книги из ГПНТБ / Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие
.pdfОсновные свойства целой рациональной функции |
|
|||||
Теорема 1. (Безу). При |
делении |
многочлена |
Рп(х) (гс^-1) на |
|||
разность х — с, |
где с — произвольное |
число, |
получается |
остаток, |
||
равный значению |
многочлена |
при х = |
с, т. |
е. при |
любом |
с много |
член Рп (х) может быть представлен |
в виде |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
Рп |
(х) = (х-с)Рп_1 |
|
(х) + |
Рп(с). |
|
|
|
||||||
|
С л е д с т в и е . |
|
Если |
с — корень |
многочлена |
Рп(х), |
т. е. |
|||||||||||
Рп |
(с) — 0, |
то |
многочлен |
делится |
без остатка на |
разность |
х — с |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Рп (х)={х-с)Рп_1 |
|
(X). |
|
|
|
|
|||||
|
Теорема 2 (основная теорема алгебры). Всякий |
многочлен сте |
||||||||||||||||
пени |
п >- 1 |
имеет |
по крайней |
мере |
один |
корень — |
вещественный |
|||||||||||
или |
|
комплексный. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
С л е д с т в и е . |
|
Всякий |
многочлен |
я-й |
степени |
разлагается |
|||||||||||
на |
я |
линейных |
множителей |
вида |
х — с |
и |
множитель, |
равный |
||||||||||
коэффициенту |
при |
старшем члене |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Рп(х) |
|
= а0(х—с1)(х—с2) |
|
|
. . . |
|
(х—сп). |
|
|
|||||
|
Здесь clt |
Со, с3, . |
. . , сп— |
корни |
многочлена. |
В общем |
случае |
|||||||||||
среди чисел сх, |
с2, с3, |
. . . , сп |
могут быть равные. Обозначая через |
|||||||||||||||
сх, |
с2, |
. . . , |
ст |
|
только различные корни многочлена |
Рп (х), |
можно |
|||||||||||
его |
разложение |
представить |
в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Рп |
(х) = а0 |
( х ^ ф |
{ |
х - |
ф |
|
. . . (x~cjm. |
|
|
(5.2) |
Очевидно, что
+• . + Л И = га-
Показатели степени kx, k2, . . . , km определяют кратность со ответствующего корня. Так, в разложении (5.2) корень сх является корнем кратности кх, корень с2 — корнем кратности k2 и т. д. Если показатель степени равен 1, то соответствующий корень много члена называется простым корнем.
Если многочлен имеет корень с кратности /г, то считают, что он
имеет /г одинаковых |
корней с. Отсюда: всякий многочлен степени я |
|||
имеет ровно я корней (вещественных или комплексных). |
||||
Теорема 3. Если |
многочлен |
Рп |
(х) с вещественными коэффициен |
|
тами имеет комплексный |
корень g |
+ hi, то сопряоюенное число g—hi |
||
также является корнем |
этого |
многочлена. |
||
С л е д с т в и е . |
В |
разложение многочлена с вещественными |
коэффициентами комплексные корни входят попарно сопряжен
ными. |
Если g + hi — корень кратности 1г, то сопряженное число |
g — hi |
есть корень той же кратности. |
Если в разложении (5.2) объединить множители, соответствую щие каждой паре сопряженных комплексных корней, и заметить,
что произведение |
линейных |
множителей |
|
lx — (g+ hi)} |
[х — (g— |
hi) ] = |
(x.— g)2 + h2 = x2 - 2gx + |
|
|
+ (g2 + |
h2) |
100
представляет собой квадратный трехчлен вида х2 |
- j - рх -f- q с ве |
|||
щественными коэффициентами р = — 2g, |
q = g2 |
+ h2, то можно |
||
сделать важный для дальнейшего вывод: всякий |
многочлен сте |
|||
пени |
п с вещественными |
коэффициентами |
может |
быть ' предста |
влен |
в виде произведения |
вещественных линейных |
