Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Постникова Л.П. Тауберова теория с приложениями к аналитической теории чисел учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 153 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

с вещественными членами, суммируемый методом

(С,

к чис

лу

О-

. Если

существует

такая

постоянная

О ,

такая

что либо при всех

Гі

=1,2,

•••

либо при всех

1 1

то ряд

( I )

сходится

обычном

смысле

слова и

сумма

CL .

В формулировке

атоіі теоремы есть ограничение, что чле

ны ряда

вещественны.

Это ограничение можно снять ценой отка

за

от одностопных

условии.

Теорема.Дан

ряд

•

а ,

г .

ссп

h,..

( 2

)

с комплексными членами, суммируемый методом

(С,

чис

лу

а .

Коли

выполняется

дополнительное

условие

то

ряд

(«)

сходится

сумме

Ч- .

Доказательство.

Пусть

Cl -

АЛ

I С\

il силу

условии

теоремы ряды с вещественными коэффициентами

І>і

*• ...

•••

è,t

+ •• •

(2')

Г г

. • •>

Сй

-г ...

( 2 . t )

суммируются

методом

{(-'>•!•}

сукнам соответственно k и С t

где

А =

/?е

<: =

&ч

CL .

Так как

- 21 -

Применяя к рядам (2 ' ) и (2						" )	теорему Харда-Ландау,
получаем,	что	ряды (2 '			) и (2 " )	сходятся в обычном		смысле
к суммам	В	и	С	,	а,значит,ряд		(2) сходится к	суммеß
Это и требуется доказать.
§5.	впадения		из	теории рядов		Фурье

Теория рядов Фурье, иными словами анализ Фурье или гармонический анализ, прилагается к изучению периодических

функции. 'Зутсция вег.іествегаюго		перемешюго f ( X)	называет
ся периодической, если существует такое постоянное			число Cl,
что при любом X
f(X+CL)	=	fU)

Теория развивается .для случая футодш, у которых наименьший полокительшіі период CL равен 29і , но, конечно, вся тео рия без труда переносится на случай функции с любым периодом.

Примером функции такого типа являются тригонометричес кие полинога (многочлены), это выраяеішя вида

/Гх) = Jll + ^ [ a , L тих + 6 п и я и х ii'-i

Mu видим, что коэффициенты тригонометрического полинома У' ( X ) выракагатсщ по форлулам

ein - ^

f(u) ced/пи daf

ія-С.і,...,*/.

и)

iem

uni

du,

m=Lp.

, . ,л/

1 J i u

' J

Естественно

попытаться выписать подобные соотношения

для более

широкого

іихасоа

периодических,о

периодом

функции

/ (X) .

Л\;ен;ю

мы будем

рассі.;атривать

абсолютно

интегрируемые на f-ST, ',% ]

по

Рпману функции

(X )

, пе

риодически

продолженные

на

пега ось. }'ля такой фуіищші

f(X)

выпишем коэффициенты <5урье

ß .

I f(u)tos

)n-ii(^Lirri--0,i>...

( I )

л.

-X

и сопоставим отой функции ряд

называемый

её рядом Зурье. Обратим виншіше

на то, что в (fop-

муле мы пишем не знак

равенства,

знак

^ѵ*

"соответствует".

Пока что мы тлеем

право писать знак

равенства лишь для три

гонометрических

полиномов.

Вспомним

некоторые сведения

из теории

рядов фуръе.

Конечно,

хочется

сразу"охватить онка

за рога", т . е . сра

зу жо задаться

вопросом, в каких

случаях рад Фурье "работает"

ѵ . е . представляет функцию

-j- (х)

. По мы пойдём другим

околь

ным путём. Сначала

обратіш

внимание

на последовательность

коэф

фициентов Фурье функции

-fjx)

mil du^zQifa.

Эта

последовательность

- существеннейшая характеристика

функ-

ции

-fi(X)

. Уже после ознакомлен: г с коэффициентами

^урье

мы поставим

вопрос

о том, как "работает" ряд Фурье. Ііішш сло

вами, мы будем действовать

в соответствии

установившейся

кадровой

практике;'!: сначала

знакомятся

с хдх>актериотикой че

ловека,

а уке

потом нрншімают на работу. Но это, конечно,

шутка.

Основное свойство коэффициентов 4урье дается следующей

теоремой

Римапа.

Теорема. Коэффициенты

Фурье

абсо.татно

интегрируемой по

Рима ну функции

-f-(X)

стремятся

к нулю при

/71-*- о о

. Ины

ми словами,

если

f(x)

абсолютно

интегрируеілая по Риману

фуикцпп, _то при

гп

Эта теорема давалась			вам на лекциях		по математическому ана
лизу. Она содержится во всех учебниках,					например,			в учебнике Г.М.
Фихтенгольца		"Курс дифференциального н интегрального исчисления"
т . I I I ,	1949,	стр.5І&-52І.	Советую Вам посмотреть				доказательство
этой теоремн, поскольку л не буду				на нём останавливаться. Я огра
ничусь	лишь	указанием на то, что эта теорема имеет						наглядный гео
метрический		смысл.
График фушелли			U/1 піх	имеет		вид: мы видим,			что чем
				больше		'ti ,	тем больше час
				тота	колебаний			при сохране
				нии амплитуды колебаний ; ана
				логичным свойством обладает и
				график		функции		ц - coi m х .
				Пусть		имеется		задаіпюя на
				кТ-.'Т, Л]			Функция		-f(x)
				"достаточно			хорошая", смысл
				этого		выражения не			будем рас
				шифровывать. Умножим её на

Віс.

