Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

6.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Подынтегральная функция — определена при всех веществен-

		X				In \ х\ яв
ных значениях х, кроме х = 0. Докажем,				что	функция	In \ х\ яв
ляется для	нее	первообразной.	— х, \| х\' — — 1, а			при А->0
Замечая,	что	при л:<0 \| х \| =	— х, \| х\' — — 1, а			при А->0
\х\ = х, \ х\'	=	1, имеем
			— = —	при	* < 0
	(in\|\|)' = - ! - \| \| ' =
		\х \	-р-	при	х>0,

т. е. (In | х \)' = при всех вещественных х Ф 0.

Рассмотрим простейшие способы интегрования.

Способ непосредственного интегрирования

Этот способ основан на использовании свойства инвариантности формул интегрирования и известных формул интегрирования (на пример, табличных интегралов). Суть способа состоит в том, что подынтегральное выражение преобразуется к виду подынтеграль ного выражения одного из табличных интегралов или другого из вестного интеграла и затем используется соответствующая формула интегрирования.

Пример 1. Вычислить j 2хе*7 dx.

Так как 2х dx — d (х2 ), то данный интеграл сразу приводится к виду табличного интеграла 4а

\2xex'dx = J ex*d(x*).

Используя соответствующую формулу интегрирования, находим

	\2хех^х	= ех" 4-С.
Пример 2. Вычислить	f cos 3*	dx.
Так как
v	dx =	—— d (Зх),
		3

s. то, используя формулу 5 таблицы основных интегралов, будем иметь

Г cos Зх dx =	Г — cos Зх d (Зх) = —		Г cos Зх d (Зх) =	— sin Зх -\|- С.
J	J 3	3	J	3
Пример 3.	Вычислить Г	— .
	J	х — а

Замечая, что d (х — а) = dx, имеем, используя формулу 3 таблицы ос новных интегралов,


dx	С d (х — d)		, ,	, ,	п
	= \ — i	'- = In I х — a I + С .

Пример 4. Вычислить j(l—3x)2 4 dx.
Так как		1
	dx =	1	— Зх),
	dx =	-d(l	— Зх),
		3
то, в соответствии с формулой		2 таблицы	основных	интегралов,
j " (1 — Зх)2 4	dx = — - i - j " (1 — Зх)2 4 d (1 — Зх) =			—	(1 — З х ) 2 5 + С.
Пример 5.	Вычислить	dx
		dx

У а 2 — х 2

Этот интеграл легко привести к виду интеграла формулы 9 таблицы ос новных интегралов:

Г*

Используя

теперь

указанную

формулу,

получаем

- -

arc sin х

. h_С.

У а 2 — х 2

I «I

Пример

Вычислить

а2

+ х 2

Приводя этот интеграл к виду интеграла формулы

10 таблицы основных

интегралов,

получаем

—

arc tg — + С.

Г,

Г sin Л:

—d(cosx)

= —In I cosx! +

tg х dx =

cosx dx =

Способ интегрирования разложением

Этот способ основан на использовании свойства линейности не определенного интеграла относительно подынтегральной функции. Суть способа состоит в том, что подынтегральная функция представ ляется в виде суммы функций, формулы интегрирования которых известны.

Пример	8.
J (х +	2 sin х) dx = \| х dx + 2	J sin x dx =	x2 — 2 cosx + C .
Пример	9.	dx
^ - d x = i^ - ^ - + ' ) x j d x =		dx
^ - d x = i^ - ^ - + ' ) x j d x =		^ - ^ . , + 4 \ xdx = l n \| x \| + 2 x 2 + C.

Пример	10.
\ (1 4- .v2 )3	dx = Г (1 + Зх2 +		3-г1 +	х°) dx = х + х3			+ —	х6 +	— х 7 + ' С .
Пример	11.						5		7
Пример	11.
	J	COS2 X	J	COS2	x	J	V COS2	X	/
		dx		dx = tg x — x + С.
				dx = tg x — x + С.
Способом разложения			легко		вычисляются			интегралы		вида
\ cos /пх sin пх dx;		J' cos mx-cos nx dx;				J sin /нх-sin			nx dx	при
любых m и /г, не равных			нулю. (При равенстве					нулю одного или

обоих чисел т и п эти интегралы обращаются в табличные.)

Для представления подынтегральных функций в виде суммы тригонометрических функций можно воспользоваться известными тригонометрическими тождествами:

sin a cos р = ~y sin (а — Р) + sin (а + Р)],

sin а sin р — •— [cos(а— Р) — cos(a-|- Р)],

cos а cos Р = ~y [cos (а — Р) -|- cos(a+ Р)].

Пример 12.

