Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Постникова Л.П. Тауберова теория с приложениями к аналитической теории чисел учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1513 14 15 > Следующая >>>

	\ u k r l U ) -					u M ± £ l ~ 7			l - ) T -
Это неравенство			показывает,			что ряд
		Il-с							СО, 1 1
сходится равномерно и абсолютно на отрезке									СО, 1 1		, т . е . мы име
ем равномерно		на [О,		Т]
			lim		UnU)		= U H).
Переходя в			а-г	со
Переходя в	соотношепии						с»
							с»
		ИаЛе)=1(і)і-іип(і-)(і)с{і									(2)
							с		IL И)
к пределу	при /1. га,			видим,		что функция			IL И)	удовлетворяет
уравнению ( I ) .						Ll(i)				на отрезке Г. С, Т] .
.Заметим,			что функция			Ll(i)		ограничена		на отрезке Г. С, Т] .
Докажем единственность решения. Пусть îrH)											другое решение
уравнения	( I ) . Мы имеем				,
	ii(t)-		fUy-litLW-VUWt-qdi.								•
Откуда					'с	t
Откуда						t
	\ll(t)		- Г(і)\		é	с\\іШ)-Ѵ(і)\сіі				•
Положим
Очевидно,	.-t'(t)		& О И
		l i t )		£ С J		£(i)di					(4)
Обозначим	через		:ІІ{~/!'СІ			максимум фунмции				£(4)	на отрезке
[ С , 1/£С	}	пусть это значение					достигается при і				= f- .
Из (4) следует						f
						f

- I2T ~

		"о					л
Неравенство		M		(g?)	^	тЛіітгс)		может иметь	место только
если				,	.	. ,	і
Итак,			^	О	на		/ О, */о	С J , Неравенство		(4) мокло
теперь написать в				виде						S l
Обозначив	>ізрез		Si ( Vû)			максимум функции			на	отрезке
[УаС	\/С	]>		повторим рассуждения и получим,						что

Отрезок [0,Т] можно покрыть непересекающимися отрезками, длины которых не превосходят [ С ] , поэтому, продолжая описанный выше тхщѳсс тассувдений, мы получим, что

на ІО,Т]	, т . е .	- ѴЩ.
	иШ	- ѴЩ.
Теорема	доказана.

В дальнейшем нам потребуются некоторые вспомогательные предложения, относящиеся к свойствам решений уравнения восстанов

ления.		.	0 и	¥(4) ^	С на отрезке C&j Т] ,
Лемма	I . Если /		0 и	¥(4) ^	С на отрезке C&j Т] ,
то н решение	уравнения	( I )	Щі)	обладал1	свойством, что

Доказательство. В самом деле, формулы (2) показывают, чтов условия •f(-è)?0 я Ч1(і)?>0 имеат следствием, что лри любом п на отрезке Ю,71

Значит,

UU)	= Urn-	it M	•
.Цемма 2. Пуота»	Ч'Ц} непрерылнаа фуніщи... Ьчатг.				урарягизд
ІП'і)	= 1 + j	ii'J	-*)'•{:г.	,	( ь ,

- 122 -

является дифференцируемой L функцией и производная этого решения il'(-t) удовлетворяет уравнению

(6)

Доказательство. Будем решать методом последовательных приближений уравнение (5) и уравнение

[ и * а - 4 ) * ( Ы і .

(6' )

Будем выписывать эти последовательные приближения в двух парал лельных столбцах, причём приближения к решению уравнения ( 5 ) будем нумеровать с нуля, а приближения к решению уравнения (б1 ) будем выписывать с единицы:

Ült,-L U) =

Мы видим, что все U/L(l) , il = 1,2,3, . . . являются дифференцируемыми функциями (здесь используется условие непрерыв

ности функции 4.L-S)	. Для всякого		П. = 0 , 1 , 2 , . . .
Заметим, что
и далее		t
		t
U'fh.i-t)--ила)Ч'(і)		+ J u,i	C i - i )	4d)cLi
t
• ^'.\) ï J	u'Ji	-s)чШ*	-•:	u^d).

- 123 -

Сравним ряда

il (t) = Ii, Li) + У {ütl.rLLi)

U/L

И))

"" L

Il -i

Мы видам, что

второй

ряд получается почленным

дифференцированием

первого. Кроме

того,

второй ряд равномерно сходится. По теореме

о дифференцировании

рядов

мы заключаем,

что

Ц. (I) является диф

ференцируемой

функцией

Леша

доказана.

Мы будем

заниматься

вопросом об асимптотическом

поведении

рѳшвняЗ уравнения

ü(i)

= 1 + yil(t-i)4(S)cLi

(5)

при i

о* ,

Докажем одну

из

простейших

теорем, относящихся к

этому

вопросу.

^(1)

Теорема.

Пусть

непрерывная

и неотрицательная на

положительной

полупрямой функция,

такая

что

я:и)dt

(7)

t ' Ш ' й ' г

= / / 1 ,

^ J

(8)

Обозначим через

II (t/

решение

уравнения восстановления

(5).

