Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

6.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 182 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

[а;	Если функция y-=f{x)	дифференцируема		на замкнутом	интервале
	Ь], то в граничных точках этого		интервала	предполагается	наличие
к о н е ч н ы х о д н о с т о р о н н и х			п р о и з в о д н ы х — правосторон
ней	в точке а и левосторонней	в точке	'6. Это	значит, что должно быть

гарантировано существование соответственно следующих двух конечных пределов:

И ш	f(a + Ax)-f(a)	и Н ш	/ ( 6 + Д х ) - / ( 6 ) a
Д я > 0	Д *	Ах<0	Ах
Дх-^О		Д-0

Если функция у = / (х) дифференцируема на некотором проме жутке, то ее графиком на этом промежутке будет сплошная линия, без точек возврата и угловых точек. Такую линию будем называть г л а д к о й . -

1.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Пусть функция у = f (х) дифференцируема в точке х. Тогда при ращение функции в этой точке можно представить в форме

		Ay = f	(х) Ах +	аАх,
где а ->-	О при Ад; -> 0.
Первое слагаемое		в правой	части этого равенства, пропорцио
нальное	величине	Ах, называется		д и ф ф е р е н ц и а л о м
ф у н к ц и и у = f (х) и обозначается				одним из символов: dy или
df (л:).Итак,

dy = f'(x)Ax.

Если f'(x)=£0, то lim ~ ^ - = l i m

(1.7)

Г { х ) А х =f'(x)^0,

откуда

да--.О Ах	дд:-*о	Ах	является
следует, что если f (х) Ф 0, то дифференциал функции dy
при Ах -> 0 бесконечно малой о д н о г о		п о р я д к а с	Ах. Вто

рое же слагаемое ссДх (как произведение двух бесконечно малых)

является при	Ах -> 0 бесконечно малой б о л е е в ы с о к о г о
п о р я д к а ,	чем Ах.

Подчеркнем таким образом, что дифференциал функции не ра вен приращению этой функции — он отличается от приращения функции на бесконечно малую величину более высокого порядка.

Дифференциалом dx независимой переменной х называют при ращение Ах этой переменной: dx = Ах. Это согласуется с тем, что для функции у = х, пользуясь формулами (1.7) и (1.5), при п = 1, находим

dy = х'Ах = 1 • Ах, т. е. dx = Ах.

Формулу (1.7) теперь можно переписать так:
dy = f'{x)dx,	(1.8)

т. е. дифференциал функции равен произведению производной функ ции на дифференциал (приращение) независимой переменной. Из формулы (1.8) находим

Таким образом, производную функции можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу аргу мента. Символ — часто применяют для обозначения производной

от функции у по переменной х.

Остановимся теперь на геометрическом смысле дифференциала, для чего рассмотрим график функции у = f {х) (рис. 6). На этом

графике возьмем две точки: М (х, у)		и Мг	(х + Ах; у + Ау) и в
точке М проведем	касательную МТ.	Тогда		будем иметь tg ф =
У				т
		Ми		т
	/	K	if	*У
	/		J
	г<-	(	1
	ux=dx
— н ' /	х	х+йх
0

Рис. 6

= р (х) и РК = tg ф Ах = Р (х) Ах = dy. Таким образом, диффе ренциал dy функции геометрически представляет собой прираще ние ординаты касательной к графику функции при переходе от точки с абсциссой х к точке с абсциссой х + Ал:. -

1.7. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ

Теорема.

Если

функция

у = / (х) дифференцируема

в точке х,

причем Р (х)

О, то

при

Ах

->•

О приращение

Ау и

дифференциал

функции

являются

эквивалентными

бесконечно

малыми.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так как

функция у

— f (х) диффе

ренцируема

в точке х, .то в этой

точке

= f

(х)

Ах + аАх, где

-у 0 при Ах

->- 0. Тогда в силу

(1.7) находим

f'(x)Ax-\-a&x

, .

