Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Постникова Л.П. Тауберова теория с приложениями к аналитической теории чисел учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 155 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

ВЩЕСТВЕНШЕ ТЛУБЕРОВЫ ТВОИМ ДЛЯ СТВПЗШ!Я ШОВ

ИШОВ ДШСШ

§I - Суммирование рядов методом Абеля

Напомним некоторые сведения о степенных рядах. Степенным

рядом называется ряд вида

	О-ц, H -	С ,1,3,			п = 0
где					, . . . числа					комплексные.
	Первый вопрос-это вопрос о сходимости. Всякий степенной ряд
сходится при		2 = 0		. У каждого			степенного		ряда есть некоторый ра
диус сходимости: это					такое	число Я		, что	ряд	сходится приiz]<ft
и расходится		при	\| 2 \| >		R. ;	если	ряд	сходится		тольхо в точке 2-0	,
то	полагают	R~ 0	,	а	если	ряд	сходится при всех значениях 2				,
то	полагают	Я = со		. Н а круге			сходимости		ряд может как сходиться
так	и расходиться		Рассмотрим ряд

Ч-і.

Его радиус сходимости равен I . Рассмотри,] этот ряд на круге схо димости:' 2 = Р.С , Мы видим, что в каздой т&чісе круга сходимооти ряд абсолютно сходится. Далее, рассмотрим ряд

ItZ

Точка 2 - 1 крута сходимости есть точка расходимости.

Займёмся теперь вопросом о равномерной сходимости степен ных рядов. Здесь известна следующая теорема - первая теорема Абеля.

Теорема. Ряд равномерно		сходится				при	I 2-1 й R.		,	где	И
-любое положительное число меньшее				R. .
Доказательство. Пусть		у>		какое-либо				число,	удовлетворяю
щее неравенству	,		<
	ft <	j3	<		Я, .
Так как ряд ( I ) сходится при		2 = ß			,	то	по	необходимому			признаку
сходимости
	м	"	-		0
Поэтому существует такое	число		$і	,	не	зависящее от			П.	,	что
						1

- 41 -

= С, I ,

!і)...

Мы имеем при

2 M

Я.

й ' /

Поскольку

/ а

то

числовой

ряд

/1-е-'

•

сходится. Мы видим,

что

при

I Z

I 4 R,

степенной

ряд

мажорируетс

членами

сходящегося

числового

ряда,

фушщиональный

ряд

равно

мерно сходится.

Мы показали, что

на

комплексной плоскости всякий круг

внут

ренний к кругу сходимости, есть область равномерной сходимости,

сам г.е круг не обязан быть областью

равномерной

сходимости,

ибо,

как ш видели, на самом

круге

сходимости

ряд

не

обязан даже

схо

диться.

В этой главе курса будем рассматривать степенные ряды не

во

всём

круге

сходимости,

а лишь

на

одном из

его

радиусов.

Заме

ной

переменных

- с С-

- i n

относя

€

коэффициенты

ряда, мы можем добиться

того,

что этим радиусом будет являться полуотрезок вещественной

оси

LL-j

п. J .

Итак,

дан

степенной

ряд

«л*

(

( I

)

0.4 X <

. На отрезке

Г О, ft']

, г д е

С -

ряд

сходится

равномерно. Допустим, что

мы дополнителъно^знаем,

что

в точке

х = &

ряд

сходится

( т . е .

сходится

ряд

сіл

)

м = С

будет ли в этом случае отрезок равномерной сходимости

простирать

ся

вправо до

точки

х =•

Іі

Утвердительный ответ

на этот

вопрос

даёт вторая теорема Абеля. Для простоты ограничимся случаем

R• = і .

