книги из ГПНТБ / Постникова Л.П. Тауберова теория с приложениями к аналитической теории чисел учеб. пособие
.pdfсходится. Положим
Y |
= Uni |
Un. |
Рассуждая как ранее, |
мы убеждаемся в том, что если fi? О и |
|
|
|
|
Urn. UЛу |
=у > |
|
|||
|
|
|
у-* оо |
|
|
|
|
|
то при любом целом индексе |
|
|
|
|
||||
Так как |
мы предположили, |
что |
ряд |
|
|
|||
|
|
|
2 |
п |
к |
|
|
|
|
|
|
п-і |
|
|
|
|
|
сходится, то |
имеет |
место |
соотношение |
|
||||
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
2С |
+ |
|
= Ц |
л Д |
? |
|
и значит при достаточно больших |
j |
/ |
|
|||||
Тан как |
UL |
і 1 |
, то из формулы |
(3) с |
Л "Л-у . имзѳм |
|||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.г |
# я |
|
- ^ -- ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переходя |
к пределу |
Л' "^" |
, полупим |
|
||||
Um lLfL ^ (і - É.)P
Теперь,бзря £-*C ^случаем
ttm. It,i -
- 131 -
Итак, теорема |
доказана, если |
Д |
> 0 • Пусть |
-ft - Û • |
|
Рассмотрим |
множество |
тех значений ty |
, |
для которых |
f-j_> О • |
По условию |
общий наибольший делитель |
всех элементов |
этого множест |
||
ва рввен единице. Из этого множества индексов можно выделить конеч
ное |
подмножество, обладающее |
таким же свойством. В самом деле, |
||||||||||||||||||
пусть J,0 |
У і |
наименьший |
индекс, |
|
что |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
/,. |
|
>0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Разложил |
/. |
на простые |
множители |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
J-ç-Pi |
|
- Л |
- |
|
|
|
|
|
|
|||
Предположение, |
что все номера |
у |
|
, |
для которых |
> 0 , |
делятся |
|||||||||||||
на |
р і |
|
, |
невозможно, |
значит, |
существует наименьшее^такое, |
|
что |
||||||||||||
f |
I |
>0 |
,но |
j , L |
не делится |
|
на |
р± |
. Аналогично есть |
наи |
||||||||||
м е н ь ш е е ^ |
такое, что /j.s^0 |
|
|
, |
для которого |
J.^ |
не |
делится |
||||||||||||
на |
рг |
|
. Наконец, имеется j ,і |
такое, что fyfO |
и |
р± ^ j 1 6 . |
||||||||||||||
Множество РШДОКСОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
' |
h |
|
» h 1 |
"" 'У> |
|
|
|
|
|
||
и есть |
требуемое множество. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Из ранее |
приврдённых |
рассуждений |
следует, что если |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
[и |
11 Un, |
- Uni |
il m, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
{• -*-с~-) |
|
^ |
П) -У іѵ» |
} |
|
|
|
|
||||
то при любом |
I |
= 0,1,2, . . . |
|
, |
-4 |
и любом неотрицательном це |
||||||||||||||
лом |
XI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Um |
IL a -xt ii |
~ t-un- |
iïn . |
|
|
|
|
|||||||
Но отсюда |
следует, что при любых фиксированных |
неотрицательных це |
||||||||||||||||||
лых |
у,„ , |
Х х |
|
|
Xs |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
lim, |
IL, |
_v |
|
,• |
|
|
x . |
= tun |
U , b . |
( |
5 |
) |
||
Теперь |
нам надо |
воспользоваться |
некоторыми |
рассуждениями, |
относя |
|||||||||||||||
щимися к теории чисел. Пусть натуральные числа |
j . . r |
, |
^ { |
, |
••.•j.s |
|||||||||||||||
тлеют общий наибольший делитель, равный I . Рассмотрим м;га*пптво ' |
||||||||||||||||||||
всех чисел |
представимых в Биде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
XcJ-c |
+Хф |
|
< |
|
|
ь л ^ . , |
|
|
|
|
|
|
||
- 132 -
с любыми целыми Хо |
X І • Е с л и 11 Ç |
и / і ?7l |
, то |
а-& С- Ж .
