Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Постникова Л.П. Тауберова теория с приложениями к аналитической теории чисел учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 159 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Следствие		2.	Если	ряд Дирихле	(4) сходится		при і=		О и
имеет сумму	j- (	с	) ,	то
когда 6~->- 0	''.		f&)	- f(0)
когда 6~->- 0	''.
Если для рада Дирихле (4) существуют						точки,	в	которых
он абсолютно	сходится,и			существуют	точки,	в которых		нет	абсо

лютной сходимости, то область абсолютной сходимости этого ряда

есть полуплоскость. Обозначим через ^	абсциссу абсолютной
сходимости ряда ( 4 ) . Очевидно
'о

Для степеішых рядов область абсолютной сходимости_совпадаѳт с областью сходимости, т . е . для степенных рядов Ъ = <ос . В общей же ситуации это может быть и не так. Рассмотрим ряд'

	.о
Здесь С" - о (признак		сходимости Лейбница),				а 'п_ =	1	. Может
быть даже такая ситуация, что				Ъ~с	г-о ,	и <о = г о		; ряд
	Г2,	С - і ) ' 1	е		-СА-ІГЫІ-І
	n-.l		е
	n-.l	d	і
сходится для	всех значений		і	, но абсолютной сходимости нет.
ira для одного	значения 6 .						*РС & -і .
Для ординарных		рядов Дирихле			всегда	Ъ" -	*РС & -і .
Доказательство		можно	найти в		цитированной книге			Титчмарша.

§ 7. Тауберова теорема Харди и Литтлвуда

За исходный пуішт возьмём теорему Фробениуса. Как мы ука зывали , это теорема абелева типа. Теореме Фробениуса придадим несколько иную форму, чем та, в какой мы её доказывали ранее.

Теорема. Если при

U. t Ci, +-..• +

(in_L

(2 F

( I )

то

Доказательство ; Рассмотрим вспомогатѳльннй числовой ряд

<=і-с •<- Е (сі>г-

а я - * . ) .

( 3 )

'І=І

Последовательность частных сумм ряда (3) будет

апоследовательностью средних арифметических частных сумм ряда

(3)является последовательность

Согласно условию теоремы ряд (3) суммируется методом средних арифметических к сумме et . Но тогда по теореме Фробениуса он

суммируется к той же сумме методом Абѳля, т . е .

Um,	(ав +• Z	( си - an.L	) у	- а
X-9-1-0	П-і
иными словами
	"°	ГЬ
Um.	( 1-х)а,ьх	=	а1
І-г-1-0	п=о
что н требуется доказать.
Нам потребуется несколько более широкая теорема.
Теорема. Пусть	<і>0 фиксировано и при			П

к а ^			ТО			'
Тогда
Х->1-0			и-О
Доказательство. Как мы видели в теории гамма функции
Ы + і)...(бі+п)	=		Гіп-г^		і)		^
іъ !		Ги+1)		Г(п+{)			~	Г(і+*с)
Поэтому условие (4) мы можем записать					в	виде;		при	М- ^	<" '
А«	^	а	-	i	r	r	"	-	'	(4)
		-	«2	-

где	к •
	S, - Z0 a* .
Напомним,	что по обобщённой формуле бинома при IXI < ±

при I I - С слагаемое равно I .

Так же; как при доказательстве теоремы Фробениуса,имеем

п = с

Поэтому

	( i - . ) ,			\| V	" ;	f i	- ( ) - S 5 /
	t	> 0	п-0			(4	п=с
Зададим	t	> 0	. П о	формуле		(4	) мы видим, что можно найти
такое J(	,	что	при	И >	J\f

Теперь проведём такую цепь выкладок:

ОТ)

' & Я « • ' » Ä « '

Л - С			't •
Поскольку Л '	фиксировано, то	при X --- 1.-0		первый член, стоя
щий в правой	части, стремится		к нулю, и мы получаем
	-	83	-

Но в сколь угодно мало. Значит,

•tun (1-Х) > , aIL X = <ь • x-*•!-€ п-с

Доказанная теорема имеет характер теоремы абелева Tjma. Займёмся вопросом об обращении этой теоремы.

