книги из ГПНТБ / Постникова Л.П. Тауберова теория с приложениями к аналитической теории чисел учеб. пособие
.pdfВ силу условия |
ІПе - 0 |
это равенство будет верно |
ипри II - I .
Обозначим теперь
tn. |
= l ( X ' L + |
~ |
il |
' ) ' |
По условию |
Іц-*~ 0 при |
Ч |
-»-«»o. |
ùii имеем, очевидно, |
tn |
= j , [ п m t l |
- ( H - D i n ^ * - |
||
Значит, |
|
|
|
|
|
Л |
|
|
|
П t, = —j |
|
2 |
|
|
IIa пишем эту цепочку равенств подробнее
і - 0
2-t*
n tIL |
= - ^ -• m . e |
An-zt-i . |
«îioia талая, получас:.:
или |
|
|
s! |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ l u |
|
|
/ ^ v t _ |
' |
|
ѣТТГ+Т) |
' |
|
|
|
|
|
|
о |
|
Поскольку |
^,;. |
*- Г |
, то |
ta |
01'рзнкчено, т . е . существует |
|
тм-:он |
, что |
ігги |
ліоОо;; |
II |
! |
-Jt . |
- Il -
Далее, |
для |
заданного £ * 0 |
найдётся |
такое |
Л'с - |
А/е(б), |
|||||||
что |
при |
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ П 1 |
ч \ - |
|
|
УьТііУГ) |
|
|
< |
|
|
tLULLit |
~ = |
|
|
|
|
|
|
|
П (n-r |
l) |
|
|
|
|
||
|
И значит, при достаточно |
большом |
Л- |
|
|
|
|||||||
|
По |
£ |
|
сколь угодно |
малое, то |
есть |
|
|
|
||||
|
|
|
|
iim |
Шл |
|
= |
0. |
|
|
|
|
|
|
Вспомним, |
что |
m,L |
- |
- 1 |
т |
' "г—- |
, а |
также вспомним, |
||||
что |
по условию |
теоремы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
tun |
(Kn + |
|
-^—» |
/ |
= |
^ • |
|
||
|
|
Теперь |
мо;:;ем |
заключить, |
что |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
•Іігть |
Xп, |
~ |
І , |
|
|
|
|
|
|
и теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Укажем |
па интегральный |
аналог теоремы |
Иерсера. |
Пусть |
||||||||
на |
( С/ |
^ - 0 |
) |
задана |
непрерішпал |
функшш |
|
•/ ( и ) |
и пусть |
||||
при |
•£-*•«=-=> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
тогда
|
|
|
ь |
|
Можно также, |
обозначив |
|
|
|
|
|
'о |
|
|
сформулировать |
теорему |
так: |
пусть |
непрерывно диф |
ференцируемая |
функция, |
тогда |
из того, |
что |
um |
I |
+ Ц-) |
= 2 а |
{ -»- Очэ |
|
|
|
следует, что |
при |
t |
|
І.Іы доказали лишь простейшую форму теоремы Мерсера. Сформулируем более общую. Зафиксируем cL > О н пусть последовательность (I) такая, что
.і.кГІ |
+ (1 -л) |
-і |
l - |
|
a. f |
тогда |
|
|
|
|
|
|
Уп. — « |
|
|
|
|
(ми рассмотрели частішіі |
случаіі |
où - / |
) . |
.Доказательство |
|
мокно паііти в |
книге Хардл "Расходяищеся |
ряди" |
параграфы 5.9 |
||
и 5.IU. |
|
|
|
|
|
§ 3. |
Теорема Хагщи-Ландау о восстановлении |
||||
|
|
сходимости |
|
|
|
Повторим ещё раз. Из того, что числовая последователь
ность
имеет щюдел О. следует, что и последовательность средниг арифметических
Хі, |
о |
> ••• > |
К |
""{и) |
иі.юет тот УХО предел |
CL |
, обратное, вообще |
говоря, неверно. |
|
Однако, если на последовательность ( I ) наложить допол нительное ограничение, то будет верно и обратное утверждение.