Далее, если |
CL G |
fyZ |
и |
К |
любое целое, то П.. -к |
£ 77Z |
. Обозна |
||
чим наименьшее положительное число, содержащееся в |
7?Z , |
через ^ |
|||||||
Докажем, что |
CJ, |
делит |
все |
элементы |
37Х |
. В самом деле, если |
|||
Cl G 7TL |
и h |
не |
делится на |
, |
то, деля |
на |
с |
||
остатком, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a --ft |
*г{ |
,с< |
zL |
<>. |
|
Но в силу того, что CL £ |
73I и |
£ |
, |
^ , |
£ |
, что |
противоречит определению |
. |
К «^?- |
, очевидно, |
принадлежат' |
||
т . е . |
по |
условию |
на |
числа |
^ |
|
' |
j-i |
' |
i s |
><•}'- |
!• |
|||
Поскольку число |
I |
принадлежит |
к |
УЦ |
, то |
t$%. |
совпадает |
со |
|||||||
всем |
натуральным |
рядом, т . е . в виде |
|
|
|
|
|||||||||
с целыми |
А0 |
, |
X£ |
, . . . , |
У, |
представимо |
всякое целое число К . |
||||||||
|
Докажем, |
что |
если |
|
O |
f |
J |
' і.) у с |
.... j , ^ , TOB представ |
||||||
лении |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можно взять |
|
X„ |
, |
x t |
, . . . . |
X j |
|
неотрицательными. Установим это |
|||||||
для |
i - |
P. |
; |
из |
доказательства станет |
ясным; как установить |
теорему |
||||||||
и в |
общем случае. |
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
К - |
X, |
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-,. JA- |
|
, J-è- = |
J L |
|
|
|||
Так |
как |
( |
<: {d |
\ |
< L |
для |
любого |
числа |
, |
то |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
133 |
- |
|
|
|
|
Введём целые числа |
|
|
|
t |
= |
Х„ |
li |
|
t = + |
|
|
to'-- |
Xt |
|
ehо }-i |
||
Очевидно, что |
||
|
||
Далее |
|
|
Xi |
|
|
Отсвда |
|
К = |
-kj>itt>ot |
Очевидно,
мы построили |
нужное представление. |
|
Теперь |
из формулы (5) |
мы заключаем, что при К ?(^i-)Ji--J^j |
|
lim, |
Ii п. ц ~ tun |
- 134 -
Применим соотношение (3) к номерам
получим |
|
+" |
L i a , , - ( v u ^ . . . j i - j v ; |
отсюда |
|
i 1 /н.
Это доказывает теорему в случае расходящегося ряда
ПуСТЬ РЯД |
со |
|
|
|
сходится. |
Тогда |
|
|
|
если /с ä |
(4-+l)j0 . |
. |
Повторяя |
рассуждения с |
мы завершаем доказательство |
теоремы. |
|
||
Теорему о свертках |
мы назвали |
тауберовой. Возможно, что вто |
||
некоторая натяжка. Приведём объяснение. Тауберову теорему Литтлвуда можно сформулировать следующим образом: если
|
|
|
|
Ьк |
= |
5п |
- |
(П - i) Sn-i |
|
|
{.*) |
|
и |
Citl— |
0(k) |
, |
то из |
Sn.-*Cl следует, что |
Q,K-* |
S |
• Равен |
||||
ством |
(*) |
последовательность |
определена |
через |
последова |
|||||||
тельность |
8Я |
. Равенством |
( I ) |
последовательность UtL |
|
определена |
||||||
через |
последовательность |
fK |
. |
В теореме Лнттлвуда по |
свойствам |
|||||||
последовательности |
S a |
устанавливают |
свойство |
последовательности |
||||||||
|
СІІѴ |
|
, в |
теореме о |
свертках по |
свойствам |
последовательнос |
|||||
ти |
|
|
устанавливают |
свойство |
последовательности |
Ык |
||||||
- 135 -
§ 4. Рекуррентные события
Мы займёмся вопросами, которые являются дискретными анало гами вопроса об уравнении восстановления. Речь будет идти о рекур рентных событиях. Подробное изложение этой теории можно найти в книге П.Феллера "Введение в теорию вероятностей и её приложения", М.,1964, гл. 13, Наше изложение будет и лаконичным и фрагментарным.
