книги из ГПНТБ / Постникова Л.П. Тауберова теория с приложениями к аналитической теории чисел учеб. пособие

мы видимчто это

непрерывная функция от

при

С ,

Поскольку

функция

ij K

J

о

с

Итак,

при

b

j

,

^

>1

1

Сделаем

теперь

замену

переменных rl —

,

о-~>} _Я меняется

і - Л

Когда

2

меняется

от

0

до

от 0 до I .

Q

0 [і

- Л I

Итак,

при

х>

i

,

?

1

формула

доtta за на.

Пусть

X > С ,

і/

-- (

.

Мы имеем

(х+$ + і)ГІх+ц)(х*у)

Л

'

поэтому

^

Значит,

Заменив Я на і - î ,

получим

j.u \ Г ( Y-t-LI \

J.

Применив ещё раз приём редукции,

получим

і

1

о

0

Получается

ГМГ(у)

Г Х - І

y - ,

( 4)

Таким образом, формула

( 4 )

доказана

и

при

Х>0

,

С .

Теорема доказана.

Положжм теперь

.X

=

L/, =

,

в

силу

Г(1)

-

£

получаем

1

1

а /

J r

ЛИТЬ

-

.

,

Сделаем замену переменных

Я

Пл.

G

ч

\t)

CJC

ІСГЪѲССУІР

И, значит,

Г Г і )

=

^

При

X =

у.,

равенство

(4)

даёт

Полагая

.Я = f

- £

VJA

,

в

силу 'À {і

~Я) = £

-

^

получаем

Г Ш )

^

u

4

1

fjH^

I s -

i

'

1

J

І£Х~1Г(Х)-Г(*+І:)

=

[ ( Е Х ) ^ .

(?)

Теперь остановимся на доказательстве асимптотической фор­

мулы для гамма функции при

X —><^>

. Эта

формула называется

фор­

мулой Стирлинга.

Сначала рассмотрим случай, когда. >

есть натуральное

чис­

ло, X - il , так

что I (У) =(/1 - 1 )

! . Мы имеем

ііъ

(li-i)f

- 22

ь^-

Мц дадим

приближённое

представление слагаемых tit )) в виде не­

которых

определённых

интегралов

b i t dit ^= j ( U(ht)

+ ùiiï-t))dt

=

| c , u f | M i - £ ) | «

=

0 ( 4 f ^ M ( >

Итак,

U

г(п) = in (n-i) ! =j

и

t dt

-

z c

Поскольку

С ? -

О (Ѵ$г)

,

то

ряд

Z

C\J

сходящийся;

пусть

его сумме равна

— С '1'

",1

ht

*

Значит,

= (n-j-)frirl-

/I-

С

+ O(L),

(8)

где С постоянная.

Теперь распространим эту формулу на произвольные

не целые значения X

,

Для этого нам понадобится

следую­

щая лемма.

Лежа. Пусть

П > О

г ц р

и х — ^

Гfx)

= ft

Знак

это знак асимптотической

йквквалентноотж, под­

робнее формула

(9) записнвается

Сначала предположим, что CL •> £

. Тогда

= J i

G d t - } ( i

-U-e

j

j e

d t -

о

о

X

с

Лемма будет доказана

(для случая

Cl > £

) ,

если мн покажем, что

Действительно,

поскольку

при

г

/'С

і - в

« e r

, т о

интеграл,

стоящий в левой

части формулы

(10),положителен.

Далее,

поскольку при С <t с

і

где константа J{ ? £

зависит

только от

û

,

то

~

a-i ,

é, a -i\

-xt

/ ,

,a-l

,

,.

-ixcL-i -xi

-ta-i\

-xt

г

a-i

-ta-i-xt

t

- d - e

)

) e

dt=}{t

0

-u-e

;

в

di+

(.

,

1

: °"

+

-d-e

)

Je

dt<J(Hi-t]

)t

€

db

с

(•

a-i

-xt

r

a

-xt

Т.о.

-xt

,.

+ - J

t

e

dt

< :X}t

e

dt ^St

e

dt

<

где

-

l (a H ) зависит только от Cl '. Этим лемма доказа­

на для а > L .

Г(х)

.

х ~ а

- 1

F(x-ta+£)

Но тогда

то...

_

^

х~°-1

( Y + a j f Y x + u)

и

Лемма доказана.

Пусть

теперь X'

не есть

целое число, X =

/г-і-сі

, где

О <• а < £

. П о формуле (9)

U

Г(х) = епГ(п + а) = І,іГ(п) + аІпп + С(і).

Применяя теперь формулу

(8)? получаем

tu

F fx)

=(n-j)

U n-n

+ C+a. in n t- с (-1) =

-(X - a

-

Cn (x-a)

- x + a -+C+ аСл.іх-а)

+c(-i)

-

-{x-j)

i/tx+(x-J-)

ùi(l~ f)-x

+ a *C+G(£) =

z(x-

f J ùbX -X

+ С -f O(i).

( и )

Мы уже уверились

в

том,

что

теория рядов вида

Z

але

( I

)

/і = р

это лишь иная форма теории степенного ряда.

Заметим, что может быть так,

что ряд

(I

) не

будет схо­

диться ни при одном значении

6

,

может быть и так,

что ряд будет

оходиться при всех значениях

6 .

Первая теорема Абеля для ря­

дов,

заданных в форме

(I

)

звучит

следующим образом:

Теорема. Для ряда

-ni

^

^

û r t

е

и ' . )

Іі-О

существует

такое

число

60

,

называемое

абсцисоой

сходимости,

что ряд (I ' ) сходится при 'б"* £0

и расходится при

'S"

^ & 0

Если ряд нигде не сходится, то полагают

G~c -

о °

,

если рягг

сходится всюду, то полагают

<oD--co

. При любом

Е ^

О

в лю­

бой области

G >

бе +

£

ряд

(I

)

сходится

равномерно.

В аналитической теории чисел играют весьма значитедъыуь

роль так называемые ординарные ряды Дирихле

К-

В виде ординарного ряда Дирихле

представляется при

6"

-1

клас­

сическая дзета функция Римана

/1=1

•

Простите за шутку: "Хоть представляющий даѳта

функцию ординарный,

да сама функция марочная". Мы видам,

что вторая форма запвоп

ор­

динарного ряда Дирихле (2) аналогичкЕ форме зашсЕ

степенного ряда

(I

) .

Это наводит на мысль рассматривать

некоторой

общий класс

рядов,

в

котором в

качестве специальных

случаев

содержался как

степенные ряды (I

' ) ,

так в

ординарные редв

Дирихле

(2).

Зафиксируем возрастающую последовательность

вещественных

чиоел

к,

< Ад

<

А *

<

,. .

(а^

таких,

что