и квадратичных |
{неразложимых |
на линейные |
вещественные множители) |
множителей |
||||||||
|
Рп |
(х) = а0(х-ф |
( х - ф |
• • • ( х - ф X |
|
|
|||||
|
|
X ^ |
+ |
PiJt + |
ft)'1 |
••• |
(x* + psx |
+ qs)'s. |
|
|
|
Множители (х—сх)\ |
. . ., (х—cr)kr |
соответствуют вещественным |
|||||||||
корням |
многочлена |
clt |
с2, |
. . . , сг |
кратности 1гг, /г2 , |
. . . , 1гп а |
|||||
множители |
( * 2 + Pi* + <7i)'1> |
• • •> |
(*2 |
+ Ps* + <7s)/s— s-парам |
сопря |
||||||
женным |
комплексным корням |
кратности, |
соответственно, |
l l t |
|||||||
L |
ls. При этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
lh + h+- |
|
• • + kr + 2l1 + 2l2 |
+ . |
~.-\-2ls-=n. |
|
|
Разложение правильной рациональной дроби на простейшие
Р(х)
Пусть - "' w — правильная дробь. Можно считать, что много-
Рп (х)
члены Рт (х) и Рп (х) не имеют общих корней, так как если бы они были, то разложения этих многочленов содержали бы одинаковые множители, соответствующие этим корням, и дробь можно было бы
сократить. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение. Рациональные |
дроби |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
А |
. |
|
Мх+ |
N |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(х — а)" ' |
(x° + |
px + q)k |
' |
|
|
|
|||||
где А, М, N, |
а, р, |
q — любые вещественные |
числа, |
k — любое на |
|||||||||||||
туральное |
число |
и |
р2 |
— 4<7<0, |
т. |
е. |
квадратичный |
трехчлен, |
|||||||||
х2'+ |
рх -\- q не имеет |
вещественных |
корней, |
называются |
простей |
||||||||||||
шими |
дробями |
соответственно |
первого |
и второго вида. |
|
|
|||||||||||
Теорема |
4. |
Всякая |
|
правильная |
дробь |
|
может быть представлена |
||||||||||
в виде суммы |
простейших |
дробей, |
так |
|
что каждому |
множителю |
|||||||||||
вида (х — с)'1 |
в разлоокении |
знаменателя |
|
отвечает сумма |
/г простей |
||||||||||||
ших |
дробей |
первого |
|
типа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Ах |
|
|
, |
^ 2 |
I |
|
_1 |
|
Ak |
|
|
|
|
|
|
|
х — с |
|
[х-су- |
|
' ' " |
|
(х — с)* ' |
|
|
|
|||||
и каждому множителю |
вида (х2 |
+ рх |
- j - |
|
q)1 — сумма |
из |
I |
простей |
|||||||||
ших |
дробей |
второго |
|
типа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
MyX + |
N-t |
|
|
M2x+N2 |
|
|
|
|
|
Mtx + Ni |
|
|
|
|||
|
x* + |
px + |
q |
|
(x* + |
px + |
qy |
|
' '. |
(jfl + px + |
p)' |
' |
|
||||
причем такое |
разложение |
единственно. |
|
|
|
|
|
|
101
Таким образом, если известно разложение знаменателя пра-
Р(х)
вильной дроби m v ' на множители
Рп (*)
Рп (х) = а0 [ х - ф |
. . . {х—ф |
(х2 + Plx + |
qtfi... |
. . . (х2 + PsX + qs)1*,
то дробь может быть представлена в виде следующей суммы про стейших дробей:
Рп(х) |
Х — |
СХ |
(X |
— Cj)2 |
+ • |
(X — |
Cj) |
J |
£ |
I |
_ |
i_ |
_i |
i |
|_ |
|
|
|
( x - c 2 ) 2 |
|
(x-c2)H |
|
|
|
A™ |
|
|
+ . . . +(X-Crfr |
+ |
||
X |
— cr |
|
|
||||
M\l)x+N[l) |
: |
h • • • + |
M^h+N^ |
|
|||
4 |
|
|
— |
1 )' 1 |
|||
X2 |
+ PlX + ft |
|
(х2 + р1 д: + ? |
||||
|
|
|
|
X 2 + P s * + % ' " {x°- + p s * + qs)ls '
В правой части равенства (5.3) полностью определены только знаменатели простейших дробей. Что касается числителей этих дробей, то значения содержащихся в них коэффициентов, назы ваемых коэффициентами разложения, могут быть определены раз личными способами.