Рассмотрим бесконечную последовательность испытаний. В каж дом испытании может появиться некоторое событие /? ; , 'у =1^2,... .
Испытания могут быть зависимыми, более того в самых интересных вариантах испытания зависимы. Пусть
какой-то возможный протокол бесконечной серии испытаний. Пусть некоторое свойство конечных отрезков протокола ( I ) , т . е . для каж дого конечного отрезка протокола ( I )
|
|
|
|
F- |
Г- |
|
|
Л |
|
|
|
|
можно |
сказать |
обладает |
он свойством |
£ |
или нет. Если |
этот . |
||||||
отрезок |
обладает |
свойством |
£ , |
то |
будем говорить, |
что |
на |
ft -ом |
||||
шаге |
последовательности |
испытаний |
наступило "событие |
£ |
". |
Со |
||||||
бытие |
£ |
называется рекуррентным, |
если |
после осуществления |
со |
|||||||
бытия |
£ |
на |
il |
-ом |
месте |
вероятностное описание |
последователь |
|||||
ности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е
тождественно с вероятностным описанием исходной последовательности
ш
Сказанное, конечно, не является точным определением, а лишь "объяс0 неяием" точное определение рекуррентного события можно найти на
отр. 305 цитированной книги Феллера. Поспешны |
обратиться к при |
мерам, поясняющим рекуррентность события. |
|
I . Колебания слабохарактерных. Имеются |
три точки |
|
|
|
|
|
/ |
, |
à L . |
|
|
|
|
|
|
|
В начальный |
момент частица |
находится в |
точке |
ѣс |
. В момент вре |
|||||||||
мени |
t = £ |
частица |
может |
с вероятностью |
Ѵ«2 перейти либо в точ |
|||||||||
ку А |
_ j_ > либо |
в точку <А I |
, |
а в |
момент |
времени |
t |
= '{ |
частица |
|||||
возвращается |
в |
точку |
S,с ; ситуация |
в |
момент |
времени |
I |
£/?.<•! |
||||||
|
|
|
|
- |
|
136 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
такая же, naît в момент времени |
І - |
£ |
, в момент времени t. - Ж |
|
происходит возвращение в точку |
Л0 |
. |
Событие £ |
-возвращение |
висходную точку Л„ .
2.Серии успехов в испытаішях Бернулли. Производятся не зависимые испытания Бернулли,Каждое испытание ножет иметь два •
исхода: "успех" |
У |
с |
вероятностью |
р |
|
и "неуспех" |
H |
с |
вероят |
||||||||||||||||
ностью |
(j, i р+ |
If. |
« і) |
, |
|
Зафиксируем |
натуральное |
число |
2 |
и будем |
|||||||||||||||
в протоколе испытаний Бернулли интересоваться "сериями успехов |
|
||||||||||||||||||||||||
длины |
2 |
". |
Это |
несколько неопределённое |
выражение. Рассмотрим |
|
|||||||||||||||||||
к примеру |
кусок |
протокола |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
сколько этот кусок протокола содержит серий успехов длины 2 ? |
|
||||||||||||||||||||||||
Можно считать, |
что здесь |
|
их.нет |
вовсе, |
ибо мы имеем три успеха, |
а |
|||||||||||||||||||
не |
два, |
можно |
считать, |
что |
здесь |
одна |
серия |
успехов длины |
2УУ |
, |
|||||||||||||||
а .для |
третьего |
|
У |
нет пары; наконец, можно считать, что здесь |
|
||||||||||||||||||||
две |