(, .

lim —— = hm ——

=-hm

1Н

\ = 1,

Ах-о

Ах^О

(х) Ах

Д х - о

Р (.х) )

что и требовалось

доказать.

На этой теореме основано применение дифференциала к при

ближенным

вычислениям. Известно (там же, стр. 169), что любую

из двух эквивалентных бесконечно малых можно приближенно за-

менить другой. Поэтому из последней теоремы вытекает следующее приближенное равенство:

Ay^dy. (1.9)

Абсолютная и относительная погрешности этого равенства мо гут быть сделаны сколь угодно малыми при достаточно малом по модулю Ад:. Структура дифференциала обычно значительно проще структуры приращения функции, в силу чего формулой (1.9) ши роко пользуются в приближенных вычислениях.

		Пример. Дан куб с ребром			х = 2 м. Вычислить, на сколько					возрастет
его		объем, если	его ребро	увеличится на ДА: =				1 см. Объем куба		V =	х3.
		Т о ч н о е	р е ш е н и е .		AV =	(х +	Дд:)3 — х3 = 3*2 Дх +		Ъх (Дх)2 +
+	(ДА:)3 = 3-23 -0,01 + 3-2			(0,01)2 +		(0,01)3 = 0,120601 ж3 .
		П р и б л и ж е н н о е		р е ш е н и е .			Используя формулы		(1.9),		(1.7)
и	(1.5), находим:
		AV к dV = V'Ax = Зх2Дл; = 3-22-0,01 =0,12 м3.
		Абсолютная	погрешность		этого	результата		\| dy — Ay \ = 0,000601			м3
относительная				\dV-AVl			Л 0 0	0 6 0 1 и 0,005 (0.5./Q),
			погрешность		AV		0,120601

		Операции	нахождения		производной и дифференциала					от дан
ной		функции	называются		д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е м						этой
функции. Общее название					обеих операций объясняется					тем, что

с точки зрения техники вычислений они почти не отличаются друг от друга. В силу формулы (1.8) дифференциал функции получается простым умножением производной этой функции на dx = Ах. Ниже в этой главе устанавливаются общие правила дифференци рования функций, а также вычислены производные от основных элементарных функций. Это позволит при дифференцировании лю бой элементарной функции не обращаться каждый раз к определе нию производной, что значительно уменьшит объем вычислительной работы.

1.8. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПОСТОЯННОЙ ФУНКЦИИ

Рассмотрим	постоянную	функцию у = С — const. Для любого
Ах будет Ау =	0, так что у'	= l i m	- ^ - = lim —^- = 0. Итак,
		Д.х-»0	Ах Дд:-.о	Ах
и		С' = 0		(1.10)
и	dC = C'dx = 0.			(1.11)
	dC = C'dx = 0.			(1.11)
Следовательно,	производная	и дифференциал		постоянной функции
равны нулю.

1.9. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СУММЫ ФУНКЦИИ

Теорема. Если функции и = ф (х) и v = g [х)	дифференцируемы
в точке х, то в этой точке
(и ± v)' = и' ± v'.	(1.12)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим у = и ± v. Придадим х приращение Ах, в результате чего функции и, v, у получат соот ветственно приращения Aw, Av, Ay, причем

Ау = [(и + Аи) ± (v + Av)] — [u ± v] = Аи ±										Av.
Пользуясь	этим,	находим
i	1-	Ау	,.	Дц		.	Av	,	,	,
у = lim —— = hm —						± hm —		= и	±	и.
	дж-о	Ах	дл- о	Ах		ддг-о Ах
Подставив	сюда	у =	и +	v,	получаем			формулу		(1.12). Умно
жив равенство	(1.12) почленно				на dx,		получим
		d(u±v)			= du + dv.					(1.13)

Формулы (1.12)- и (1.13) легко обобщаются на случай любого числа слагаемых. Итак, производная {дифференциал) алгебраической суммы функций-равна алгебраической сумме производных (дифференциалов) слагаемых.

