первом случае число делений п промежутка [а, Ь] входит

142

в знаменателе в первой степени, во втором — во второй степени, а в третьем — в четвертой степени. Следовательно, при п -± со по грешность вычисления интеграла по формулам прямоугольников является бесконечно малой первого порядка, по формуле трапе ций — бесконечно малой второго порядка, а по формуле парабол — бесконечно малой четвертого порядка.

З а м е ч а н и е 2. Приведенные оценки погрешности при чис ленном интегрировании имеют в основном теоретическое значение. На практике они применяются редко.

Обычно оценка точности вычисления определенного	интеграла
производится, исходя из следующих соображений.	Прибли
женная величина интеграла, вычисляемая по какой	либо фор

муле численного интегрирования, рассматривается как функция /„

целого	числа п — количества	точек деления промежутка интегри
рования, причем так как
	П т /„ = /,
	я-* со
где /	-т- точное значение интеграла, то при достаточно больших
пит	абсолютное значение	разности /„ — 1т становится сколь

угодно малым. Исходя из этого вычисляют последовательно при

ближения 10, / 1	( / 2 , . . . и сравнивают каждое новое приближение
с предыдущим,	определяя модуль их разности: \|"/2 — / 3 1 , \13 — /4\|.
'Вычисления продолжают до такого значения п при котором
	\1	— I	1<е, '
	\|	п	п + 1 \| ^ '

где е — заданная точность вычисления интеграла. При получении такого результата считают, что /„ и / л + 1 отличаются от точного значения интеграла / меньше, чем на &, т. е., что требуемая точность достигнута.

Такой прием особенно часто применяется при работе на совре менных вычислительных машинах, когда затраты труда на вычис ление значений подынтегральной функции оказываются не сущест венными.

6.7.НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Вначале этой главы было дано определение определенного ин теграла. При этом существенными условиями являлись: конечность промежутка интегрирования и ограниченность функции на этом промежутке. Теорема существования (§ 6.2) — гарантирует в этих условиях существование интеграла от всякой кусочно-непрерывной функции. Однако, исходя из теоретических и практических сообра жений, целесообразно обобщить понятие определенного интеграла на случаи, когда указанные ограничения не выполняются. Такие интегралы, в противоположность рассмотренным (собственным) интегралам, называются несобственными. Рассматриваются два основных типа несобственных интегралов: интегралы от непрерыв-

143

ных функций по бесконечному промежутку и интегралы от неогра ниченных функций по конечному промежутку. Другие случаи не собственных интегралов являются комбинациями указанных.

Интегралы от непрерывных функций по бесконечному промежутку

Пусть функция f [х) определена

и непрерывна

промежутке

[а, со) . По теореме существования

при

любом конечном А ^>> а

который

является

функцией

верхнего

пре-

существует Г / (л;) dx,

дела

А.

Определение. Несобственным

интегралом,

от

функции

f(x)

по

промежутку

[а, со), обозначаемым

символов

со

dx,

называется

[ f(x)

предел

lim

dx.

f(x)

А-'со

Таким образом,

по определению

со

{ f (х) dx = lim J f (x) dx.

(6,27)

А—со

Несобственный

интеграл

(6.27) называется

с х о д я щ и м с я ,

если указанный предел конечен,

и р а с х о д я щ и м с я ,

если он

равен бесконечности или не существует.

Факт сходимости

интеграла

записывается в

виде

неравенства

со

f(x)dx<co.

j "

Аналогично определяется

несобственный

интеграл

от

функции

f (х) по промежутку

(— с о , а ] :

f(x)dx=

lim

$f(x)dx.

(6.28)

—со

А •» —со А

Наконец,

несобственный

интеграл от

функции / (х) по проме

жутку

( — с о ,

со) определяется

так:

со

f(x)dx=

f (x) dx + jf

(x) dx,

(6.29)

—со

где a — произвольное

число.

Интеграл в левой части считается сходящимся, если

сходятся

оба интеграла в правой части; если хотя бы один

из

этих

интегра-

лов расходится, то расходится

и интеграл J

оо

/ (х) dx. Можно по-

—со

казать, что сходимость интеграла и его значение не зависят от вы бора числа а.

144

Ниже рассматриваются несобственные интегралы с бесконечным верхним пределом интегрирования, так как теория несобственных

аоо

интегралов вида J / (х) dx и j " f (х) dx аналогична.

—оо —оо

оо

Геометрически несобственный интеграл Г f (х) dx от непрерыв-

ной неотрицательной функции / (х) можно интерпретировать как площадь Криволинейной трапеции, ограниченной графиком функ ции и простирающейся в бесконечность (рис. 63). Если интеграл сходится, то-эта трапеция имеет конечную площадь, если расхо дится — площадь бесконечна.