Основным методом нахождения коэффициентов разложения является метод неопределенных коэффициентов. Он состоит в том, что выписывают разложение (5.3) с буквенными коэффициентами в числителях простейших дробей (неопределенные коэффициенты), общее количество которых равно
ki + k2+. . . + kr + 2l1 + 2l2 + ... + 2 / s = n ,
и полученное равенство освобождают от знаменателей умножением на Рп (х). В результате получают тождественное равенство двух многочленов: числителя данной дроби Рт{х) степени меньше п и многочлена степени п — 1с коэффициентами, содержащими иско мые коэффициенты разложения. Приравнивая коэффициенты этого многочлена при различных степенях х соответствующим коэффи-
102
циентам многочлена Рт(х), |
получают |
п |
уравнений 1-й степени |
||||||||||||
для определения п неизвестных коэффициентов. |
|
|
|||||||||||||
Пример 1. |
Разложить дробь |
|
|
— |
|
на простейшие. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( х + 1 ) 2 |
(ха |
+ |
1) |
|
|
|
||
Выписываем |
разложение |
с неопределенными |
коэффициентами |
|
|||||||||||
|
|
Зх2 — х + 5 _ |
А |
|
|
В |
|
|
Сх + Р |
|
|||||
|
(х+1)*(х*+1)~ |
|
|
х+1 |
|
~ ( х + 1 ) 2 |
|
х 2 + |
1 |
|
|||||
Освобождаясь от знаменателей, получим равенство |
|
|
|||||||||||||
Зх2 — х + |
5 = |
А |
(х + 1) ( х 2 ' + |
1) + |
В (х2 |
+ |
1) + |
(Сх + |
D) {х + |
I ) 2 . ' (*) |
|||||
Приравнивая |
теперь |
коэффициенты |
при |
одинаковых |
степенях |
х слева |
|||||||||
и справа, |
получаем |
систему |
четырех |
уравнении |
с |
четырьмя неизвестными: |
|||||||||
|
|
|
|
_ х3 |
А + С = |
О, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
х 2 |
А + В + 2С + D = 3, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
xi |
Л + |
С + |
2D = |
— 1, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
х° |
Л + В + £ > |
= |
5. |
|
|
|
|
|
||
Решая |
систему, |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Л = |
1, |
5 = — , |
С = |
—1, |
|
£> = |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Таким |
образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Зх2 — х + 5 |
= |
|
1 |
|
9 |
|
1 |
|
1 2 х + 1 |
|
||||
|
( х + 1 ) 2 ( х 2 + 1) ~ х + 1 |
|
2 ( х + I ) 2 |
2 х 2 + Г |
|
Метод неопределенных коэффициентов является общим методом, который всегда приводит к конечной цели. Однако при высокой степени знаменателя дроби составление системы уравнений для определения коэффициентов и ее решение может быть громоздким. В этих случаях возможно применение других приемов.