Ірафик функции fix)

		А
ох	Рис.	2
ох	причём чем больше Ш
	f(x)	cc'iiiix'dx

сеч ііі-Х	или	на	-хп/пх	г
т . е . рассмотрим		функции
{(X)CrttiU	и -f-(x)		u/i/пх	.

при этом преобразится. Выражаясь не сколько вольно, охарактеризуем график этих функций как график исходной функции і/ - /-(X), попавшей в болтанку. Графики полученных функций имеют вид быстрых илвообще говоря; не правильных колебаний вокруг оси

тем сильнее "болтанка". Интегралы Vi

J j.(x) iÙLDLX

геометрически интерпретируется как площади областей, заключённых между отрезком оси абсцисс С-'II, л} и линиями представляющими гра фики поднлтегрзлышх функций. Ном лакіга заметить, что если график лежит под осью абсцисс, то площадь насчитывается со знаком плюс, а если график лехит над осью абсцисс, то площадь засчитывается со знаком минус. Но ввиду того, что при больших .''П 1'рйфики подинтегралыгах «функций ностогапю перескакивают через ось абсцисс, то

происходит сильное погашение величин площадей. Употребим для это го явление термин интерференция. Интерфереіщия тем больше, чем больше /П- и это делает видимым то, что при hi -г

	£ J	f(x) ces tnx. dx		— о
и	-X
и	j f.(A) un tnxdx			— 0
	j f.(A) un tnxdx			— 0
Нам потребуется количественная форма теоремы Римаиа, именно
докажем	следующий результат.
Теорема. Пусть функция			j- (х)		имеет	ограниченную		вариа
цию на отрезке		[ - £ , • £ ]	. Для её коэффициентов				фурье	имеют
место оценки
	1	- 5L ' m
		9t	m.
где V	обозначает полную вариацию функции					-f- (К)	на отрезке

г-к, ..

Доказательство проведём для коэффициентов CtnL , для коэф фициентов доказательство проводится аналогично. Проиэводя интегрирование по частям, имеем

'Juin

nix

dj-(x)

'лт

функция

непрерывная,

f(X)

функция

Как известно,

если

ограниченной

вариации на отрезке

Г Cl, faj

то для интеграла

Стилтьеса

Cj[X)df(x)

имеет

место оценка

I , /

q(x)dTl(x)

< M

V t

где

,jti~ т.ax r\ Ц (X ) I

, а

полная

вариация функции fCX)

на отрезке f "

Л і Л [a.J /;J .

ц данном

случае

имеем

- {

и это

дает		V
	Tint
что и требуется доказать.
Итак, для коэффициентов			Фурье функции		ограниченной вариации
ш имеем
CLln—0'J7î/	t	Ôm		= 0(ïu) .
Так как пш любом вещественном			х	ICOd/UXUl		и ) .U/-1 WiXI-. i ,
то мы можем натесать
а.„, СОімЧХ		ч- О,,, ЪІЛ DIX			—	0(»î).
Займёмся теперь вощюсом о сходимости рядов Фурье.
Ѵя будем рассматривать			ряди Фурье непрерывных функций. Напом
ним, что непрерывной периодической функцией					называется функция, не
прерывная пр.". любом значении		-':*Г SX ^cSï			, удовлетворяющая до
полнительному условна

С точки зрения теории футащиіі класс непрерывных периодических функцзЯ это "хороши.." класс функций. Поэтому, когда было открыто, что ряды Фурье непрарыэ:ікх функции не всегда сходятся и тем самым нѳ всегда щ.-едставляэт породшзц-ую их функцию, то на математиков это произвело опеломлявдеѳ впечатление.

Приведём прѵікер (предложенный Фейером) ряда Фурье, который расходятся в некоторой течке, несмотря на то, что породившая его функция непрерывна. 3 процессе построения этого примера мы будем опираться на некоторые вспомогательные утверждения, которые удобно доказать прежде чем приступить- к построению.

Лемма I . Рассмотрим выражение

Существует	такая	постоянная	С	, что цри любом			іг	и любом
вещественном х		ISa(x)\|éC.
		ISa(x)\|éC.
Доказат^ль_ство. Поскольку				выражение		\| S h W l		периодично
с периодом	ST	, то достаточно		рассмотреть значения				х	,
удовлетворяющие		неравенству	0	^	^	-Мы имеем
		„к
	Sft,(XJ = J (Cuit		- i -		CGS2t •+•		CGS r t t j d t .
			- 26		-

Преобразуем

подинтегралъное

выражение

cent

+ Cd

2Л

... +

С Ci nt

{Ca tiuiîj

+ ces êti<-n I +...-T

ичnt

itn

I j

tin

-T-

Так как при

К = 1, Ü,.