перекрывающиеся серии |
успехов |
длины |
2, |
Мы примем следующее |
|
|||||||||||||||||||
определение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Определение. Последовательность |
|
Л |
букв |
У |
|
я |
И |
содер |
|
||||||||||||||
жит |
столько |
серий |
успехов |
длины |
2t |
|
сколько в |
ней |
имеется |
неперек |
|||||||||||||||
рывающихся |
подпоследовательностей, |
|
.каждая из |
которых состоит ров |
|||||||||||||||||||||
но из |
2 |
|
стоящих |
рядом |
букв |
У . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Событие |
|
8 |
в |
нашем примере |
- |
появление |
серии успехов |
|
|||||||||||||||
длины |
2 |
. Появление |
события |
£ |
|
в |
Ч -ом испытании |
означает, |
|
||||||||||||||||
что |
в |
результате |
|
>1 -ото |
испытают, |
ьоэнинает |
новая |
серая |
успехов |
||||||||||||||||
длины |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Так |
в |
последовательности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
У У У |
|
У И |
УУУ |
|
УУУ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
имеется |
три |
серии |
успехов |
длины 3, |
|
появляющихся в |
т р ^ ; |
л, |
вось |
|
|||||||||||||||
мом и одиннадцатом Емштанвтх. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3. Возвращение к началу. Пусть в |
испытаниях |
Бернулні с в е |
|||||||||||||||||||||
роятностью |
успеха |
р |
и неуспеха |
|
= і-р |
событие |
|
£ |
оапачает |
|
|||||||||||||||
общее число |
успехов,равно общему числу неудач. |
|
KG am-.в |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
По существу |
ту |
же |
|
задачу |
мы мокек поставить |
слу |
|
||||||||||||||||
чайных |
блужданий. |
На прямой |
|
нанесена |
шкала,.одну |
из точек |
|
||||||||||||||||||
котоіѵ-й |
npiiiVfc-j! |
sa |
начало |
|
коо^ршзт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В начальный момент частица находится в точке 0. |
|
В каждый момент |
|||||||||
времени |
t |
= 1 , 2 , . . . |
частица из |
той точки, |
в |
которой она |
на |
||||
ходится, может сдвинуться с вероятностью |
р |
в |
соседнюю |
точку |
|||||||
справа |
("успех") |
и с вероятностью |
= L - |
р |
в |
соседнюю |
точку |
||||
слева ("неуспех"). В такой интерпретации рекуррентное событие |
£ |
||||||||||
означает возвращение в |
начало |
координат. |
|
|
|
|
|
||||
|
Из курса |
вероятностей |
известно, что |
введеіше вероятностей |
|||||||
событий, относящихся к бесконечным последовательностям испытаний Бѳрнулли, связаны с некоторыми трудностями. Мы,однако, будем иг
норировать эти трудности |
и |
с изучением рекуррентного события. Свя |
|||||
жем две последовательности |
чисел, |
определённых для |
ІЪ |
=1,2, ... |
|||
іі/ь~ |
Be о J |
<Е наступило в Ц -ом |
испытании | |
, |
|||
= |
Р)Ср { £ |
впервые |
наступило |
в II -ом |
испытании j , |
||
удобно доопределить |
|
|
|
|
|
|
|
/ , |
= ° |
• |
- |
I . |
|
|
|
В примере с колебаниями слабохарактерного человека числа 1(.цИ f-n.