Именно Хардк |
доказал |
следующее |
утверждение. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Теорема.Пусть последовательность |
( I ) такая, что |
существу |
||||||||||||
ет |
постоянная |
С > С |
такая, |
что при |
/I = 1,â,3,. |
|
. |
|||||||||
тогда,если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
tun. |
|
~Іг |
|
|
= |
a |
, |
|
|
|
|
|
то |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cirri |
X,i |
= |
CZ . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Э. Лакцау |
показал, |
что |
иста-ю довольствоваться односторон |
|||||||||||
ним выполнением соотношения |
(3), |
т . е . |
он доказал |
следуяпіута |
||||||||||||
теорему. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Теорема.Пусть последовательность ( I ) вещественных чи |
||||||||||||||
сел |
такая, |
что существует |
постоянная |
С |
> Г |
такал, |
что при |
|||||||||
п |
= |
і, g,... |
|
х |
я ^ |
|
- |
х л |
> |
- |
ТС . |
|
|
|
О ' ) |
|
|
|
Тогда |
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТО И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сіггѵ Х„' Il |
|
= |
cl |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Нрекде |
чем доказывать |
эту |
теорему |
заметим, |
что |
условие |
||||||||
(3 |
) можно заменить неравенством "глялжш..;" в |
другую |
сторо |
|||||||||||||
ну, т . е . потребовать существование постоянной |
С > |
0 |
та |
|||||||||||||
кой, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ Г І + І |
~ |
Хя |
< |
Ті |
• |
(з") |
Для того, чтосіы а этом убедиться, достаточно заменить последовательность I XnJ на последовательность [~Xn~J •
Приступим к доказательству. Осіозначігм
|
|
|
|
|
m-л |
- |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
сумму |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
/ I и |
К |
|
щюпзвольнне |
натуральные |
чиола. |
Произведём |
||||||||
с |
суммой |
тождественные |
преобразования |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
. / ^ |
|
Z-""1 |
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
||
|
|
|
= K r r l , w K |
|
«• |
|
+ * " ^ і л ) . |
|
|
|
|||||
Пусть |
теперь |
|
fL |
< |
у |
< |
il + К |
. Согласно |
неравенству |
||||||
(3 |
' |
) |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
п+к |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = . « ? Д > * * » ~ f c С , |
|
|
|
( 5 ) |
||||||||
ііа |
неравенств |
(4) и |
(5) кмес." |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к* |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X» < |
" Ъ . К |
+ 'І (т-пгк-Піп) |
+ ъ |
ۥ . |
|
(6) |
|||||||
Станом |
теперь |
произвольно |
увеличивать |
M |
до |
бесконечности, |
|||||||||
а |
изменение |
К |
подчиним |
требованию, |
чтобы |
-jpf |
стремилось |
||||||||
он к |
палорёд |
заданному |
числу |
^ > О . |
|
|
|
|
|||||||
и |
:шяч .•:, |
;г.'-П!.і.ч |
ча.-^ть |
нора, |
jitcma |
(6) |
стремится |
к CL+SC |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- if5 - |
|
|
|
|
|
|
Из |
этого следует, |
что |
при достаточно больших Л- |
|
будет |
|||||||||||
выполняться |
соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
-с |
cuts |
С . |
|
|
|
(7) |
|||
|
Теперь |
аналогично |
сутл.іс |
fy |
рассмотрим сумму |
S, |
||||||||||
|
|
|
|
|
S |
=Л |
|
|
|
*/•. |
|
|
|
|
||
|
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,S' |
= |
|
к |
тп_к |
|
4 |
il |
|
|
(тц-гпп-ц). |
|
|||
|
Пусть |
tl-K^J. |
|
|
|
-с |
II |
, |
по |
неравенству |
(3') |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
КС |
|
ЭТО ПРИВОДИТ К нпрпвслстну |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
_ » |
< |
к х а |
+ |
|
к. |
, L |
с, |
|
|
|
|
||
|
|
Я |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Но iÇ-ото вспомогательная |
ьплпчпна, |
п важно |
нам |
неравенство |
||||||||||||
|
х„ > |
т п |
. к |
+• J |
|
( T u ^ / r , , ^ ) |
- |
С |
, |
|
(8) |
|||||
Еслж /1->-оо |
и |
одновременно |
|
"/t~ |
~"" £ |
как |
и |
прекде |
||||||||
(но |
теперь |
пусть |
|
£ |
< |
J>' |
) , то правая часть последнего |
|||||||||
неравенства |
стремится |
к щлэделу |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
а |
- |
|
г |
! |
т |
с . |
|
|
|
|
|
|
Так |
как |
£ < |
-g- |
|
, |
то |
О. - |
^ |
С ^ |
а - |
|
2ЕС f |
||||
и из |
неравенства |
(б) |
теперь |
слс.дуот, |
что при достаточно боль |
|||||||||||
ших |
П. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Хк >а - 2е с: . |
(У) |
Сопоставляя соотношения (7) и (9) видим, что
• lim Хц - & г
что и требуется доказпть.
§ 4. Суммирование рядов методом средин:: арифметических
Как известно, теория рядов базируется на теории пределов. Числовой ряд
ах + а2 |
-I . . . -+- Cl п |
называется сходящимся, |
если последовательность частішх суш |
имеет предел. Бея преувеличения |
ноглно сказать, |
что теория ря |
|
||
дов лишь но форме; отличается от теории пределов числовых после |
|
||||
довательностей. Почему именно такая форма придаётся теории |
|
||||
пределов? Па мой пзллд здесь две причини. Первая причина пси |
|
||||
хологически;!: вид ряда |
более |
эффектен, чем вид |
выражения |
|
|
ii.rn |
Х,і ~ |
О. • |
|
|
|
Например, эффектно выглядит |
равенство |
|
|
||
А.» |
- J |
|
е |
|
|
и совсеі: neü'1'пектііо |
|
|
|
|
|
|
к |
|
iL |
|
|
Ii. tri |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 - |
I |
ее. публкчыия |
fr |
|
|
РиОлкотѳка С С С Р |
I |
|||
|
|
|
|||
|
|
|
a іЗЕМПЛЯ.-» |
I |
|
|
|
|
ЧИТАЛЬНОГО ЗАЛА |
|
|
Вторая причина историческая. Теория рядов сложилась в традициях научных ткол Европы: именно ряда служили главным средством прибли жённых вычислений (приближённое нахождение корней алгебраического уравнения, приближённое представление функции в виде ряда Фурье и т . д . ) .
