книги из ГПНТБ / Постникова Л.П. Тауберова теория с приложениями к аналитической теории чисел учеб. пособие
.pdfт . е . Рi , |
находясь в |
зависимости от |
р |
, стремится |
к |
нулю при |
||||||
Из предыдущих формул следует |
|
|
|
|
|
|
||||||
Так |
как |
Л(х) |
не |
убывает с |
возрастанием |
X |
, |
то |
|
|||
З р ' 1 |
(Ап |
Wp*1 |
|
|
^ |
|
^ ѵ ѵ * + |
л |
і |
|
||
Отсвда получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и( принимая во внимание формулу (20), |
заключаем, |
что |
|
. |
|
|||||||
Аналогично |
|
^ и |
Л |
fit |
і |
|
|
|
|
|
||
« |
|
J (Л-M) |
Г |
|
X |
|
j я |
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
I. |
|
|
*Л |
|
|
7 7 r M |
^ |
" |
|
Ч |
^ |
||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на основании формулы |
(20). |
И, |
|
наконец, |
на основании |
леммы 2 |
|
|||||
Выражения
- I I I -
|
|
Л(лшЛ) |
и |
А(л-ия) |
|
|
||
входящие в формулы (21) и (22); не зависят |
от |
/ э |
. Фиксируем |
|||||
каким-то |
образом |
at |
и р |
и устремляем |
.Я |
к |
бесконечности. |
|
Пртзімая |
во |
внимание, |
что |
и /^' не зависят |
от р , из (21) |
|||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 1 ' |
а из (22) |
получаем |
|
|
|
|
|
||
Uni |
Мл) |
- |
г-—л |
и-СІл) |
<: |
|
|
|
—р— |
Um |
-тт- |
|
|
||||
J;
Но левые |
части неравенств (21 ' ) и |
(22 ' |
) не |
зависят ни |
от р, ни |
от оі |
. Поэтому, устремляя о -*• с» |
и |
X. |
С, получим |
|
значит,
;,. |
ПН |
t<-nv |
-щ- ' |
Теорема доказана.
I I I . ПРИМЕНЕНИЕ ТАУБЕРОШХ ТЕОРЕМ В ТЕОРИИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ
§ I . Сведения о преобразовании Лапласа
Для какой-либо функции / ( і- ) , определённой при І ? <•
- 112 -
положим при достаточно больших |
|
|
|
|
||
|
|
ГО |
£ |
|
|
|
|
fd) |
= j |
e'f(i),ü. |
|
|
|
<Іункцил |
( і) называется |
функцией-ориітшалом, |
а функцию |
|||
будем называть преобразованием Лапласа функции |
fit) |
или изо |
||||
бражением функции -f('i) |
по Лапласу. Будем употреблять |
сбоэна- |
||||
Преобразование Лапласа находит |
широкое применение |
в матема |
||||
тике и её приложениях. Ввиду этого в литературе практику обраще ния с преобразованием Лапласа иногда выделяю в особое исчислении, так называемое операционное исчисление. Таким образом, сейчас мы будем заниматься операционным исчислением.
Предварительно сделаем принципиально важное замечание: тео рия преобразования Лапласа является непрерывным аналогом теории рядов Дирихле.
Первый вопрос - это вопрос о сходимости преобразования Ла
пласа.
Теорема. Ясли преобразование Лапласа
|
|
Та) |
= J |
e'^Mdt- |
|
|
|
ш |
|
|||
сходится при 6=1 |
, |
то оно равномерно |
сходится |
в угловой |
облас |
|||||||
ти комплексной плоскости |
_«J |
, определяемой |
неравенством |
|
||||||||
где |
% любое |
положительное |
число меньшее |
j ; |
- |
|
і± -0 |
. |
||||
|
Доказательство. Достаточно |
рассмотреть |
случай |
|||||||||
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
4 =. -і - |
11 |
и новый интеграл |
сходится при J |
- |
с' . |
|
|||||
|
Итак, |
мы предположили, |
что интеграл |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
'\ |
f(i)db |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится. Положим
2сг},{ faut
При Т |
^ |
2( Т) -* |
0 . |
далее |
|
Обозначим |
С- |
Не 4 |
и |
<эе - J/TL j . При j/^Jli |
имеем |
тѳгрируя |
госчастям, |
|
|
|
|
|
Ж |
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•А |
|
|
|
|
|
|
|
- |
І |
с |
|
|
|
|
|
|
|
j |
s i t ) е |
dt. |
|||
При |
Jit ? )lc(£) |
мы имеем; |
|
|
|
|
|||
Значит, |
при достаточно |
большом |