0 0

На несобственный интеграл J / (х) dx может быть распростра-

нена формула Ньютона — Лейбница. Если F (х) — первообраз ная для f (х) на промежутке [а, с о ) , то

ооА

J f(x)dx	= \\m j f(x)dx	= \im[F(A)—F{d)]	= F(oo)—F(a),	(6.30)
а	Л-»оо а	А -*со

где

F{co) = \imF{A).

А-•оо

Вэтом случае значение F (со) показывает, сходится или расходится данный интеграл.

Пример

Рис. 63

ОО-

ОО

Г dx

х2

• arc tgx

- ,

.»л

1 +

lim arc tg х — arc tg 1 =

= —

Интеграл

сходится

равен

Пример

ОО

J xe~xdx=

—хе~~х

4-J

e~~xdx =

—\imxe~

1 — lim хе х .

х -*°°

Находим,

применяя правило

Лопиталя,

lim хе х

lim —

= lim — =

Л'-.ОО

Х-ЮО

е*

Х - О О

е х

Следовательно,

данный

интеграл

сходится

и равен

Пример

Вычислить

6 Заказ № 1181

145

Следует			рассмотреть	два случая: ft	Ф 1, ft = 1;
при	ft	ф	1
dx						со	при ft <;	1,
dx				lim		1
xk		l—kx' .к—1		lim	xк—1
				1 — ft \л--со			при ft •>	1;
				1 — ft \л--со		1
						1
при ft =	1

	I	= In X	= со;
		= In X	= со;
со
следовательно, Г	— сходится при ft >		1 и расходится при ft < 1.
J	**

Часто бывает достаточно установить лишь факт сходимости или расходимости несобственного интеграла. Для этой цели сущест вуют несколько признаков. Основной признак сходимости основан на рассмотрении интеграла от абсолютной величины функции.

со	называется
Определение. Несобственный интеграл J \| / (х) dx	называется
а
со	(х) \| dx. Если
абсолютно сходящимся, если сходится интеграл J \| /	(х) \| dx. Если
а

со

интеграл

[ / (х) dx

сходится,

a j

| f (х) | dx расходится,

то

он

. а

сходящимся.

называется

неабсолютно,

или условно,

Теорема

1. (Признак

сходимости.)

Несобственный

интеграл

оо

сходится,

если

он

абсолютно

сходится.

Эту

теорему

| / (х) dx

приводим без доказательства.

З а м е ч а н и е .

Из

расходимости

| / (х)

не

интеграла j

следует

расходимость

оо

/ (х)

dx.

Для

установления

абсолютной

сходимости интеграла

(и, сле

довательно, его сходимости) могут быть использованы признаки сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функ ций. Одним из этих признаков является признак сравнения, ко

торый определяется		следующей	теоремой.
Теорема	2. Если	на промежутке		[а,	со) функции		ц> (х)	и f	(х)
непрерывны,	неотрицательны		ср (х)!>0,		/ (х)^-0)	и	ср (х)	(х),
	оо	f (х) dx следует			оо	ср (х) dx,		а	из
то из сходимости J		f (х) dx следует		сходимость J		ср (х) dx,		а	из
	а				а
	оо				оо

расходимости J ср (х) dx следует расходимость J / (х) dx.

146

Предварительно заметим, что для установления сходимости

со

(расходимости) интеграла | яр (х) dx от неотрицательной функции

яр (х) достаточно убедиться в ограниченности (соответственно не-

ограниченности) функции W (Л) = J яр (х) dx при А >• а. Дейст-

вительно, функция Т (Л) монотонно растет с ростом А, а моно тонно возрастающая величина всегда имеет предел. Этот предел конечен, если величина ограничена, и равен бесконечности, если она неограничена. Таким образом, для неотрицательной. на проме жутке [а, со) функции яр (х) может иметь место одно из двух: либо

со

<• со

(интеграл

сходится),

либо

со

яр (х) dx

= со

(ин-

f яр (х) dx

[

теграл расходится).

Обратимся теперь к доказатель- У

ству теоремы. Из условия

ср (х)

<!/ (х)

по свойству 6 определенных интегра

лов

(§ 6.3)

имеем

при

любом

Ф (х) dx

< J

f (х) dx.

(*)

Рис.

Пусть

J f (х) dx

сходится. Следовательно, при

А^а

функ-

ция

F (А)

f (х) dx

ограничена,

тогда

из

неравенства

(*)

заключаем,

что ограничена и функция

Ф (А)

ф (х) dx„

Итак,

оо

сходится.

| Ф (х) dx

со

Пусть

при А

со функ-

[ ф (х) dx расходится. Следовательно,

ция

Ф (Л)

ф (х) dx неограничена,

а тогда

из

неравенства

(*)

заключаем,

что

неограничена и функция F (Л) =

со

т. е.