Как бы там юі было, но нам надо сформулировать теоремы, дока занные ранее для числовых последовательностей в форме тѳоре"м для рядов.
Превде всего имеет место следущѳе утверждение; Теорема. Если ряд
си, -t + ... + (Хп. ...
сходится, и его |
cjT.ff.Aa равпа |
Я |
, то |
последовательность средних |
|
арифметических |
частных |
сумм |
|
|
|
|
* |
> |
3 |
•> |
" ' |
сходится к тому же пределу. |
|
|
|
||
Это утверждение |
немедлѳішо |
вытекает из определения сумш |
|||
ряда и теоремы о пределе среднего арифметического. |
|||||
Обратное |
утверждѳ:ше,вообішэ |
говоря», неверно. Рассмотрим ряд |
|||
|
І - І |
+ І - І + І - . . . |
|||
Этот ряд очевидным образом расходится, |
не выполняется необходимый |
||||
признак сходимости. Однако последовательность средних арифметических частных сумм
/ ± А 1_ Ä. X ± і
имеет предел равный |
2 |
Математики ХУІІІ века оперировали с рядами, мало обра щая вшіыаиие па то, сходится они или нет. Расходящимся ря дом приписывали сут.іг,іу. Так Лейбниц писал равенство
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - . . . = ! .
Расходящиеся ряды присутствовали как промежуточный этап в вычислениях. Эйлер, оперируя с расхсдают.лгся рядами, открыл одно из фундаментальных соотношений теор:п: чпсол - фуіпщпо-
.палыюе уравнение для дзета фушицш Римана. Как известно, О.Коши создал теории пределов и строго определили понятие суммы ряда. После этого все рассуждения, в которых встреча лись расходящиеся ряды (в том числе и рассуздекме классиков) нужно было признать ошибочным и искать доказательств кх утверждений на пути строгой логики.
Но наряду с этим был другой, менее формальный подход. Предполагалось взглянуть на ряд несколько ииими гла
зами. Пусть ряц не иі.іеет суммы в смысле Кош::, т . е . является расходящимся, однако возможно, что он ЯВЛЯЕТСЯ носителем некоторой "скрытой суммы", и задача математика состоит з том, чтобы эту"скрытую сумму" "выявить". Сразу приходит в голову попытаться приписать ряду
а А + а г -г . . . |
+• clil + ... |
скрытую cyr.if.iy равную пределу среднего арифметического част ных суш
cl = Lim |
с |
n |
Нам важно заметить, что при этом мы не прихода:.) в противоре чие с понятием суммы по Коміи: в саком деле, если ряд
Clj t- CtP +,..
сходится к сумме Cl |
, то и oi'o "скрытая сумма" равна |
t |
Термин "скрктаи оуѵъи" |
возможно стимулирует интуицию, но |
не |
имеет четкого сіліела. |
|
|
- ІУ -
On itoделение. Ми будем говорить, что ряд
суммируем |
методом |
средних |
арифметических |
|
или |
методом |
(C,ï) |
||||||||||||
к сумме |
О. |
, |
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a |
= |
Um |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
О |
О |
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
, |
)>5 |
, |
|
. . . |
, |
Oft. , |
|
|
|
|
|
|
|
||
последовательность частних |
су;..-.; ряда |
( I ) . |
|
|
|
|
|||||||||||||
Буква |
|
С |
в |
обозначении |
{С, і) |
|
ставится |
но |
первой |
букве |
|||||||||
латинского |
|
і:а:с:саішя |
фнмішш |
математика |
Чезаро, |
хотя исходные идеи, |
|||||||||||||
о которііх |
мы говорили, |
принадлежат |
Фробеппусу. Иногда |
для |
|||||||||||||||
краткости |
пииу? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(с,.i) |
|
|
CLiч-а, |
|
і-••• -г |
а |
п |
*... |
- |
а . |
|
||||
Так, |
|
например, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
{СJ) |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
||
Из марем.. о пределе среднего арифметического сле.цует |
|||||||||||||||||||
свойство перманентности |
метода |
(<2, |
I |
) |
. |
Это означает, |
что |
||||||||||||
если ряд имеет суі.гг/ в осшчиом |
смисле слова ( т . е . в смысле |
||||||||||||||||||
Кош), |
то |
он |
суммируется |
методом |
(С, |
і |
) |
к тому же числу <-1 . |
|||||||||||
|
Теперь переформулируем теорему Харци-Ландлу на языке |
||||||||||||||||||
рядов. Для |
этого |
нам |
необходимо заметить, |
что |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
- |
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема. Дан ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
a L |
+ |
а |
г |
+ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
( i ) |
||