JJ |
|
|
||||
|
Л |
|
|
|
-ot |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ anï |
t |
J |
e |
|
dt |
^ |
2£i-££L(- |
|
|
|
|
Jl |
|
|
|
|
|
. • |
Если |
\ CLtcf. |
i\ |
£ |
=g - |
S |
, |
то, |
так как |
при |ot|^ - g - |
ю( дв - Jm. 4)
Но тогда
Ш получаем
.il
- Ï I 4 -
Правая часть |
последнего |
равенства |
не |
зависит от |
ö |
и стремится |
|||||||||||
к |
нулю вместе |
с |
6 |
. По критерию Коши равномерной |
сходимости |
не |
|||||||||||
собственных |
интегралов |
получаем, |
что |
интеграл ( I ) |
равномерно |
по |
|||||||||||
6 |
в указанной области |
сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Из доказанной теоремы немедленно зытекает |
такое следствие. |
|||||||||||||||
|
Следствие I . Если интеграл |
Лапласа ( I ) сходится в точке |
|
||||||||||||||
|
іі = 6± |
+ •L ä£L |
. |
то он сходится |
во |
всех |
точішх |
і € Hei |
> і± |
. |
|||||||
|
Если |
имеются как |
значения |
J |
, при |
которых |
интеграл |
( I ) |
|||||||||
сходится, |
так |
и |
значения, |
при которых |
интеграл ( I ) |
расходится, |
то |
||||||||||
область сходимости |
интеграла |
есть |
полуплоскостьj |
это значит, |
что |
||||||||||||
существует |
такое |
число |
£> с |
, |
что |
при |
Не S ?6~о |
интеграл |
Лапласа |
||||||||
сходится, |
а |
при |
Не Ь *-Gc |
расходится. Число 6С |
|
называется |
аб |
||||||||||
сциссой сходимости |
интеграла |
Лапласа. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Из теоремы немедленно вытекает следствие, которое будем |
|
|||||||||||||||
называть второй теоремой Абеля для преобразования Лапласа. |
|
|
|||||||||||||||
|
Следствие |
2. |
Если |
интеграл |
Лапласа ( I ) СХОДИТСЯ при |
4=0 |
|
||||||||||
и имеет значение |
^ |
, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
іап |
Х/Ъ) |
|
= Л . |
|
|
|
||
|
|
|
j |
- |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
Сформулируем тауберову теорему Харди и Литтлвуда для пре |
|||||||||||
образования |
Лапласа. |
• iL ( t)? |
О |
|
t |
•? .0 |
и при 1 |
|
||||
|
Теотема. Пусть |
при |
|
|||||||||
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С > 0 |
, |
Л |
О Г . Тогда |
при |
Т —=- с-о |
|
|
|||||
|
|
|
U(é)dt |
|
с |
J |
|
|
|
|
||
|
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству |
|||||||||||
тауберовой теоремы для рядов Дирихле. |
|
|
|
|
||||||||
|
Критерий сходимости интегралов Лапласа можно сформулировать |
|||||||||||
лри ограничении на рост функции |
оригинала |
-£ ( |
Ь) . Еошг?чтвлем |
|||||||||
роста функции |
/ f t ) |
назовём наименьшее |
|
неотрицательное |
число і 0 |
|||||||
такое, |
что |
при любом |
|
>С |
существует |
такое |
постоянное |
ч и е л о ^ , |
||||
;/;'.<); <- Же '.
Декма. Если с&ункция - оригинал / ' І- ) имеет показатель
- IIS -
роста равный |
, |
то |
праобразование |
Лапласа 'J-(i) |
определено |
||||
в полуплоскости |
Re |
і > |
S0 . |
|
|
|
|
||
|
В самом деле, |
если |
Не 5 j |
c , |
то существует |
В. г о |
та |
||
кое, что |
Не і > - j ^ - £ |
. |
Интеграл |
(1") мажорируется |
сходящимся |
||||
интегралом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
f u ) e dt\ ï j t |
j |
с |
dt |
- --^Рт-т • |
||
|
Нам ещё понадобится так называемая теорема о свёртках. |
||||||
Заданы две функции |
+ ) |
и |
д. (і) |
. С их |
помощью |
образуем |
|
третью функции |
|
|
t |
|
|
|
|
|
{(1) |
|
= |
[ |
fdjjii-tjdt^ |
|
|
которую будем называть |
свёрткой функций / |
и |
. Для свёртки |
||||
часто |
используются обозначения |
|
|
|
|||
Нас будет интересовать связь преобразований Лапласа функций
^(•é) j jL{'-é) и их свёртки K(é).