J sin3x-cos5xdx =

(sin 8х — sin2x)dx = - ^ -

sin8xdx —

— ( sin 2x dx =

— cos 2x

— cos 8x +

При помощи тождеств

1-г cos а = 2 cos2 —,

1—cos а - 2 sin2

-г

вычисляются интегралы вида

|sin2 axdx,

§cos2axdx,

где а — произвольное

вещественное число.

Пример

13.

cos2 7х dx =

' I

cos 14х) dx =

sin 14х + С.

I (I +

х -]

2 .

Пример

14.

. 1 / 5

/ .

1 — cos

2V5

, ,

sin2

х = —

J V

3 .

2"J/5

=r si n

X +

С .

]

/ 5

4.4.ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Косновным методам интегрирования функций относятся: метод замены переменной интегрирования и метод интегрирования по частям. Рассмотрим оба метода.

Метод замены переменной интегрирования (метод подстановки)

Основанием этого метода служит свойство инвариантности фор мул интегрирования; сущность метода состоит в том, что при помощи надлежащим образом подобранной замены переменной интегриро вания данное подынтегральное выражение преобразуется к подын тегральному выражению уже известной формулы интегрирования.

Этот прием по существу используется и в способе непо средственного интегрирования. Приводя подынтегральное выраже

ние f (х) dx		к виду f\ [ф (х) ] d(p (х), где / х [ф (х) ] и ф (х) — некото
рые функции, мы мысленно делали					замену	переменной		и =	ц> (х)
и	применяли известную формулу				интегрирования		к	интегралу
\|	fx (и) du.	После интегрирования		переходили обратно от перемен
ной и к переменной х. Например,				при рассмотрении			Г	d x	(прн-
							J х — а
	о\						С d(x — a)
мер 3) мы предварительно представили его в виде							\	\ _ а		и
нашли его		выражение,	принимая	за	новую	переменную		функцию
и = х — а, т. е. как бы			представляя данный			интеграл	в виде		J-^>

где и = х — а. То же можно сказать и относительно других приме ров, рассмотренных в предыдущем параграфе. Однако в более слож ных случаях, когда непосредственное преобразование подынтег рального выражения к виду / х [ф (х)] d ф (х) затруднительно, це лесообразно поступать иначе: сначала подобрать формулу замены переменной в виде х = ф (/) или t = ij) (х), руководствуясь конеч ной целью подстановки: получить более простую в отношении ин тегрирования функцию, а затем преобразовать подынтегральное выражение к новой переменной. В этом и состоит метод замены пере менной, или метод подстановки.

В соответствии со свойством инвариантности, формул интегри рования при замене х = ф (t) будем иметь

J7(*)d* = J7[q> (/)]dq> (t).

Но так как

dq> (t)	=	ф' (/) dt,
то		[ср (01 Ф' (0
J'/ (*) djc =• J/		[ср (01 Ф' (0	(4-9)
Равенство (4.9) является	аналитической		записью метода за

мены переменной. В этом равенстве оба интеграла в левой и правой частях представляют собой совокупность всех первообразных для функции f (х). Разница состоит в том, что интеграл в левой части

выражает эту совокупность в виде явных функций от переменной

х, а интеграл в правой части — в виде функций,	выраженных па
раметрически, посредством параметра t, причем х	= ср (t).
Для получения выражения интеграла в виде	явных функций

от х после	интегрирования по переменной t нужно в полученном
результате	перейти от	переменной t к переменной х при помощи
зависимости	х = ср (t).

З а м е ч а н и е 1. Справедливость равенства (4.9) может быть установлена непосредственно, путем сравнения производных левой и правой частей. Действительно, дифференцируя обе части равен ства по х, будем иметь, учитывая, что х = ц> (t),

•£-$f(x)dx = f(x),
dx
^J7(<p (О)Ф' ( О ^ = ( ^ - 1 / ( Ф (0) Ф' (о dt	dt_
^J7(<p (О)Ф' ( О ^ = ( ^ - 1 / ( Ф (0) Ф' (о dt	dx

=/ ( Ф ( О ) Ф Ч О - ^ = / ( Ф (*)) = /М -

Ф(0

За м е ч а н и е 2. Выбор функций х = ср (t) или t = i|> (x) ограничивается лишь условиями, обеспечивающими существование

уних обратных функций и интеграла в правой части равенства (4.9). Это значит, что функции х — ср (t) или t = i|) (х) должны быть непрерывными, иметь непрерывные производные и обратные функ ции.

Обычно подбор удачной подстановки бывает не так очевиден, как в простейших случаях. К сожалению, в этом отношении не существует общих правил, все зависит от навыка и изобретатель ности того, кто выполняет интегрирование.