/г

Hfl [к г

г) t -

>wt fx -

UnjïOiKt

= ~ — i

& ^

то

S. iUL I

Л Ал

И ,значит,

Рассмотрим интеграл

Заметим,

что функция

j~,ü<.

возрастает

на

отрезке

LC,

j f j

В самом деле,

сосчитаем при

л.

производную

этой функ

ции

\ _

—

- CCJ d

' ^

СП *./,.,,

/!-,/->

—-я

(

Си ..і -*./'-

Применим вторую теорему о среднем,

получим

}Lit(n-i-l-)t

{

іаі\Пч-о)І

aL -

<~Mrt£

' u L l i

где

X .

Значит,

- 27 -

График функции			'J	-	^7	имеет		виц "затухающей"		синусоиды.
Из	этого графика мы можем					заключить,		что максимальное			значение
	#і							выражения
								достигается	при CL = С ,6='Х
								ГУ1Ы._ получаем оцешсу
			Рис.	3		Sn(*)	X / / ик и , [ ü			t A ^ с
			Рис.	3		Sn(*)		а
								а
которую и стремились доказать.								с
которую и стремились доказать.
	Из этой леммы легко выводится следующее утверждение:
	Лемма_2.		Пусть		Я-	и 2"	натуі>алыше числа,			X	веществен
ное	число. Сумма
	ко fn	*	у\ =		CC-i(^ÙL +.		CCA&<2)K + ... +			С£а/^/Ш -
			L			5				Р.п - і
ограничена		при всех		значениях			? , X
	Доказательство. №J имеем
	*(ГІ'^Х'~ТГ£					&Ï-L		far	ÊV-i

- / і і	/«	/ I . , /	4<лЛу	i чГ^ i-t-п и/
-£*лІг+п+±)х(			X	-J2i

По лемме каждая из двух сумм, стоящих в правой части, ограничена,

а	\&Сгь (2 ч- / I + ^jx I ^= і •			Лемма	доказана.
	Обратим внимание на то, что
	Приступим	теперь	к построению.
	Обозначим	через	G-tL множество	состоящее	из S ri чисел

Пусть ÄL , Л % , . . . некоторая воэрастаицая последоватйльнооть натуральных чисел. Расположим в одну последовательность все чис

ла всех групп 6\ ,		Ѳх , . . .	и	умножим все числа		группы ѲЛ)	на
je .
Мы получим	последовательность
-1—	А	- i		"i	L	*
обозначим члены	этой	последовательности			через
Рассмотрим	ряд
	У	^пг Ш	й	г * •		( I )

В ряде ( I ) сгрушшруем члеіш так, что объединим в одной скобка члены соответствующие одному и тому же множеству £ а .

Тогда получится ряд

* (Лп.,и^Пл-к..-*

£J,-i

( 2 )

Рад

(2)

в силу леммы 2 мажорируется сходящимся

числовым

рядом

и ^значит ряд (2)

абсолютно и равномеі-іо

по

сходится. Поэтому

сумма -f-(x) ряда

(2)

является

непрерывной

функцией.

Покажем, что

ряд ( I ) есть ряд фурье

функции

•/ ^Х)

. Посколь

ку ряд (2) является равномерно сходящимся, то

его

можно

умножить

на

№

ffi.x

или на

it а тх

и почленно

проинтегрировать

от

-'Л

до

, Интегралы всех членов, кроме

члена,

содержащего

d,ri

• с a

.< 7

будут равны нулю и мы получим

Таким образом,

ряд Фурье функции

т^)

есть

Рассмотрим

теперь

частные суммы ряда %-рье

( I )

при

X" = С

- 29

Имеем

Отсюда	,
	Л
Возьмём теперь	Л ѵ быстро растущим, конкретно	,

тогда

убедилась в том, что ряд 'Зурье непрерывной функции/YxJ расходится в точке А = Г- .

§ 6. Сгтаровакпе рядов Зуръе методом средних аваіавтичвоких

Как показывает пример Феііера, если в эксплуатации радов Фу рье использовать лишь понятие обычной сходимости (сходимости по Кош), то узе в классе рядов 5урье непрерывных функций мы можем получить неуспех. Однако, ряды Фурье обладают "скрытой" сходи мостью и это даёт .дополнительные возможности при их изучении. Мы сейчас займёмся суммированием рядов £урье методом средних ариф метических.

Введём обозначения. Задана непрерывная периодическая с перио

дом 2 3L	функция			. Пусть ряд §урье этой функции имеет вид
				со	cci"ix i- Ь,п
	х) ^		j± i	^fft-n	cci"ix i- Ь,п	ііптх).
Через On	(X)	обозначим		последовательность частных сумм ряда фу-
^					ji
S. (*) = f °		>	.SA W	= T-	+>'	* hm	11

Через	On, iXJ обозначим	последовательность средних арифметических
частных	сумм ряда '5урье	функции -f-''<)

<<< < Предыдущая 1 23 / 153 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