книги из ГПНТБ / Постникова Л.П. Тауберова теория с приложениями к аналитической теории чисел учеб. пособие

на коэффициенты,

от

свойств

функции, предстазимой степенным

рядом к

свойству коэффициентов. Мы будем

считать, что з теории степенного

ряда теоремы, идущие от свойств коэффиципнтоз степенного ряда к

свойствам функции прѳдставкмой этим

рядом, суть теорема

"абедеьз

типа',' а теоремы идущие в противоположном направлении

теоремами^га-

уберова

типа!'

§ 3.

Теорема

Вейердітрасса

о приблжкекяі; непрерывных

йуккі.у.ѵ:

Непрернвной

периодической

с

периоде.-.!

2Ь~

функцией

назы­

вают (функцию,

которая

удовлетворяет

услозкэ

{(^2~j

- ;"(х;

при любом вещественном

X

и непрерывка з

каэдэй

точке.

Как следствие теоремы Фейера ми получили так называемую

вторую

теорему Вейерштрасса.

Теорема. Задана непрерывная периодическая с периодом

25Ï

функция 'т U)

. Каково

бы ІНІ было

£ >0

найдётся такой

триго­

нометрический

полином

Т(К)

,

что

при всех

вещественных

X

I

[СО - Т ( х ) | <

£

Раз имеется

теорема

Вейерштрасса,

то существует и

первая.

Она в дальнейшем нам понадобится.

Сформулируем первую теорему

Вей­

ерштрасса.

Теорема. На отрезке

id/01

задана

непрерывная

функция.

Каково

бы ни было

f. > О

найдётся алгебраический

полином

Р(Х)

такой,

что

на отрезке

id,

01

выполняется неравенство

fâj приведём два

доказательства

этой теоремы.

В первом

до­

казательстве мы сведем

первую теорему

Веиерттрасса

ко второй,

ко­

торая была нами уже доказана.

Ld,

b]

Сначала рассмотрим специальный

случай отрезка

t имен­

но волос» Л « -Л

, [> - Л

. Пусть

/ (У) непрерывная функция на

отрезке

. Введём

вспомогательную функцию

^

f x j ,

по­

лагая

Легко птюверить,

что

Поэтому фушщаю

Л (х)

г,:охно доопределить для

всех веществеішых X

посредством разекстза

t 'X>ü'v/

,

причём расширенная

таким образом функция

является

непрерывной периодической

с

периодом

.?Jt

функцией. По второй

теореме

Вейерштрасса

для

любого

ê > 0

найдётся

тригонометрический,

многочлен

такой,

что

при всех

вещественных

А'

; 2 б О - T f r î i

( I )

Дял полинома

М*-;

положим

it-it

Из элементов анализа известны разложения функций

СОІ â

и

Z

в степенные

ряди

^ л г - - г - / Г

+ 77

Радиуо

сходимости

этих

рядов равен бесконечности и поэтому эти

ряда равномерно

сходятся

на

каждом конечном

отрезке, в частности

ка

отрезке

[ - и

ЗІ,

гь 31 J

, где

Уі- порядок

полинома

'TL*)

Поэтому

существует

столь

большое

число

К

,

что при всех

2

с

отрезка

будут

выполняться

неравенства

I СИ Z

-

6\

<

-^g

,

Un

2

- Sji)

I < ~

,

где

CK(

Z)

и

SK(Z)

К -ые частные суммы разложений в степен-

ш е

ряды

соответственно

фушсций

С<У ?

и

tifl

i

.

В силу

последних

неравенств при любом

X

с

отрезка

и любого

Пг ,

i

£»l

* я-

Положим

U (x)

является

алгебраическим

полішомом,

для которого

в

силу

неравенств (2)

выполнено соотношение

Учитывая

( I ) мы получаем,

что

I Ш

- GMÏ

-

Но в

таком случае

полином

2. X

Итак,

мы доісазали

первую теорему

Вейерштрасса для

случая

функции

непрерывных на

специально выбранном отрезке [~ 9it

TL J .

Перейдём

к случаю произвольного

отрезка LO-,b]

. Пусть функция .

-f-(X)

нвпрѳрнвш на

отрезка

LQ-tb]

, Введём в

рассмотрение

функцию

1%

функция

задана

на

отрезке

L

, мя доказали

уже,

что

существует

полином

il

к

такой,

что при всех

^ , " U t ï

і/

ѵ

'Лл

"

'

Заменим

г , , .

0%(y-il)

когда

^

пробегает

отрезок

Г.-'Ъ-,^} ,

X

пробегеаѳт

отрезок

/7г, л7

назначит, для любого X ;

("7.

X *

fy

}

Теперь достаточно

положить

г{'ч

является

алгебраическим

полиномом. Это доказывает

первую

теорему

Вейерштрасса.

Есть математики, обладоюидае предубеждением против косвенных

доказательств; им может придти

не

по вкусу

то, что доказательство

J£(K-'>*fCnf*ii-x)n~k-

ux(J-x),

(4)

і=(х + і-х)1

= Г. сл*

(і-х)

,

è

е,к ?к =(z <£)"-.

es)

е к с ; 7 к

- і і н г п г \

( 6 )

Z к V / ? * • = /І г (а г *• i )(г >• i)

~

( 7 )

- nx(iu(+i

-x)

-Un*

A

/ г

У

=

/ u /

Г i - X j .

Из тождества

(4)

в силу

X(i -

X )

~

мы получаем

ТЛ*-**)1сУи-х)п~*

<в;

И-С

О £ X £ 1

Лемма

2. Пусть

и

Ь'-^£

положительное число.

Обозначим через

&п(Х)

множество

тех

значений

К

из после­

довательности

О

, і

, £

, , . .