Прежде всего покажем, что без дополнительных ограничений эту теорему обратить нельзя. Рассмотрим, например, функцию

к. sc				п?е
Обозначая через Ùпі	частные		суммы степенного ряда, стоящего в
правой части, видим,	что
	і	^ . ,	для нечётных >>1
^іп. ~	j	J +	-, Для чётных			ni f
т . е . последовательность частных				сумм S ІІЬ.		неограшічепо	колеблет
ся и нельзя написать формулы			£/Т1	^j-tn	.
Если на ряд наложить дополнительные						ограничения,	а именно

потребовать неотрицательность коэффициентов, то абелеву теорему

можно обратжть. Мы имеем в			виду	классическую			тауберову		теорему
Харди и Диттлвуда. Сформулируем				эту теорему для				рядов	Дирихле.
	Теорема. Предположим, что ряд Дирихле
сходится при 6~ > О		и что коэффициенты				этого		ряда неотрицательны
Сіѣ	> О • Далее предположим, что при				о"		С г
	Z	ап	е	-			>		(5)
где	d > С фиксированное число.			Тогда	при	ni	—•* ' -'
			"	m	w	l	•		( 6 )

Доказательство. Мы изложим доказательство этой теоремы, предложенное югославским математиком Карамата. Обозначим

По условию при 6~

С f-(<>)~*

. Пусть Ж-

целое неотрицательное число. Рассмотрим выражение

От1 сюда получаем
I			7/
I		- л / 1 " ,	- Л / і " \
lim, Ш	£ а" е	( в	)	=

Или

Обе части этого соотношения		обладают свойством		линейности, т . е .
их можно умножать на постоянные			и складывать;	отсюда мы получаем,
что .для любого полинома	Р	l'x )	будет иметь место соотношение
			с

Распространим это соотношение с многочленов на непрерывные на от

резке	[ 0 , 1 ]	функции. .Данная	непрерывная на отрезке	i _	0 , l j
функция -J(x)		. По теореме Вейерштрасса для любого -? >		0	можно
найти	такоР многочлен Р і * )		, что

- -

г/ -Г

р/"),) ± £ суть многочлены. Мы имеем в силу и-п,*-

' І ' Л П ' B/V-, Z_> "'Л
		-Ялб",
.4 ^ б / п	^ а „ е	(Р(е

4 i M*»- f f ^

Аналогично получаем

'Но £	сколь угодно	малое. Значит, для любой непрерывной на
£ 0 , l j	функции	£Ѵх) .

Пусть	L	(оба неравенства		строгие).	Пусть функция
$Yx) непрерывна во всех точках отрезка				[ 0,1 ]	, кроме	точки
,ч = ^ , где она имеет		разрыв первого	рода. Мы можем для заданного
		£>С	найти две непрерывные			функции
		ïj^(X)	и	s^fx)	такие,	что
		$ f * M			(X)	W
		^ { ( f w - ï M f ^ f ) ^ ^ -				( 8 )

Рис. 9	86

О том,как

такие

функции

находятся,

уже

говорили в

па

раграфе "Тауоерова теорема Литтлвуда". Нужно окружить точку

разрыва

- весьма

малым отрезком Zf~1

> £ г

2 3 > "Нижняя

функцияи

fx )

совпадает

&( * )

на

участках /Го, f J

L']f

на участке

же

+Ç>J

функция идёт

линейно •

отточки

( $ 1

-ojj

до точки

($+2)

1)}

•

"Верхняя

функция"

совпадает с

на

участках

Г<?>/ - 2І

на

участке

ze Jj-p,

она едет

линейно

от

точки

Ç^-2^f'£))