определяются |
тривально |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
(-0 |
; |
II |
- |
нечётно. |
|
|
||
|
|
|
|
|
'i |
} |
|
а*г, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
о, |
HP |
о . |
|
|
|
|||
Событие " £ |
наступило впервые |
при |
it |
-ом испытании" несовмести |
|||||||||
мы и |
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ясно, |
что число |
і |
- / |
можно интерпретировать |
как вероятность |
||||||||
того, |
что |
<Е |
|
ни разу |
не появится в бесконечно продолжаемой |
||||||||
последовательности испытага-ій. Это делает естественным следующее |
|||||||||||||
определение : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Определение. Рекуррентное |
событие £• |
называется достовер |
||||||||||
ным, |
если |
/ |
- |
£ |
, и |
недостоверным,- |
если |
/. |
s £ |
||||
|
Нам потребуется ещё одно определение. В примере с колебания |
||||||||||||
ми слабохарактерного и в |
примере с возвращением в начало событие |
||||||||||||
£. |
может произойти линь при испытании с чётным номером. Мы |
||||||||||||
будем |
выражать |
это,говоря, |
что |
событие |
£ |
является периодический |
|||||||
(с периодом |
2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
138 |
- |
|
|
|
|
Определение. Рекуррентное |
событие |
à |
называется перио |
|||||||||||
дическим, |
если |
существует |
такое |
целое |
число |
' Л > 1 , что <£ |
||||||||||
может |
произойти |
только |
при испытаітях с номера»® |
А |
, а.І , ЗА , |
|||||||||||
( т . е . |
|
(Іп=0 , |
если |
II не кратно |
Я |
) . Наименьшее |
ß _ } обла |
|||||||||
дающее |
|
этим свойством^ называется |
периодом |
а. |
|
|
|
|||||||||
|
|
Введём производящие |
функции |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сю |
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что поскольку |
в случае |
периодического с периодом _Я |
||||||||||||||
события |
£ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
= С , |
если |
К jé |
0(modА) |
|
|
|
|
|
|||||
и |
|
и^ - 0 t |
если |
< |
|
(med'А ) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
то в этом |
случае |
|
J ) к |
|
|
являются |
скорее |
функциями от-і^ , |
||||||||
чем от |
:і . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Д«я |
задачи |
о колебаниях |
слабохарактерного |
человека |
|||||||||||
|
Мы имеем дело |
с достоверными |
событиями периода 2, |
|||||||||||||
|
Теорема I . Производящие |
йѵтшии |
Q(4) |
и |
îl(-i) |
связаны |
||||||||||
соотношением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Доказательство. Согласно |
смыслу |
рекуррентного |
события ве |
|||||||||||
роятность |
того, |
что |
£ |
произошло впервые при испытании с но |
||||||||||||
мером |
|
і |
и снова |
произошло при последнее ' II |
-испытании |
|||||||||||
(si > |
)• ) |
равна |
f-ç |
t-t-n-i1 • Вероятность |
того, что £ |
произошло |
||||||||||
впервые при С |
-ом испытании |
равна |
^ |
= ß a |
(Са |
. Так ішк эти |
||||||||||
события |
не совме стиля;, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Un. |
~- Л "n-L |
' /о |
Un.ï* |
- + |
f a іі0у |
fr* |
I) О) |
||||||
Теперь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
139 - |
|
|
|
|
|
||
Ill*)-1 |
----- z |
к,,, У1 = f |
ш i" =- |
|
п-с |
я-і |
|
= Z(hlln-L4tiin-è. |
- Ч.іф"- |
tu*}?«)> |
|
что и доказывает теорему I .
Нас будет интересовать связь аксиоматических свойств после
довательностей |
•/ п, |
и |
iL п. • Простейшая |
теорема |
в |
етом направле |
||||||
ния следующая. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 2. Рекуррентное |
событие |
S |
недостоверно |
тогда и |
||||||||
только тогда, |
когда ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
е ю |
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится. В этом случае |
вероятность |
J! |
того, |
что |
à |
когда либо |
||||||
произойдёт |
равна |
Ç |
IL -1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
f ~ ~~Û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство; |
Так как коэффициенты 11ц |
неотрицательны, |
||||||||||
то,оччзчдно] Ііі і) |
монотопно |
возрастает |
при і |
~? |
1 . |
|
||||||
Поэтому при любом |
лг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т>;.км образом, |
если |
ряд |
и л |
ра^ходитсп |
( и |
- с*>) , то |
||||||
|
|
|
|
/:и?г |
Uli) |
|
= г- • , |
|
|
|
|
|
|
е- |
iL ,г |
|
i -?• і. |
|
|
цп |
•- ц. |
, то |
|
|
|
если ряд |
^ |
сходится |
j>" ' |
|
|
|||||||
|
Я-і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t'un ï/fV г и..
соли ./
i'.jjcîMfl доказана.
Т4П