Пра

7 - * о*

имеет

место асимптотическое

соотношение

t'a

Доказауельс'гьи. Яа основании леммн 2 ш можем утверждать, что Фуътатяя il Ci), являющаяся решением уравнения (5), является дифференцируемой и её проказодная -U.'(i) удовлетворяет уравне нию

# 7 ' і Л - 777) г j

; ; v , V u

(s)

124 »

По лемме I в

силу того,

что

Чііі)

О ,

имеем

Докажем,

что

интеграл

и'(х)е~

сходится при

> 0

. Для этого обратимся к итерационному про

цессу

решения уравнения

(6).

В силѵ условия (7)

при любом -J у О

Ѵч имеем при

< £ .

и[=Lï

= L

Таким

образом,

при

любом

; У О

Но на

10:Т]

i l п

(X)

равномерно

стремится к

ùtaCx)

Значит,

Так как и'(X) О ,то с ростом 7' интеграл не убывает и

Um, J u'()е~Md	- j	а'(у9е'Ллаа
T-~ со 0	р
Ö
существует.

Перейдём в уравнении (6) к преобразованию Далласа. По тео

реме о свёртке при і > О
	I и' - і ч + i t	'L	а '.
откуда	- 125	-
	- 125	-

					1 -		і ч
Пусть і -~ 0j в силу соотношения (7) по второй теореме
Абеля
			І-*	О
Далее мы имеем
откуда									-it
						0	0		-it
Так как	1 - 6		é -J-C		,	то
и значит.
При любом	T	в	силу	Y (і)			С
Отсвда
Это неравенство			верно	при любом				/	и значит,
Итак, при	i	—>с
			i	-	Ltf'	~	« і ^		•
							-	126	-

Таким образом, при 4 —~ О

j	it	LLjc	ас	l__Lt
Поскольку		II U) г	0 ,	то по таубѳровой тѳореиѳ				Харда а Литтлвуда
для преобразований			Лапласа при		Т ~ *		^
			Т
			и1 u m		'V		х
или
			U(T)-ü(o)~				X
							/TL j
что равнозначно
			a	e r ) -	X	•		о )
Теорема	доказана.
	Мы были вынуждены ограничиться						минимумом'	сведений,	отно
сящихся к уравнению восстановления						( I ) . Лнцс Ентересущи^ся			sтам

кругом вопросов, мы отсылаем к главе УІІ книги Р.Беллмана и К.Кука

"Дифференциально

разностные

уравнения", М.ДЭ67.

§ 3.

Тауберова

теорема о

свёрткеиг

Нижеследующая теорема

носит

элементарный

характер,

однако

в приложениях она оказывается весьма ^ффектиБноа.

Теорема. Дана последовательность вещественных чисел

. f t

•?

/ і

Jo-О,

Р,

= I

/1=0

тех

для которых

/п

j в

равен

общий наибольший делитель

единице. Положим

І10 = і

и определим

{і п при

формулой

- 127 -

Тогда
где	.
	^ к fn ' е с л и ^ ^			І Ь І П	-	С Х О Л И Т С Я '
	* = і '					(2'
	0	если ряд	J>__ /г / п .			расходится.
			л = і
	Доказательство. Положим
	2/г	~ І~п->-і	~*	fn+ц	+

Отсюда

Мы имеем

Отсюда /поскольку получаем Обозначим

Получаем

		ѵ4/ г	r	d „ _ t		- •• • - Ac-2c			LLC	- t .
Итак, при любом И-
Из определяющей формулы
по индукции	получаем		^ л		*	i	. Положим
		./1		=	Um.		lla.
для любого	L	> 0 и всех			достаточно			больших		iL .
и суш.ествуѳт		подходящая		последовательность					номеров И ( , такая, что
							- 128	-

lim

Ü,i,

- 'X .

Пусть

j.. > 0

такой

номер,' что

> О

. Докажем,

что

Доказываем это от противного. Если бы это было не

так,

то

нашлось

бы такое

.Я

, что

при достаточно

больших V

Так

как

Р,ь

есть

остаток сходящегося

ряда,

тс

найдётся

та

кое,

что

-é

Tait

как

ІІК

< j

, то

при

? JV

имеем

по формуле ( I )

ÜII

ft {1>L -Г h

Un-L

• +/jf

U-П-А' +

Д > і

( 4)

Пусть

.'I -

1 ;

большим индексом

. В этом

неравенстве

правей

части

воспользуемся

тем,

что

< Я + £

Ui,-J.

Это

даёт

Возьмём £. настолько малым,	чтобы {:(%-Л')	У	.
тогда	id' s	'
It г <	Я - С

Это противоречит предположению, йтаіс.

Повторяя эти pêR-еувдения, получаем, что орк любам целом А.' » О

Предположда, что		fL.1 >С	, т . е .	что	j . = £	.	Тогда	при любом фик
сированном	целом К
Полагаем в	формуле	(3)	П- =	,) ,	получим
При фиксированном		У	каждое	О-п -ц		Л	. так	что
Таким образом,

Ilm /-/„

По

Отсюда

Устремляя Л' к бесконечности, получим

	à/71		CL.	±	p
	'A
Если	p = 0	,	т . е . ряд
расходится,	то в силу		неравенства		На ? і
Пусть	теперь	ряд

2L, 1 1 fil

~ 130 -

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1513 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