Неопределенные коэффициенты можно находить, - используя то обстоятельство, что равенство (5.3) и получающееся из него ра венство многочленов после освобождения от знаменателей пред ставляют собой тождества и, следовательно, удовлетворяются при любом значении х. Поэтому, давая х специальным образом подоб ранные значения (вещественные или комплексные),- можно полу чать простые уравнения для определения искомых коэффициентов. Так, если в предыдущем примере в равенстве (*) положить х = — 1, при котором обращаются в нуль первое и третье слагаемые в пра
вой части, |
находим |
сразу |
|
|
||
откуда |
|
|
|
2В |
= |
9, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В = |
|
2± . |
Полагая |
х = |
/., при |
котором |
обращаются в нуль первое 'и вто |
||
рое слагаемые, |
получаем |
|
|
|||
|
2 — i = |
(Ci |
+ D) (i + |
l ) 2 = — 2С + 2Di, |
103
откуда |
следует, что |
— 2С = 2, 2D = — 1, |
|
||
т. е. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С = — 1, D = — — . |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Для |
определения |
коэффициента А положим х = 0; тогда полу |
|||
чим |
|
|
|
|
|
Так как |
Л + В + D = 5. |
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
В + D = 4, |
|
|
то Л = 1. |
|
|
|
||
Получили те же значения искомых |
коэффициентов. |
Этого и |
|||
следовало |
ожидать, |
так как, согласно |
приведенной теореме, раз |
||
ложение |
правильной |
дроби на простейшие единственно. |
Указан |
ный прием особенно эффективен тогда, когда знаменатель дроби
имеет только простые вещественные корни. В этом случае |
разло |
|||||
жение имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
——— = |
1 |
(-•••-! |
г • • • i |
• |
|
|
Рп (X) X — Сг |
X — Cn |
X — С/; |
х — с„ |
|
|
Для |
определения |
коэффициента |
Ак умножим это равенство на |
|||
х — ск |
и в полученном |
тождестве |
положим х = ск; тогда |
сразу |
||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
Ak = |
|
^ |
|
, (5.4) |
|
|
( c k - c i ) < |
• • • > ( c k - c k - i ) ( c k - c k + \ ) ' • • - |
{ с , - ° п ) |
|
т. е. коэффициент Ak равен значению числителя дроби при х = ck, деленному на произведение разностей между этим корнем и всеми остальными корнями.
Пример 2. Разложить |
дробь |
3v + 1 |
||
— |
и а простейшие. |
|||
|
|
— 1) (ж + |
I) (JC — 2) (JC 3) |
|
В данном случае знаменатель имеет только простые корни |
||||
сг = 1, с 2 = — 1, с3 = 2, с4 = — 3. |
||||
Применяя формулу (5.4), |
находим |
|
|
|
|
АГ- |
3-1 + 1 |
|
1 |
|
2 ( - 1)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
3-(-1) + 1 |
_ |
1 |
|
2 |
( _ 2)( - 3) - 2 |
|
6 ' |
|
л |
_. 3-2 + 1 |
7 |
|
|
Г\ ту |
1-3-5. |
|
. |
|
|
15 |
||
АЛ |
= - |
3-(—3)+ 1 |
= |
2 |
|
( _ 4 ) ( - 3 ) ( - 5 ) _ |
15 |
104
Таким образом, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
Зх + 1 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
, |
(л— 1) (л.-+ 1) (х — 2) (х + |
3) |
_ |
2 |
х — 1 |
6 |
х + 1 ^ |
||
+ - ^ |
- |
! - |
+ |
^ |
— |
U |
|
|
15 |
х —2 |
|
15 х + |
3 |
|
|
Для определения коэффициентов разложения могут быть применены различные искусственные приемы. Один из таких приемов продемонстрируем на следующем примере.
Пример |
3. Разложить |
дробь |
- |
|
|
на |
простейшие. |
|||
|
|
|
|
(х + |
4 ) ( х - 2 ) |
|
|
|
||
Замечая, что разность сомножителей знаменателя равна 6, можно вы |
||||||||||
полнить следующие |
тождественные преобразования: |
|
|
|||||||
|
1 |
1 |
х + |
4 — (х —2) |
_ |
1 |
/ |
1 |
1 _ \ _ |
|
(х + |
4) (х — 2) |
_ 6 |
(х + 4) (х — 2) |
~ |
6 |
[ х — 2 |
х + 4 / |
|||
|
|
_ |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
~ |
6 |
х — 2 |
6 |
х + |
4 |
' |
|
|
Вообще при разложении правильной дроби на простейшие сле дует иметь в виду, что такое разложение единственно и поэтому совершенно безразлично, каким путем оно достигается. Комбини руя в случае надобности различные приемы определения коэффи циентов разложения, можно значительно упростить вычисления.