1.10. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ

Теорема.	Если функции и = ср (х) и v = g (х)	дифференцируемы,
в точке х,	то в этой точке
	(uv)' = u'v + uv'.	(1.14)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим у = uv. Придадим х при ращение Ах, и пусть Аи, Av, Ay будут приращения соответственно функций и, v, у, вызванные приращением Ах аргумента. Имеем

Ау = [(и + Аи) (v + Av) ] — uv = vAu + uAv + AuAv.

Учитывая, что и и v —• начальные значения функций, не зави сящие от приращения Ал; аргумента, находим

,	,.	Ау	,.
у	= n m — — — vhm
	Ax-rO	Ax	Ax-0

Аи ,	,.
	j - uhm
Ax	Д . 1 - 0

Av	.	,.	Аи	,.	д	Av.
		\|-hm	— - l i m			Av.
Ax		Ax-rO	Ax	Д х - 0

Функция v = g (x) в рассматриваемой точке по условию диф

ференцируема, а значит, и непрерывна (см.	§ 1.4),	следовательно,
Игл До = 0 и предыдущее равенство дает у'	— vu'	+ uv' - j - и' -0.
д*-о	(1.14).
Подставив сюда у = uv, придем к формуле	(1.14).

Для случая трех сомножителей, применяя формулу (1.14), на ходим:

(uvw)' = [(uv) w]' — (uv)' w + (uv) w' = (u'v + uv') w + + uvw' = u'vw + uv'w + uvw'.

Аналогичное правило справедливо при дифференцировании произведения любого числа сомножителей.

Умножив равенство (1.14) почленно на dx, получим

d(uv)=vdu + udv.

(1-15)

С л е д с т в и е . .Постоянный множитель можно выносить за знаки производной и дифференциала: таким образом, если С = = const, то

	(Си)'		= Си',			(1.16)
	d{Cu)		= Cdu.			(1.17)
Формулы (1.16) и (1.17)		получаются			сразу из формул (1.14)
и (1.15), если положить в них v = С и воспользоваться						формулами
(1.10) и (1.11).
1.11. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ЧАСТНОГО
Теорема. Если	функции	и =	ф (х)	и	v = g (х)	дифференци
руемы в точке х,	причем в этой		точке	v Ф 0, то

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим у =

. Пусть, по-преж

нему, Аи, Av, Ау— приращения функций и, v, у, вызванные при ращением Ах аргумента х. Тогда

Ay-	и -4- Аи		и	vAu—	uAv
	v + Av	v		v2 +	vAv
		А и		Av
	v lim			и lim
y' — lim y —	A*-o	A *		A-o A*	_ v u '
дл:-.о Дх	o H ^ I ' i n A»

—u v '

v2-\-v-Q

Ax-0

ибо, как было отмечено в предыдущем параграфе, lim Av — 0.

Ax~0

Подставив сюда у — -^-, придем к формуле (1.18). Умножив это

равенство почленно на dx, получим
rf(-f) = v d » - u d v .	(1.19)

Примеры.

1- у = 5л:*; у' = (5х*)' = 5 (х4)' = 5-4л:3- — 20х3. Использованы пра вило (1.16) и формула (1.5).

2.	у =—	;	у' =	\-—	=	— (хг)	=	2х = х.
	2	— Ах +		\ 2 J		2		2
3.	£/.= бл;3	— Ах +		5;	г/' =	(б*3 )'	— (4л:)' +		5' == 6 (л:9)'' — .4 (*') + 0 =
= 6-Зл:2 — 4 1 =			18л:2	— 4. Использованы правила (1.12) и (1.16) и формулы
(1.5) и	(1.10).
4- y = i k + 6 x - u					" ' " ( w ) ,			+ ( W	' - 1 , = w M ' +
+ 6 ( 4 ' - 0 = - ^ Л : 3 + 6 = 2К2"-Л:3 + 6.

5. у =

х3

(4х2 — 3);

у'

(х3 )' (4х2 — 3) + х3 (4ха — 3)' =

Зх2 (4х2 —

— 3) +

х 3 - 8х

20х* — 9ха . Использованы

правила (1.14),

(1.12) и (1.16).