J / (х) dx,

со

расходится.

J / (х) dx

Этой теореме можно дать наглядную геометрическую интерпре

тацию. Пусть линии 1Х и 12

изображают графики функций у =

ф (х)

и У = f (х)

(рис

64); так как ф ( x ) < f (х), то линия 1Х

лежит

ниже

линии 12. Очевидно, если линия 12 ограничивает конечную

площадь,

то линия

1Х и подавно

ограничивает

конечную площадь.

С другой

147

стороны, если линия 1Х ограничивает бесконечную площадь, то ли ния / 2 и подавно ограничивает бесконечную площадь.

При исследовании на сходимость несобственного интеграла

со	от неотрицательной функции					/ (х)		для	сравнения часто
J" / (х) dx	от неотрицательной функции					/ (х)		для	сравнения часто
а								оо
								оо
используют		интеграл от степенной функции						Г	, который, как
								J	*f e
								i
было установлено (пример 3), сходится						при		k~^> 1 и расходится
при & < 1 .						со
						со
Пример	4.	Исследовать	на	сходимость		^		^ Х
						о - - " + 3
т		1 ^ 1		„
Так как 5		<;	, то данный		интеграл сходится.
		X
					со
Пример 5.		Исследовать на		сходимость	I	s i	n x
					J	1 +	х 2
Так как					1
Так как
		I sinx		1		1
		U	+	1 + д;2		А-

то интеграл 'абсолютно сходится. Следовательно, данный интеграл сходится.

Интегралы от

неограниченных^функций

Пусть функция / (х) непрерывна на промежутке

la, Ь) и в точке

Ъ неограничена,

т. е. в этой точке имеет бесконечный

разрыв:

lim f {х) — +

оо

или

lim f (х) =

— со .

х-* Ь—0

х-*Ь—О

Определение.

Несобственным

интегралом,

от

функции

/ (х) на

промеоюутке

[а,

Ь),

непрерывной

при а^х<^Ь

неограниченной

в точке Ь, называется

предел

lim

\ f (х) dx,

обозначаемый

симво-

A-fb-Oa

lf{x)dx.

лом

по определению

Таким образом,

J 7 ( * ) d x =

Пгп

lf(x)dx.

(6.31)

A -»b—0

Несобственный

интеграл

(6.31)

называется

с х о д я щ и м с я ,

если

указанный

предел конечен,

р а с х о д я щ и м с я , если

он не существует

или равен

бесконечности.

148 1

Аналогично определяется несобственный интеграл от функции / (х) на промежутке (а, Ь], когда функция имеет бесконечный раз рыв в точке а

ь	ь
lf{x)dx=	lim J / О ) dx.	(6.32)

Если функция / (х) имеет бесконечные разрывы на обоих концах промежутка [а,~Ь), то несобственный интеграл от нее определяется равенством

(6.33)

•

Sf(x)dx

$f(x)dx+Sf{x)dx,

где с — произвольная

точка

внутри

промежутка (а,

Ь) ( а < с < 6 ) .

Интеграл j / (х) dx

считается

сходящимся,

если

сходятся оба

интеграла

правой

несобственных

части (6.33). В этом случае выбор

точки с не имеет значения. Наконец,

если

на

промежутке

(а,

Ь)

функ

ция / (х) непрерывна, за исключением

конечного

числа

точек

а •< сх <С

- < с 2 <

. . . <; сп^Ь

бесконечного

раз

рыва,

то несобственный

интеграл от

нее определяется

посредством

равен

Рис.

ства

]f{x)dx

= \f{x)dx

lf{x)dx+

. . . +

]f{x)dx.

(6.34)

Несобственный

интеграл ]f{x)dx

считается

сходящимся, если

сходятся все интегралы в правой части равенства (6.34) и расходя щимся, если расходится хотя бы один из этих интегралов.

Теория несобственных интегралов от неограниченных функций аналогична теории несобственных интегралов по бесконечному промежутку.

ь	от неотри-
Геометрически несобственный интеграл ^f{x)dx	от неотри-
а

цательной функции, неограниченной в точке Ь, можно интерпрети ровать как площадь криволинейной трапеции с верхней границей, простирающейся в бесконечность (рис. 65). Если интеграл сходится, то эта трапеция имеет конечную площадь, если расходится — пло щадь бесконечна.

На несобственный интеграл от функции с бесконечными раз рывами может быть распространена формула Ньютона — Лейб ница.

149

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1815 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