За м е ч а н и е 3. При интегрировании методом замены пере менной могут применяться подстановки вида

<p{x) = V(t),	(4.10)
а также в виде уравнения
Ф(х, 0 = 0,	(4.11)

определяющего одну переменную как неявную функцию другой переменной.

	Г V		А
Пример 1. Вычислить	I	\ _^ х
Этот интеграл существует		при всех х >0 (подынтегральная функция
непрерывна в интервале [0,	со)). Для вычисления интеграла сделаем замену
переменной по формуле		х =	/2,

причем для обеспечения существования обратной функции будем ^считать, например, что t > 0. В этом случае обратная функция будет t = Yx- Имеем dx = 2tdt, •

и, следовательно,

' 1 +1*

J l + (

1 + ' 2

= 2 (— /3 — t + arc tg ^ + C. 3

Переходя теперь от переменной t к переменной х, по формуле / = Y~x получим

Х ^ Х

dx=

2 (—

xY'x

— Vx+

a r c t g / * ) + С .

•А:

Заметим, что если бы мы приняли

t <0,

то обратная функция

была бы

t = — У'х, и тогда

dx = —2

Г — —

dt =

—2 (—

t3 — t +

arc tg Л +

С.

l+x

1 +

V 3

При

возвращении

к переменной х

имели

бы

Х ^ Х

dx =

—2(

- х / ж + К * — a r c t g y ^ +

\+х

т. е. тот же результат.

Пример 2. Вычислить J х

V\—7xdx.

Этот

интеграл

существует

при всех х <

Здесь

также

целесобразно

применить подстановку, избавляющую подынтегральную функцию от ради

кала, а именно t2 =		1 — 7х,		считая t			>	0.
Будем	иметь
				2(d(		=	— 7		dx,
откуда							2
				dx =			2	t	dt.
							7
Следовательно,
= — —	Г — t*) dt =		— —		(—	t3	— —		A	+ С =	L ^ ( 5 _ 3 m +
49	J			49	I 3			5		/	735
	+	С =	- £	=	V	(1 -	7x)3		(2 +	21*) +	C.

Часто для получения более простого подынтегрального выра жения применяют последовательно несколько подстановок.

Пример	3. Вычислить	dx
		xVx	— 4

Данный	интеграл существует		в двух интервалах изменения х:
(— со, — 2)	п (2, со). Сделаем замену		переменной по формуле

считая переменную t изменяющейся в интервалах! — , 0) и'(0, —

соответствующих указанным интервалам изменения х. Имеем

dx =

— dt

и,

следовательно,

\ х 2 У > - 4

У 7 = 1 Г 2 '

Таким

образом,

tdt

при

t из

0);

( x < - 2 ) ,

V 1 — 4f

x 2 F x 2 - 4

~ t d t

при

* „ 3

(D,

H ;

( J O 2).

Для вычисления последних интегралов сделаем

новую замену перемен

ной: 1 — 4t2

z2 (z

> 0).

Имеем

откуда

— 8tdt

zdz,

idt

zdz,

и,

следовательно,

tdt

zdz

—

1 dz = •

-г + С.

1 — 4/2

Для возвращения

к переменной х

имеем

1 _

4il2

Итак.

К х 2

— 4 +

С при

х <

—2,

| х |

x2Y х2

— 4

1 У х 2

—4

при

х >

| х |

Полученный результат можно записать одним выражением:

		dx	1 Vxl_—4__, с
	хУх-4		4
так как при х > 0\х\	= х,	при х	< 0 ] х \ =	— х.
Метод		интегрирования		по частям
Этот метод является обращением правила дифференцирования
произведения двух	функций.
Если функции	и (х)	и v (х) дифференцируемы,			то известно, что
		udv + vdu = d(uv).			(4.12)

Интегрируя обе части этого тождества и пользуясь формулой (4.8) для неопределенного интеграла от дифференциала функции,

получим
или				j и dv + J v du = uv + C

				\udv		= uv—]vdu.			" (4.13)
Формула (4.13) называется формулой интегрирования по ча
стям. Сущность метода интегрирования по частям состоит										в том,
что	подынтегральное			выражение			/ (х) dx	представляется		в	виде
произведения udv,			где		и и	v — функции		от х,	и вычисление,
$ f (х) dx =		§ udv	при		помощи		формулы	(4.13)	заменяется		вы
числением		интеграла		j"	vdu.
	Функции и и v выбираются так, чтобы интегрирование выраже
ния	vdu было проще			интегрирования исходного					выражения		udv.

Очевидно, успех применения метода зависит от того, насколько удачно будут выбраны функции и и v.