у =

(ха +

4) (1 — 2х);

(/' = (*а + 4 ) '

(1 — 2х) +

(х2 +

4) (1 —

— 2*)' =

2х-(1 — 2х) +

(х2

4) (— 2) =

— 6х а

+ 2х — 8.

= х 1 ± 1 .

(*' +

З Г * 2 - ( * 4

3)(х 2 Г

х 2

(х2 )2

4 x s x 2 — ( х * + 3)2х-

2х6

—6

т .

.. , о ч

, 0 ,

—

х*

' — =

. Использованы правила

(1.18)

и (1.12).

4 х а — 1

, _

(4ха — 1)' (4х2

+ 1) — (4х2 — 1) (4х2 +

\)' _

4х*+1

( 4 х 2 +

I ) 2

_ 8х (4х2 +

1) — (4х2 — 1) 8х

16х

( 4 х 2 + 1 ) 2

~ ( 4 х 2 + 1 ) 2 '

i/ =

— 2х;

dy= (х6 — 2x)'dx =

{5xi

—

2)dx.

10.

у =

;

dy=

dx=

•

dx.

х 2 — 1

U 2 — 1/

( x 2 — l ) 2

1.12.ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Возьмем функцию у =

sin х.

Аргументу х

придадим прираще

ние Ах, в результате чего функция получит

приращение

Ay — s'm(x-\- Ах)—sin х = 2 sin

cos ^

+ ~ -

Тогда

„

. Дх

cos

Дх

2 sin

х 4-

у' = lim —— = lim

Дх

Д д - О

Дх

Дл: - 0

„ Дх

, Дх \

cos

1х -)

2 /

Дх \

= cosx.

= h m

— =

lim cos\x-\

Д д : - 0

Дх

Длг - 0

При вычислении этого предела мы воспользовались эквивалент

ностью синуса бесконечно малой дуги самой дуге (там же, стр. 171).

Итак,

(sin х)' = cos х.

(1.20)

Аналогично

можно

получить

формулу

(cosx') = —sin х.

(1-21)

Используя правило (1.18), находим

у/ sinx у (sin х)' cos х — sin х (cos х)'

(igx) •	cos x J	C osa x
	cos2 x + sin2 x	1
	sin2 x	cos2 x

1. у = 5А:3 — 2 tg х; у' = (5х3 )' — (2 tg х)' = 15л:2 -

Итак,

аналогично

Примеры.

(tg*)' = — — = sec2A:.

можно получить

(ctg х') = — - — cosec3 х. sin2 *:

(1.22)

(1.23)

2.	г/= л;2 sin А:;	у' =	(л:2)' sin л: +
_	cos л:	,	(COSX)'A: —

3.у = : у' = —

Х 2

	cos2 л:
л:2 (sin х)' =	2х sin х -4- A:2 COS х.
cos А: (л:)'	л; sin А: + cos х
——=	!
	Х 2

4. у — 5 sin х; йу = (5 sin х)' dx = 5 cos xdx.

1.13. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

Пусть теперь у = \ogax (<з>0; а Ф 1). Приращение этой функ ции, соответствующее приращению Ал: аргумента, будет

Ay = log, (х + Ах) -		log0 х = loga Г - Ц ^ = loga f 1 +
					х
	=	loga e-ln 1			Ал;
(мы воспользовались	здесь		тождеством		loga А = loga е- 1пЛ).
Следовательно,
				Л * \	ДА;
		1 П	1 + '	А;
г/' = П т - ^ - = 1°ёае -1™		—^—;		- = loga e-lim —— = 4 " l o S a e -
д* - о ДА;	ДХ-О		ДА;		Д*-О ДА;	Х