5.2.ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Очевидно, достаточно рассмотреть интегрирование только пра вильных дробей, так как всякую неправильную дробь путем деле ния числителя на знаменатель можно представить в виде суммы многочлена, который легко интегрируется, и правильной дроби.
Теоремой же о возможности разложения правильной дроби на простейшие вопрос об ее интегрировании сводится к интегрирова нию простейших дробей.
Покажем, что простейшие дроби интегрируются в конечном виде; тем самым будет установлено, что всякая рациональная функ ция интегрируется в конечном виде и будет дан способ вычисления
интегралов от таких |
функций. |
|
||
Интегралы |
простейших дробей первого типа вычисляются |
|||
просто: |
|
|
|
|
при k = |
1 |
|
|
|
J |
|
х - a |
J х ~ а |
1 |
при /е = 2, 3, . . .
J ( х - a ) * |
J {x — a)k |
\ - k |
(х-а)"'1 |
105
Для интегрирования простейших дробей второго типа предва рительно преобразуем квадратичный трехчлен, стоящий в знаме нателе, к сумме квадратов (дополнением до полного квадрата):
*2 -|- рх + q = [х + -££ + Ц ~ ^ = (х + -§-)* + а2 |
|
^через а обозначено положительное число |
и сде- |
лаем замену переменной по формуле |
|
|
Тогда |
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
г* |
Mx |
+ |
N |
•dx = M |
|
tdt |
N—M-P- |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(*) |
||||||||||
, |
(x*(х |
+ |
px |
+ |
J (fl + aP)k- ' |
У J |
(t |
|
+ |
a |
)k |
||||||||
q)k |
|
у |
|
22 |
2 |
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Дальнейшие вычисления |
выполняем раздельно |
для |
k = 1 и |
||||||||||||||||
k = |
2, |
3, . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
При k — 1 (см. пр. 6 |
§ |
4.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
?_M*±N_dx |
= |
м |
С_Ш_ |
, |
|
_р\ |
С |
|
|
dt |
|
|
|
|||||
|
J * 2 + P* + <7 |
|
J Р + а* |
\ |
|
2 ]) t2 |
|
+ a2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
= |
| - l n ( f - |
+ |
a2 ) |
2N — Мр |
, |
t |
, |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2а |
|
arc tg |
а |
h С = |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
= ~ln(x2 + px + q)-
2N — Mp |
arc tg |
с . |
|
При k |
= 2, |
3, . . . первый интеграл в |
правой части равенства |
|||
(*) вычисляется |
просто: |
|
|
|
|
|
|
|
1 р rf(/2 |
+ a2 ) _ |
1 |
l |
•С. |
|
|
(i2 + |
а2 )* |
2 |
1 —k |
|
( / 2 |
_|_ a2)fe |
(t2 + a 2 ) * - 1 |
Для вычисления второго интеграла поступим следующим об разом. Обозначим
г |
С |
dt |
|
(t2 + |
a2)k |
Так как
|
dt |
t2 |
+ a2 — t2 |
I (t2 + a2)* |
* 1 |
dt = |
|
|
(t2 + a2)k |
||
1 |
I (t2 |
a7 |
*2 d/ |
|
+ a 2 ) * - 1 |
J;(/2 + a2 )* J |
106
то
|
|
|
|
|
|
|
|
а*\ |
|
|
J |
(<2 + |
|
а2 )*, |
|
|
|
|
Ко второму интегралу в правой части применим формулу ин |
||||||||||||||||