Теорема. Если
|
1) . :І |
|
|
e'^lfajldtt«*. |
|
||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
2) .При вещественных |
і> |
сходятся интегралы |
||||
|
•J/о |
е |
-(a-rt-Sjtj. Q(ti)dtt. |
|
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
. |
О |
|
О |
|
1 |
о |
J |
лрк |
d = t i +-1 ь |
и вообще |
при |
Я с 6 £ |
О. . |
||
am |
Доказательство. Возьмём полоажелъное |
чисто Н. . Кы имеем |
|||||
Re S >•& |
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
•£ |
R |
st |
* |
|
|
|
о |
' |
о |
|
° |
|
|
- н е -
Будем рассматривать повторный интеграл как двойной янгьграл но
заштрихованной |
области |
Т : |
|
|
|
А |
|
|
ffî |
|
|
|
Лл |
т |
|
О |
Рис. |
10 |
Ц |
Меняя порядок |
интегрирования, получим |
||
т |
|
|
|
R. |
ft |
|
J £ |
Итак,
5 |
[ J |
1 /, |
e^fu)da]dirL |
|
L |
^ |
|
J |
Уменьшаемое в правой части формулы |
(2) при |
|||
Г |
-it t. ;., , |
. , |
/' |
— ritt , . , |
|
|
|
|
-ut |
о
(2) стремятся к
- 117
Значит, чтобы доказать |
теорему, нам надо |
показать, |
что |
вычитаемое |
|||||||
при достаточно |
большом |
ft. |
может, быть |
сделано сколь |
угодно ма |
||||||
лым. Разобьём |
в |
интеграле |
|
|
|
|
|
|
|||
область интегрирования |
по tt |
на две части [0} |
j |
и ("j- |
> R.] . |
||||||
Так как по |
предположению интегралы |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
-•iu |
• |
< |
|
С |
-at |
|
|
|
|
і |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||
сходятся, мы |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
• |
ас |
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А'с** |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
ß |
|
^(u)du\±C\ |
при j / r C |
; |
|
(4) |
||||
J |
[ е ~iCùf(u) |
du |
I « s |
при |
У* У |
(е ) |
, |
(5) |
|||
таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f |
e~itlf(tL)[] |
e~iU${toduïdi\l |
^ |
|
|
||||||
%_ . f.
о
с |
|
|
в предположении, что |
ß 3 1 |
. Далее, |
- 118 -
я
t/z
Итак,
Um
что и требуется доказать.
§ 2. Об одном функциональном уравнении
Мы будем говорить об уравнении вида
|
üU)=f(t) |
+ ^iLH-i)^(4)di1 |
( I ) |
|
|
о |
|
где |
заданные |
на отрезке |
функции, &ü(i) |
неизвестная функция. Уравнение ( I ) называется уравнением восста |
|||
новления. |
|
|
|
Очевидно, |
что уравнение ( I ) можно записать |
в виде |
|
|
U({)=-fH) |
+ S |
*(-é-4)U(d)dé. |
|
(I< |
) |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
Первый вопрос, который ставится о функциональных |
уравне |
||||||
ниях, это вопрос |
о существовании |
решения. Далее |
ставится |
вопрос |
|||
о единственности |
решения. В отношѳнш. уравнения |
( I ) мы докажем |
|||||
следующую теорему. |
|
|
f('i) |
|
|
|
|
Теорема. Предположим, что функция |
ограничена |
на |
|||||
отрѳ зке [ С, Т] |
|
|
|
|
|
|
|
предположим далее, что и |
¥(1) |
ограничена на отрезке СО, Т ] |
|||||
Тогда уравнение (I ) имеет |
единственное |
решение |
на отрезке { O . T J |
||||
Доказательство. Мы будем применять метод |
последовательных |
||||||
приближений. Положим |
|
|
|
|
|
|
|
U-M |
= |
f(i) |
+ S |
ttD(t-4)4(l)cl6 |
, (2) |
||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
iin |
+ l |
(4)= |
fa) |
+ 5 Un(i-4)*(d)d4 |
. |
||
Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
= HtLM-Un-LU)) |
|
|
|
4[t-i)di. |
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда в силу ограничения |
на функцию |
|
имеем |
|
|||
|
|
|
|
t |
|
|
|
\ил+іЩ-ил(і)1 |
|
4 CJlun(4)- |
Ui*)\di. |
(3) |
|||
|
|
|
|
о |
|
|
|
Из этого неравенства находим последовательно |
|
||||||
«•ad) |
|
|
|
|
|
|
|
Ußj-lLMt |
|
é |
Ct\\m\di |
± CtCt, |
|||
|
|
|
|
о |
i |
|
|
ue(i) |
- Щ |
< q czj |
6d4 |
= |
, |
||
3/Л
IL
At.' |
J |
(П.+І)! |
|
e |
|
Огрубляя получаем
- 120 -