При вычислении этого предела мы заменили бесконечно малую

In (1 + 4^"") эквивалентной					ей бесконечно малой	4 ~	(там же,
( ! + • ¥ • ) «
стр. 167). Итак
				(loga *)' = 4rloga e.			(1-24)
В частности,			при а = е получаем правило дифференцирования
натурального логарифма
					( I n * ) ' = 4 - .	'	(1-25)
Примеры.
1.	у' =	10 log2	*:	У' = 1 0 —	1 о 8а е.
2.	г/ =	A;2 In х\	у'	= (A;2)' In А: + Х2 (In А:)' = 2А; In х + А:2		4 " =	2А; In А: + х.
16

1.14. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть сложная функция у аргумента х задана уравнениями

		y = f(u),			I			(1-26)
			I	ч	I			(1-26)
		u = q>(x).			)					;
Имеет	место	следующая	теорема.		Если	функции	f (и)	и	ср (х)
дифференцируемы		в соответствующих			друг	другу точках		и,	х, то
сложная	функция	у — Дер (х)] тоже дифференцируема					в	точке		х,
причем		y'	= f'{u)-u'					(1.27)
или		y'	= f'{u)-u'					(1.27)
или		dy	dy		du
		dy	dy		du
	'	dx	du	dx
Таким образом, производная от сложной функции у по незави
симой переменной х равна			производной от			сложной	функции			у

по промежуточному аргументу и, умноженной на производную промежуточного аргумента и по независимой переменной х.

Д о к а з а т е л ь с т в о .				Придадим независимой				переменной х
приращение		Дх; тогда функция				и =	ср (х) получит	приращение
Аи,	что вызовет приращение Ау				функции у = f (и). Так как функ
ция	у — / (и) по		условию дифференцируема в рассматриваемой
точке и, то ее приращение можно						представить в форме
			Ay — f	(и) Аи +			аАи,
где а -> 0 при Да			0. Отсюда
			-.f>{u)J±			+ a*!L.		(1.28)
			Ах		Ах		Ах
	Функция	и =	ср (х) дифференцируема, а значит,					и непрерывна

в точке х, соответствующей рассмотренной выше точке и, следова тельно, lim Аи = 0, а потому и lim а = 0. Перейдя в равенстве

(1.28) к пределу при Ах -у 0 и учитывая последнее соотношение, придем к равенству (1.27).

Умножив равенство (1.27) почленно на dx, получим следующее

выражение для дифференциала сложной	функции:
dy = f'(u)du.	> (1.29)

Этот же вид дифференциал функции у — / (и) имел бы и в том "случае, если бы переменная и была не промежуточным аргументом, а независимой переменной. В этом состоит так называемое с в о й

с т в о и н в а р и а н т н о с т и (неизменяемости)	формы диффе
ренциала по отношению к аргументу. Здесь только	следует иметь

в виду, что если и — независимая переменная, то du есть ее произ вольное приращение, если же и — промежуточный аргумент, т. е. функция, то du есть дифференциал этой функции, т. е. величина, вообще говоря, не совпадающая с ее приращение|ц

	Гсо. --	. • . • г
2 Заказ № 118)	mr---y - v.	.... w •

ОнСч.едток* СО'. ЭКЗЕМПЛЯР-

Примеры.

у =

(2 +

я5 )1 0 -

Положим

у =

и1 »,

и =

2 +

хъ.

По формуле

(1.27)

имеем

у'

10u9 u'

10 (2 +

хь)я

(2 +

л:5)' =

(2 +

*5 )8 -5** = 50*4 X

х8 ) 9 .

у =

у'

—

t/ =

sin

5А;.

Положим

sin

и,

ы =

5*.

По формуле (1.27)

будет

cos и-и' =

cos

5л:-(5*:)' =

5 cos 5л:.

г/ =

In (tg

л:).

Положим

= In и,

и =

х.

Тогда

У =

ч ,

= •

—

— —

(tg х)'

igx

cos2 Л:

sin 2Л:

tgx

(При известном навыке букву и не пишут, вводя ее лишь мысленно.)

4.	у =	(2 +	3 In хУ;	у' = 4	(2 +	3 In .г)3	(2 + 3 In л:)' =	(2 -f- 3 In л:)3.
5.	у =	cos	(2л:3); у =	— sin	(2л:3)	(2л-3)'	= — 6*2 sin (2л:3).