Пример	4.	Вычислить		\(х-\-	1) e?dx.
Здесь целесообразно положить
				и =	х + 1,	ех	dx =	dv;
тогда du =	dx,	v =	e* и,	следовательно,			применяя формулу		(4.13),		будем
иметь
j' (х +	1) ех	dx =	(х +	1) — [ ех dx =			(х +	\)ех — ех + С =	хех	+	С.
Пример	5.	Вычислить		f arc tg х		dx.
В данном случае, замечая,					что производная от arc tg х есть					алгебраиче
ская функция			, целесообразно			принять
		1 + л ; 2		к =	arc tg х, dv =			dx;
тогда				к =	arc tg х, dv =			dx;
тогда
					dx
				du =		,	v — x.
					1 +	-v2

и по формуле (4.13) получим
Г arc tg х dx = х arc tg x — Г x		^X	= x arc tg x	— In (1 + x2 ) +		С
J	J 1 +	x-		2
З а м е ч а н и е .	Дифференциальному			выражению	dv	соот
ветствует бесконечное множество			первообразных v + С [см. фор
мулу (4.8) ]. При интегрировании по частям можно брать						любую
из них. Изменение	значения	произвольной		постоянной	не влияет

на результат вычисления, поэтому обычно берут ту первообразную, которая отвечает значению произвольной постоянной, равному нулю. Например, если при решении примера 4 взять v — е? -|- Сх,

где Сх — произвольное	число, то получим
j (х + 1) ех dx = {х + 1) (ev + Сх ) — J (е* + Сг) dx =
=	(х+1)е?-ех	+ С1 + С,
где С — произвольная	постоянная.
Но сумма Сх + С очевидно		тоже произвольная постоянная.
Обозначая эту сумму опять буквой С (т. е. включая число Сх			в про
извольную постоянную С), приходим к ранее полученному			резуль

тату. • Метод интегрирования по частям может применяться последо

вательно несколько раз.

Пример 6.	Вычислить j" х 2		sin х dx.
Полагая х 2	=	и, sin х dx — dv,		находим
		J"х2 sin х dx = —х2		cos x -J- 2 Jx	cosxdx.
К интегралу		j x cos x dx	снова	применяем	формулу интегрирования

по частям, полагая х — и, cos х dx = dv. Тогда

j" х2 sin х dx = —x2 cos x + 2x sin x — 2 J" sin x dx =

=— x2cos x + 2x sin x + 2 cos x + C.

Иногда при помощи'повторного применения формулы интегри рования по частям^ получают равенство, содержащее искомый интеграл, из которого определяют его выражение. Типичным в этом смысле является приведенный ниже пример.

Пример 7. Вычислить j е0 * cos bxdx.

Полагая здесь, например,

находим	е"* = и,	cos bx dx =	dv,
находим
	\ е"* cos bx dx = —!- e^sin bx		— f e^sin x dx.
J	b	b J
Применяя	к интегралу в правой части' опять формулу интегрирования
по частям, полагая
	е<" г =«,	sin bxdx =	dv,

получим
Г е0-*-' cos bx dx =	— e a v sin bx +	ea j : cos bx — -2— fg0* cos bx dx.
Из этого равенства находим выражение для искомого интеграла
в0 * cos	Ьд; dx —	(b sin bx + a cos 6л;) + С.

Ja= + 62

ГЛ Л В Л 5

ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ

5.1.НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ

Вначале § 4.3 указывалось, что многие элементарные функции не интегрируются в конечном виде, т. е. их интегралы не являются элементарными функциями. В этой главе рассматриваются неко торые классы функций, допускающие интегрирование в конечном

виде. Первым наиболее важным классом функций, интегрируемых в конечном виде, является класс рациональных функций.

Напомним, что функция R (х) называется рациональной, если над аргументом х производится только конечное число арифметиче ских действий, к которым относятся сложение, вычитание, умно

жение	и	деление.
Всякая рациональная					функция	может быть	приведена	к виду
рациональной дроби:
								( 6 Л >
где для		краткости		записи	через Рт	(х) и Рп (х)	обозначены	много
члены	(полиномы) степени				т и п :
		Рп	(х) = а0хп		+ aix"~l + . . . + an-ix		+ a„,
		Рт	{х) = box"1		+ bxxm-{	+ . . . + bm-lx+	b,„;
здесь	a0 ) ,	. . . , an,		b0, .....	bm — некоторые коэффициенты.

Многочлен есть частный случай рациональной функции; иногда его называют целой рациональной функцией.

Р(х)

Рациональная дробь т к называется п р а в и л ь н о й , если

степень числителя меньше степени знаменателя, т. е., если т<Сп. Если ml^-n, то дробь называется н е п р а в и л ь н о й .

Интегрирование рациональных функций основано на использо вании алгебраических свойств этих функций. Приведем без дока зательств необходимые для дальнейшего сведения из высшей ал гебры.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