Теорема.Вели

ряд

Т. СІіь

(2)

сходится

его сумма

II-о

то

ияд

равна

CL ,

а-Х

( І

)

равномерно

сходится

при

Х- 1-0 ti-= о

Доказательство. Рассмотрим отрезок отепешюго ряда ( I )

ая х*+ ... + а р х р

Положим

Иримештм обычную в	анализе выкладку, так называемое преобразова
ние Абеля: при 0	^ X й L

В силу	предположения о сходимости ряда (2) мы можем найти столь
большое	Л-„ , что при П 0	— П < р
	I Sn,P\	<£.
Это нам даёт:


\алхп-+-				+ архй1	±&ix'kTxn+1i			+		£lx'l*ù-x'",£l+^
+ 8 1хр'1~кр1					Хр
и в силу		того,		что при	0 < X -4 і		/X ^-Х і + -		X *-Х		^
получаем :
+	< F ( * " ' - VJ »-f х''---					сгхл
а это и есть			условие равномерной сходамостл ряда ( I ' ) .
	Итак, ряд ( I ' ) равномерно сходится на отрезке									СО, і] .
Его сумма		/ ( у ) в точке X - J.				равна	LL ,	fil)-CL	,	По класси
ческой	теореме			анализа	разномерно сходящейся на каком-либо отрез
ке (подчёркиваем .на отрезке) фушщиональный								ряд представляет не
прерывную на этом отрезке функцию. Тем самым сумма									^Сх)		степен
ного ряда		( I		) есть непрерывная на отрезке				СО, і]	функция.
Сосредоточим			свое внимание на крайней				точке	этого	отрезка		X - £
в этой	точке		функция

				X'1
является непрерывной,		т . е .
Lu	S aax'1	-	(intf(x)			a ,
что доказывает	вторую часть		второй	теоремы Абеля,		t
Бторая теорема Абеля применяется для определения значений
сумм некоторых рядов. Приведём несколі>ко примеров.
1. Известно, что при			. ' f l	£	(

По пшзпаку Лейбіпща ряд

Л _ к + 1 _ А +...

является сходящимся. Обозначим его сумму через CL , По второй теореме Абеля

2, Интегрированием ряда

получаем			-i	,. j -
Ot-tÇ.t(j		X =	~ +	£
По признаку Лейбница ряд		"Г 4 — .. •
•/ -	~	"Г 4 — .. •
	з	о	CL
сходится. Обозначим его сумму через			CL	. Мы получаем	по	второй
теореме Абеля
а	=	Uni a-jréa		X = агсЬ 1 -	т	•
	х-> і

Ma рассматриваем метбд^уммированпя рядов посредством сред них арифметических. Сейчас мы остановимся на другом методе суммиро- вания-методе степенных рядов или методе Абеля,

Задана числовая последовательность

c t ^ c i l } u z а П ! . .

( 3 )

Степенной ряд

п-о

назовём производящим рядом последовательности (3), а функцию, пред-

- 44 -

ставимую	этим рядом
	4(х)^;>:	а я х ь	(4)
назовём	производящей функцией	последовательности	(3). В ряде за

дач относящихся к изучению числовых последовательностей удобно от исходной последовательности (3) перейти к соответствующему ей про изводящему ряду ( I ) : такой приём является одним из вариантов об щего и имеющего большое количество приложений метода производящих функций. Метод Лбеля суммирования числовых рядов, о котором будет идти речь, тоже следует рассматривать в рамках метода производя

щих функций. Именно,

вместе

числовым

рядом

ас

-/- at

t-û.£ -t...

-f- а л

<-...

( 5 )

рассмотрим производящий

ряд

его членов

п-С

Определение. Мы будем говорить,

что числовой ряд (5) суі^-

мируется

методом Абеля к сумме О. (и иногда это записывать в виде

(Л)

о , + и , + - а я

+ -

а ,

если соответствующий ему степенной ряд

( I ' )

сходится upuOïX^i

и его сумма

-f(x)

при

X ~т

і - 0

имеет предел

сс

ііпг

а.

х-'1-С '

Такое определение суммируемости не противоречит определе

нию сходимости, ибо по

второй

теореме

Абеля,

если

ряд (5) сходит

ся и его

сумма

равна

, то

tun

а а

=а

X—L-D

п^о

т . е . если

ряд

сходится

к сумме

то

)

Ctc

+ CLL + •••/- а„ +-•

CL .

