книги из ГПНТБ / Постникова Л.П. Тауберова теория с приложениями к аналитической теории чисел учеб. пособие

•А. г Л

Я^Ц

iU-£}[Л£+Л

Итак,

По условию

теоремы

2

H

г—

Значит,

каково бы іш било

<£ >

С

найдётся

такое

Х,:

*Хр(і:)^

что прк

X > Хс (£ )

Л(х)

- |ДУпН

^

S . I 7 .

Имеек

. S ' a ) "

j

| -- J ( х + л у

( 6 )

Остановимся на минуту^ на

исследовании

интеграла

Замена

переменных

* = Л 2 ,

( Я

>о)

приводит

его к

вицу

pa

_

.

С

P.X?

^

US

F

з

- v T

о некоторой

константой

С > D или

5 Сх) УХ - H J

С *

*

- T g - +

( С -константа).

Таким образом,

I

- H I

«

RL,

lim, v T S С/"») = H .

(7)

J f x ) = ^

С * .

J .

с неубывающей функцией

и нам надо

показать,

что црнХ-^^

Для доказательства

нам потребуется

несколько

вспомогатель­

ных предложений.

•»

Нижеследующая лемма является непрерывным аналогом тѳореын

Харда и восстановлении

сходимости.

Лемма I . Пусть

-fi'*)

определена при всех положительных Я

.Я /У'Я)

не убывает

при возрастании

-Я

и

при

Л

(с te, ty>C)- Тогда

при

-Я

**>

Доказательство;

Докажем

эту лемму

сначала

приС=і и ^ =

і .

мы имеем

, ,

„

{(X)

~

-Я

и надо

доказать ,

что

при

Л

° °

/Гя)

—

і .

/'(Я)

Доказываем

от

противного. Если

не

стремится к

еди­

нице,

то

существует

такая

последовательность

, что-Яп-*, < 7 °

-

•

- —

\ 1 іл}іі Л •-•

Л ь

Hps Jl„-*<.-o

правая

часть

стремится

к числу

-р

tn(l+

у

) t îî0_

адрэе

больше

единица, если взять

у

достаточно близким

к нулю.

Но из

/

і'Д) -ѵ

я

непосредственно

следует,

что

і

•іротяворвчде

доказывает утверждение

леммы при

С - ej, =

£

,

Переходим к общему случаю. Полагая

введём

вместо

\(Х)

новую функции

№ ямѳем ври д

_»

<^

Далее,

•^йким образом,

.^/Î^'-'J

неуоывагаая

функция и мы можем применить

к ней лемму

с

с -

q. '= і

. Мы получаем при

а

<-°

т.в

і/т^да

следует,

что

Л - І

/ ? Л ) ~ t ' ^ У Г ,

что и требуется

донизать.

Рассмотрим интегралы

р = 1,2, . . .

.

Замена переменного

& = J^x

Двв'т

" р

г

Z W * * }

Лемма

2.

Пусть

О < Ж < { . Положим

Имеют место

неравенства

где

5р ,

S/?

,

5^>

- величины,

зависящие от р

, стремятоя

к нулю при

р

o-J .

Доказательство. Применим к правой части формулы

(10) фор­

мулу

Стирлинга

i f

где

t(l)-vC

при

ï-

с~~> ,

мы получаем:

где <с г-~'- < ' о

П Р И ,'">

( ш использовали, что

л - д о г

г

*

Функция tt^ï'U-rif имеет

при

і-

максимум равный J.'-< .

Отсвда следует,

что

"о

( « t i r

£

p

где

С <

К <

и

К. зависит

от

выбора ^

. Аналогично

№

имеем

< ^

-

( у ~ &)

,

где é > C

зависит от

«С .

'

к Р

кР

(_і-^)РРѴ£

О

Лемма доказана,

0

Рассмотрим функцию

Х~ Si^)

и докажем, что её

производ­

ная положительна и не убывает при возрастании Л .

Имеем

Отсюда видно,

что

производная Я S (Л)

положительна, а посколь­

ку d()<) нѳ

убывает, то и

(&*$(?•))

нѳ

убывает.

Поскольку по условию

теоремы

то по лемме I получаем

cid*SM)

з

,r

,

—Л

г

Я

Л

откуда

о

Второй

шаг

процесса

і / , ѵ „ л

„ * Г ad

(ли)

откуда,

производя дифференцирование и пользуясь формулой (12),по­

лучим

„

/• 3 •• -(P./ll-l)

j_l ^

S-

(при

р*0

ЭР(Я)=

ОД-//Л * ) . Поскольку

r r p ^ ^ ) =

( P

M - f x p . i - | j - f r f f ) -

-

Т Т Л

* j L '

Докажем теперь,

что

(vT

frc,

'

г

' > ^ j

Для этого рассмотрим

интеграл

,(.

у

р

0 0

і

--&п*п;[-£г*г*".

Совершая замену

iL

-

J. — /

*

получим

ал аамсп,у

i^u

* пилу чям

-—P^dU'-Jx

(1-*)

Л =

- r ( p t l t i ) •

Теперь подставим

это в

формулу для

Лр

f

-JEL

у (

^

С

•

где 2 л зависит

от р и j l , и

0

при фиксированном

р

и

Интеграл

1р ( } ) представим

в

виде суммы четырёх

слагаемых

В силу леммы 2 получаем

где

^ р

зависит о т р

я Ы.. и

£ р •> р

при

р -*• •=>=>

и фиксирован

ном

.^. .

Совершенно

так

же

получаем

где

£ р

зависит от

р

и

ч. и ^

(Я

при р

и

фиксирован­

ном

^

где ß

и Ô X постоянные (они не зависят от 7- и р ) . Отсвда

следует,

что

-р- 5"