тегрирования |
по частям, |
полагая |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
tdt |
|
— dv, |
t — U. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(t2 |
+ |
а2)'' |
|
|
|
|
||||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = |
|
|
|
|
1 |
|
|
— у — г , da — dt |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 ft — 1 (i2 + |
a2)k-x |
|
|
|
|
|||||
и, |
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
С t2dt |
_ |
|
1__1 |
|
|
|
t |
. |
|
1 |
|
С |
dt |
|||
|
,)(/ 2 + |
а 2 ) * _ |
2 |
ft |
—1 |
(t2 + a2)k-] |
|
2 (ft — 1) J |
(^ - ba 2 )* - 1 |
||||||||
|
Таким |
образом |
|
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
/ = _ L / 7 |
|
+ L |
|
i |
|
|
|
|
! |
7 |
||||||
|
й |
|
a 2 |
I |
|
|
2 (A — I) |
|
(<2 + а 2 ) * - |
1 |
|
2 (ft— 1) * - i |
|||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/,= |
|
! |
|
|
|
— |
+ |
|
2*~3 |
|
J. . |
|
(/г = |
2, 3, . . . ) • |
||
|
* 2 a 2 ( f t - l ) |
|
( ^ 2 + a 2 ) ft - l 1 |
2 a 2 ( f t - l ) |
|
|
|
|
' |
||||||||
|
Полученная формула позволяет находить (без интегрирования) |
||||||||||||||||
интеграл 1к, если известно |
выражение для интеграла с индексом |
||||||||||||||||
на |
единицу |
меньше |
I k - \ - |
Такого |
типа формулы |
называются р е - |
|||||||||||
к у р р е н т н ы м и. |
В данном случае, зная что |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
г |
|
С |
dt |
|
1 |
, |
|
t |
, |
п |
|
|
|
|
|
|
1л— |
|
|
|
= — a r c t g |
|
|
\-С, |
|
|||||
находим |
по рекуррентной |
формуле |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
/ 2 |
= — |
*2 + а2 |
|
|
arc tg |
г-С. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2а2 |
|
2а3 |
|
а |
|
|
|
||||
|
Используя |
полученное |
выражение для / 2 , по той же формуле |
||||||||||||||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з = |
|
|
|
|
|
|
|
|
а2 |
|
arc tg |
С |
||
|
|
|
|
4а2 (г"2 |
+ |
а 2 ) 2 |
8а* Г2 + |
|
8а5 |
|
а |
. |
и т. д. Таким образом, последовательными вычислениями можно получить выражение для интеграла I k при любом k.
Для получения окончательного выражения неопределенного интеграла простейшей дроби второго типа при k = 2, 3, . . . нужно лишь в полученном результате возвратиться от переменной / к пер воначальной переменной х.
Рассмотрим примеры на интегрирование рациональных функ ций.
107
С |
х3 |
- 1 |
- 2 |
dx. |
Пример 1. Вычислить \ |
— ' |
|
||
J x*-x* |
+ |
x - l |
|
|
Подынтегральная .функция |
представляет собой неправильную дробь, |
поэтому прежде всего выделим из нее целую часть. Деля числитель иа зна менатель, получаем
- * 3 + 2 . = 1 + . |
х * - х + 3 |
х3 — А 2 + А — 1 |
х3 — х 2 -J- х — 1 |
Разлагаем знаменатель полученной правильной дроби на множители: х3 — А 2 + х — 1 = х* (х — 1) + х — 1 = (х — 1) (А 2 + 1).