Рассмотрим

ряд

і-

і + 4-1

Мы обращаем

в;

^іание

на

то,

что этот ряд суммируется методом сред

них арифметических

сумме

У#

. Теперь

применим

к этому ряду про

цедуру суммирования по Абелю. Производящим рядом является следую щий

- 45 -

И поскольку	ІСпь	7 ^ 7 - А , то (Л) і-і + і- £ + ••• ~ f •
	Х - і	*

Суммирование но Лбелю даёт тот же результат, что и суммирование методом средних арифметических. Это обстоятельство является про явлением общей ситуации, которая описывается следующей теоремой Фробеішуса.

Теорема.Если ряд

		а.г	+	ч- а 2 + •••		(5)
суммируется по методу			средних		арифметических	к сумме • Ci- , то он
суммируется и методом Абеля к той же суше .
Доказательство.			Обозначим через
а далее	через
Суммируемость ряда ( I ) средними арифметическими к сумме СІ озна
чает , что при Гі		<х>
Из этого	следует,	что	последовательность Ьп			ограничена
		\вп\		*	: к .

Шимеем

Значит, при

t l ^ i

и значит,

т . е . G-n. = 0(n) . Отсюда следует, что производящий ряд

п-о

имеет радиус сходимости не меньший единицы. При С^х^1,в	силу
абсолгтной сходимости,законны следующие преобразования	ряда

- 46 -

1 (х) = Z Л Д У Я = S, F ( З л и -Sri)X

= F

Sjxrl-x'^)

= (.i-x)Z

£,У

h-0

n=0

Повторим ещё раз эту

вшиюдку

n-n

n- с

= U-x)(b~c + ^.(Оч-ибк-n

6~n.L}x'1)

п-1

(n. ifab

- х

,Hl

)-(L-x

(n*ifa

X '\

(6)

U-X) Z

/1-0

~Х с

і'

" = 0

Известно, что при

или

і=(І-Х)£>!(П*І)Х/1.

Умножим обе части

этого

равенства

на

И вычтем из равенства (6),

получим

ІМ-a

-iL-

xfz.

(п+і)[6п-а)х

Зададим

7 О .

Сумму,

стоящую в

правой части, разобьём

на

две

рЛ'~1

„

9 " °

причём

число Ж выберем так,

чтобы при

Л^ТІ'

было

/ ь ч Л - a j . < £ .

Тогда для второй оумш будет

выполнено неравенство

^ - . х ) ~ ^ (/*-<-'-.) x ' ' l = £ .

При

достаточно

близких к

(L -

X ] ~ F

( « + *

- а

* ""I *

& •

II-с

Итшс,

каково бы ira

было

Ь' > О П щ

достаточно близких

- 47 -

/fx)	I) <-

что и доказывает теорему Фробениуса.

Заметим, что поскольку из сходимости следует суммируемость средними арифметическими, а обратное не всегда верно, то теорема Фробениуса является более общим утверждением, чем вторая часть вто рой теоремы Абеля.

Итак, всякий ряд суммируемый методом средних арифметических суммируется и методом Абеля. Верно ли обратное? Отрицательный ответ

на этот вопрос даёт	следующий пример. Рассмотрим ряд
	l - 2 , t 3 - 4 + S - £
Последовательность	частных сумм будет

а последовательность средних арифметических частных сумм будет

Это расходящаяся последовательность. Однако,

, Ь П 1 (L + rf ~ 4 .

То обстоятельство, ято всягагй ряд суммируемый средними арифметически ми суммируется методом Абеля, а обратное не всегда верно, выражают следующей формулировкой "метод суммирования Абеля сильнее метода суммирования средними арифметическими".