Пусть теперь у как сложная функция от х представлена цепоч кой, состоящей не из двух, как в случае (1.26), а из трех дифферен

цируемых функций: у — f				(и), и	= ф (v), v	=	(х).	Согласно	пра
вилу	(1.27)	имеем у'	= f	(и)-и',	но в силу	того	же	правила	и' =
= ф'	(v)- v'	= ф' (v)	г\|>' (х); итак,

У'=/'(")Ф'(о)!>'(*)• Коротко можно сказать, что производная сложной функции

равна	произведению производных						от функций,		ее	составляющих.
6.	у =	In sin (2л?). Положим				у=1пи,	и = sin v,	v =	2xs.	Тогда
		у' = —	cos vv'	=	l-	cos	(2Л.-3) (2Л:3)' =	6x2	ctg	(2л?).
		u			sin (2л.-3)
7.	у =	[In (1 +	л-2)]*;	y'	= 4	[In (1 +	л:2 )]3 — —	(1 +	* 2 ) ' =
	~				• Sx		1 + л:2
	~				• Sx
					1 +	In3	(1 + JC2).
					1 +	X2

1.15.ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ

Пусть у — ха, где а — любое действительное число. Производ ную этой функции можно было бы найти, пользуясь ее определе нием, однако мы быстрее достигнем цели, применив прием л о г а - р и ф м и ч е с к о г о д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я . Этот прием состоит в том, что функцию сначала логарифмируют, а потом уже дифференцируют. Прологарифмируем данную функцию, предпо лагая, что x5>0: In у = a In х. Здесь у есть функция от х, в силу чего левая часть этого равенства является сложной функцией от х.

Дифференцируем обе части последнего равенства по х, причем его левую ч-асть дифференцируем как сложную функцию: — у' —

1	1	и	ха	—i
=	а —	. Отсюда находим у' = а ~-	= а — = аха	. Итак,
		{ха)'=аха-1.		(1.30)

Легко показать, что эта формула верна и при х < 0 ,

если только

в этом случае ха

имеет смысл.

Выше

[см.'формулу

(1.5)]

формула

(1.30)

была

выведена

для

натурального

показателя

а =

п.

Примеры.

у =

— - f

2 у ^ =

З х _

4 +

—

;

у' =

3 ( —

4х~5)

2 х 3

х*

„ - 1 .

..,

л ..—5"

„ I

)

< / = - ^

^ =

2х

a - * "

;

*/'=2

^ л :

У х

- ( - Ь , - 2 ) =

" 1

# =

У^е

cos х;

у' =

()/"*)' cos

х +

(cos)' =

—^7= cos д; — Ух

sin

х.

•

у х

у =

Ух2

Положим

у — Уи,

и = хг +

Тогда

и'=

(

Х 2

(ЛГ2

1)'

= •

•

2 v

(/ =

(cos

д:)2

. Положим

у =

2 ,

u =

cos х.

Тогда

— 2и~3

п .

2 sin

X и

— 2 (cos

х)

(cos

х)

= (cos

Л;)3

1.16.ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть у — ах ( а > 0 , а Ф 1). Для отыскания производной этой функции снова применим логарифмическое дифференцирование.

Логарифмируем

данную

функцию: In у =

х In а.

Дифференцируя

обе части

этого

равенства по х, находим— -у' =

\-\na, откуда

у'

у In а =

ах

In а. Итак,

(а*)'= 0*111 а,

(1.31)

в частности,

при

а =

е,

(e*).' = e*.

' .

Примеры.

у =

3* +

2е*;

(/' =

3* In 3 +

2е*.

у =

еьх.

Положим у

= е", и =

5л:. Тогда

= eu -u'

= е^-б.

/JT

Ух / , / - у

т^1ё

3. у = е

;

(У ж) = - — ? = - е .

2 Уд:

<<< < Предыдущая 12 / 182 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