,

Я,

для

которых

Тогда

^

х

,

^

^

^

"

. то в

силу

( I Û )

Доказательство.

Если KG

ArL

( X )

(9)

_

g

_

Поэтому

кс-л,/х)

"

Чел,..6)

Если в сумме,

которая

стоит

справа,

мы распространим

суммирование

на

К = Г,

і ,2 j •• • )

>'!•

, то разве лишь увеличим

эту

сумму,ибо

ігрн

.V

е

С С, 1J

все добавляемые члены,

т . е . слагаемые из после­

довательности

0

, £

, . . .

,

IL .

которые

не входят

в

/\п(х)}

неотрицательны, т . е .

что и требуется доказать.

Центральным методом доказательства теоремы С.Н.Бернштейна

Ііейерштрасса

является

следующее

утверждение:

Лекѵа 3.

Если

f(x)

непрерывная

на

отрезке

Г О Д

J

функ­

ция,

то

равномерно

относительно

X

2

Нт;)С*хка-х)п-^

fix)

( Ш

Доказательство. Обозначим через JU. наибольшее значение

lj-(x)\

. Далее,

поскольку

непрерывная

функция на

отрезке

обла­

дает

свойством

равномерной

непрерывности,

то

для

произвольного за­

данного

S > О

можно

найти

такое

S

0

,

что при

j X "- X1 j

<

Ь~

будет

,

\{.(x')-f.(X')\

*

J

Теперь

возьмём

произвольное

X

с отрезка

L C I j

. П о

формуле

(3)

Обозначим

полином

В Л

СУ)

назовём

полиномом Бернштейна функции

- / Y " ' )

Ma имеем

Разобьём ряд

чисел

К - С/

i}

,,,

у

iL

на две

категории:

и

A п (,ѵ}5

полагая

К

С

І;1(Х)/

если / £

- * I <

£

К £ Л„Сх),есаш

к.

I К ' х' I ^ Ь .

... , РПТГН

1

/ I 1

'>

Соот'ветствешо этому

и

сумма

(12) разобьётся на две суммы 2 ^

и

. В первой

из

них

и

потому

а потому в силу леммы 2 (неравенство

(10) )

Отсвда

мы получаем

Если Ц

достаточно

велико

( IX У

) ,

то

<JLL

/

с

и

irr*

<

ь

lbn(x)-f(x)l<ê.

Поскольку

£

сколь

угодно

мало, а

внб\ р А'£

не

зависит

от X

,

то лемма доказана.

Теперь мы в СОСТОЯНИЕ доказать первую теорему Вейерштрасса,

Вели отрезок

f П-і

b'J совпадает

с отрезком

10,

I

] ,

то теорема

Вейерштрасса следует из леммы 3 (неравенство

( I I ' )

) .

Допустим,

теперь,

что

отрезок

С&і&]

отличен

от

[о,

і]

. Введём в

рас­

смотрение

функция

Она задана и непрерывна на

отрезке

[ 0 ,

I ]

. Как

мы доказали,

существует

полином

такой, что при всех tj, £

СС,

і]

Но для любого

Х£

ÜCL.hl,

-tj =^rzjx' находится

на

отрезке

fO.lJ

и мы имеем

k-D

Это показывает, что

многочлен

ч = е

приближает функциго

/ f x )

с

нужной

точностью.

Хотелось бы сделать некоторые комментарии к доказательству

С.Н.Бернштейна теоремы Вейерштрасса. Повторим, что центральным

пунктом

рассуждения является

соотношение

/?-». во

Зафиксируем X

,

0 <

* ^

і /

и достаточно большое натуральное чис­

ло !Ь

. На оси

абсцисс

U

отложим

точки

-д.- ,

К-С, 1,

..,П .

фикцию

И

=

Ch

X

(L-X)

мы будем рассматривать

на точ­

ках U = fL

, K-Çi,

Il .

График этой функции имеет ха­

рактерный вид "пика",

причём

U

максимум достигается где-то

Рис.

6

вблизи

точки

X

. Мы видели,

2

п. -к.

4 Tи

С*х'(1-*)'

"é

J ^

I

d

характеризует "остроту

лика"; оно

показывает,

что

при больших

і-ь

в сумме

С„

хЧі-і)

существенными

оказываются

лишь

слагаемые К

,

удовлетворяющие

условию

I тг ~ X I < S

. Это же утверждение

справедливо и для

суммы

Р>п.І*)

• поскольку в

силу

непрерывности

функпдя

-f(U)

ограничена.

Но для слагаемых

с

j

-

•* 14

£

в

силу непрерывнос­

ти функции

j-lU)

множитель

-f-(j^)

почти

не

отличается

отf./x).

Значит .полином

9>г\(х)

почти

не

изменится,

если в

его слагаемых

ß I д" j

замешть на

ffx)

Иначе

говоря,

справедливо

приближённое

равенство

к.-с

Это качественное, т . е . не

строгое

рассуждение

было

строго

оформле­

но в

лемме

3.

имеющие вкуса к теории вероятностей,

могут

отключиться от

лекции

до того

момента,

пока

я снова не перейду

к

изложению

тауберовой

теории.

Рассмотрим

последовательность

Л-

независимых

испытаний

в

каждом из

которых

с вероятностью X

может

наступить

событие C?t

и с вероятностью

1-Х

не наступить. Это так нааываеюя схе­

ма Бернулли. Для изучения этой

схемы можно рассмотреть последова­

тельность

независимых

случайных

величин

J

І ,

j & J

• •

> $ п.,

X

каждая

из

котопых

принимает

значение

" с

вероятностью

, а

зна­

чение

О

с вероятностью

і -

X .

Случайная величина