§2 - Теорема Таубера

Не раз уже мы говорили о теореме Харди, утверждающей, что при

условии

/-, / V 1

из суммируемости ряд? методом средних арифметических следует его сходимость в обычном смысле слова. Английский математики Таубер по ставил вопрос о том, какие дополнительные условия нужно наложить на ряд, чтобы из его суммируемости методом Абеля следовала бы его схо димость в обычном смысле слова. Таубер дал^ как мы увидим.,не

полный ответ на этот вопрос, а именно, он доказал следующую теорему. Теорема.Если для членов ряда

- 48 -

ас	к 2 (	+	ci,	+
справедлива оценка
	< 7 Л ^	°	(	{ ) ,

то из суммируемости методом Лбеля следует его сходимость в обыч

ном

смысле.

Прежде чем доказывать

теорему, напомним,

что

обозначение

(2)

означает, что

при

tl—HÜfl-"C.

Доказательство. Итак,

задан

ряд

п-о

для

коэффициентов

которого

выполняется оценка.

(2).

Предположим,

что

при

У ->•

1 -

а.

/ f x )

—

Рассмотрим

выражение

>•;

алх

- 2

л л

где

,Л' - [ І~-х

квадратная скобка

означает знак це

лой

части. Мы имеем

• 1 j

Пт=А'г1

II-С

Когда

X-*- 1 ,

A'—c*-> .

В силу

условия (2)

для заданного <£> О

можно выбрать

столь

близким

единице,

что JX

становится

на

столько

большим, что

при

ііт-Л

выполняется оценка lflü.,,1

Тогда

		<	? j f r t =			ё - —	< e
		•Л'ri	£ c A			i-X)
(ибо	Л /	= \| д Т £ - ! '	откуда	у^ѵг-	<	i	) . Далее
		i-x"-=(L-X)(i>-X.-'-'-ya-S)+					n(L-X),
и в	силу	этого
		-	г.- -	Г	.	= с

- 49 -

По условию при

Л l l U " L l

l \ - - - G

и, применяя лемму

о среднем

арифметическом получаем, что

при

Х—гі

{Л-гс.т>^

Итак, при л —-»-./

л'

it -

•;'

и = с

Но при

X — - і

условии

теоремы

значит,

пр;і

I! - С

, т . е . при

X —

CLn

--- Oy

что л требуется доказать."

Здесь :/а остановимся на употреблении

в математике терминов:

тесре:.:а "абелева .типа"

теорема"тауберова

типа". Мы говорили о

сггвнтітольио;'; силе методоз суммирования. Сумі.гирование средними

ер;:ф:.:етическ;г.пт

сильнее,

чем сходимость в обычном смысле слова,

суммирование

по Абета

с:ілънее,

чем

суммирование средними ариф-

метическЕлі. Вторая часть

второй

теоремы

Абеля утверждает,

что

если, ряд сходится в обычно;.: елмсле

слова,

то

он суммируется

мето

де;.: степенях рядоз к той

не

сумме. Мы видим, что

это утверждение

идёт от более слабого метода суммирования

более

сильному;

ввиду

этого классического прототипа теоремы, :уг/іинс от более слабого

суммирования к более сильному называется

теоремами

"абелева типа".

Теорема,

утвервдазгая,

что если

ряд

сходится, то

он

суммируется

средними арифметическими, а также теорема Фробениуса являются тео-

ремами "абелева типа". Откровенно•говоря, это	все же		тривиальные
теоремы.
Теорема Харда, а также теорема Таубера		идут в	обратную	сто
рону: при дополнительном ограничении они идут	от	более	сильного
способа к более слабому.			В честь
Таубера эти теоремы называются теоремами "тауберова			типа"или
"тауберовыми" теоремами. Мы увидим дальше, что		доказательство		тео

рем тауберова типа требует подчас весьма нетривиальных рассуждений.

Итак, в рамках		теории суммирования рядов термины "аоелева"
теорема и "тауберова"		теорема достаточно определены. Но эти терми-
мины употребляются	и вне теории суммирования. В процессе		развёр
тывания этого ргурса	понятия абелевой и тауберовой теоремы		будут
		- 50 -

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 155 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