Таким образом, корнями знаменателя являются числа 1, i, —С. Под
ставляя эти числа в числитель дроби, убеждаемся, что они не являются кор нями числителя (дробь несократимая). Разлагаем дробь иа простейшие:
|
|
|
х а |
— х + 3 |
_ |
А |
Вх+С |
|
|
|
( А - 1 ) ( х 2 + 1) |
|
. V - ] А-2 +1 |
||
Освобождаясь |
от знаменателей, |
получаем |
равенство для определения |
||||
коэффициентов А, |
В, С |
|
|
|
|
||
|
х2 — х + |
3 = А (А-2 |
+ |
1) + (ВА- + |
С ) (А- — 1). |
||
Полагая |
х = |
1, |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Полагая |
х = |
i, |
получаем |
|
|
|
В + С = — 2, С — В = — 1,
откуда |
|
|
|
с |
= — L |
, в = |
—- |
|
2 |
|
2 |
Итак* |
|
|
|
*3 +2 |
ds-ffi+J—! |
L £ ± 2 b , = |
|
А"3 — А 2 + X — 1 |
J \ |
2 А — 1 |
2 А 2 + 1 ] |
= х + — In | л — 1 | |
- 1 п ( х 2 + 1 ) |
— arctgx + C . |
|
2 |
4 |
|
2 |
A 2 dx
Пример 2. Вычислить
2+ З А 2
Вданном случае подынтегральная функция — неправильная рацио нальная дробь. Для выделения целой части можно поступить следующим образом:
А 2 |
|
1 |
З А 2 + 2 — 2 |
1 / |
2 |
|
2 + З А 2 |
|
3 |
2 + З А 2 |
|
3 V |
2 + Зх2 |
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
x*dx |
I |
f / , |
2 |
\ d x |
= 1 |
г, Г |
+ ЗА 2 |
3 J V |
2 + З А 2 / |
3 \ |
J 2 + З А 2 |
||
Для вычисления |
полученного |
интеграла сделаем замену переменной, |
||||
по формуле |
|
|
|
|
2t\ |
|
|
|
|
З А 2 |
= |
|
108
Полагая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Г |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
JГ 2 + |
|
Зх' |
/ |
l |
l |
2 + |
2^2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
|
- |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
I |
|
l / farcigt |
+ |
C = |
- L |
y | a r c |
t g j / |
j x - |
C . |
|
||||||
Окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I |
x2 |
dx |
|
|
|
1/ ¥arctgl/ д.- М - С. |
|
|
||||||||
J 2 + 3x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пример 3. |
Вычислить |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
х 2 ( х 2 —4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подынтегральная функция — правильная дробь. Разлагаем ее на про |
||||||||||||||||
стейшие дроби |
следующим |
образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
1 |
х 2 —(л-2 |
—4) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
х 2 ( х 2 |
— 4) |
4 |
х 2 ( х 2 —4) |
|
4 |
\х |
4 |
х 2 |
|
|
|
|||||
1 х + |
2 — ( х —2) |
|
1 |
|
|
1 |
|
I |
1 |
|
J _ _ l _ |
|||||
4 (х + 2) (х — 2) |
|
|
16 х - ^ 2 |
16 х + 2 |
|
4 |
х 2 |
|||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
dx |
= |
|
|
х 2 ( х 2 |
—4) |
|
V 16 |
х —2 |
16 |
х + |
2 |
4 |
х 2 |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
: |
_ L 1 п | * _ 2 | — — I п | * + 2 | + — — • С = |
|
|
|||||||||||||
|
16 |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
4 |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
— I n х — 2 |
|
4х |
С. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
16 |
х + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 4. |
Вычислить |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Xs |
— 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подынтегральная |
функция — правильная |
дробь. |
Знаменатель |
дроби |
||||||||||||
разлагается на |
множители |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
х 3 — 1 = (х — 1) (х2 + х + 1). |
|
|
|
|
|||||||||
Разлагая дробь |
1 |
|
на простейшие, |
получим |
|
|
|
|
||||||||
— 1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
х 3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
dx |
_ |
1 |
|
dx |
|
I |
f |
х + 2 |
• dx. |
|
|
||
|
|
х" — 1~~ 3 J х — 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3 JJ х*2 2 ++ хх- + : |
|
|
|
|||||||||||
Первый интеграл |
в правой |
части вычисляется |
сразу: |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
= |
In |х — 1 I + С. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х — 1
109