до

точки

(jf,

Неравенство (7),

очевидно,

неравенотБО

(8)

выполняется

при малых

Q > О

. Теперь

мы в

значительной

ме

ре повторим

предыдущую

выкладку:

Но с. сколь угодно малоа. Значиз;(

Возьмём теперь за Я-Сх)

функцию специального вида

Ѳ - основание натуральных логарифмов. № находим

^ ^

С/

I ,,

ra)\(iL)

du~~7Ju)

Wïï)

Так

как

, то

6*Z,

cin

•

Обозначим

/"Я-

когда

б*-»

/п-^е^

, причём

6~ 0 4 -~ ^/т*-

•

S*i

получаем

Д / т г

— ~

^Е,

что и требуется доказать.

Сформулируем тауберову теорему Харда и Диттлвуда в спе

циальном

случае

степенных

рядов.

Теорема. Предположим, что степенный ряд

n-i

сходится

при

IX I <

і.

и что

коэффициенты

этого

ряда неотри

цательны. Предположим,

что

при

—» 1 - Г

/7 = 1

где

'X >

О фиксированное

вещественное

число. Тогда при да-

{ 1

' ѵ

Г(1^7)

§ 8. Задача об удвоении последовательности

Как музыка .бывает серьёзной и легкой,так и применения тауберовой теории бывают серьёзными и легкими. Серьёзные применения

- 88 -

тауберовой теории - получение глубоких асимптотических формул с хорошими остаточными членами. Но применения тауберовой теории могут носить и иной характер, более лёгкий, здесь речь идёт о том, чтобы получить хотя бы шаблонным путём результат, пусть

даже грубый (такая ситуация может быть когда "тонкий" результат не нужен или когда исследователь вынужден вкономить свои силы на время).

Приведём пример лёгкого применения тауберовой теории. Задана последовательность целых неотрицательных чисел

nL < Н&<.П5 ... ( І )

Обозначим количество чисел последовательности ( I ) не превосходя щих границы Л' через t(A') . Обозначим через 2 (Ж) ко личество решений уравнения

			Il i	1-flJ. é- J			\
Теорема. Если при			- У ~^		^
С	>С	, зі > С	постоянные,			то при		Л ' с " " °
Доказательство: Введём производящий							ряд
			«о		а	со
			у		х	- J	E .	a * x	>
где	'		г
		[і, К одно из		чисел		,
Мы имеем		* ""[й, К не	равно		ни какому П-j .
Мы имеем								о
								о
						а< ~СУ*			(2)
но условию теоремы. Но по					теореме,		обобщающей		теорему Фробениуса, •
которую мы приводили в				параграфе "Тауберова теорема Харци и Литтл-
вуда" из		равенства	(2)	следует,		что	при
		/ £ - х Г	>		V ,}j	-	(: !'({	Ы)	. (з)


	Из формулы (3) следует, что		при	X—»•	і
	Присмотримся к выражению (		X	.	. Очевидно,
где	равно количеству	представлений		числа	К	в	виде ^ +	,
если К	в таком виде не	представляется,		то h к = Р		,	Из формулы

(3 ' ) на основании тауберовой теоремы Харда и Литтлвуда получаем при ѵ4/ -»

Но по смыслу коэффициентов

= S (У)

Теорема доказана.

Элементарный вывод этой теоремы см. в книге А.Г.Постникова "Введение в аналитическую теорию чисел", М.,1971, стр . I0I - I05 .

§ 9. Последовательность кратных

Здесь мы коснёмся одного из приложений тауберовой теоремы Харли и Литтлвуда к теории чисел.

Задана последовательность натуральных чисел

aL с а£ < Ci. г ...

( I )

Мы будем говорить, что последовательность ( I ) обладает асимптотической плотностью, если существует предел

Um,,	- f -	Ж.	1
л'-* с	л	а i é Л >

Значение этого предела называется асимптотической плотностью последовательности ( I ) .

- 90 -

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 159 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