Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Постникова Л.П. Тауберова теория с приложениями к аналитической теории чисел учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 154 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

ей(,).	fry-•;»«,		„ . M > J U .
Мы докажем сейчас	следующую теорему Фейѳра,
Теорема. Ряд Фурье	непрерывной функции		/ - f x ) равномерно
суммируется методом средних арифметических к этой функции. Ины
ми словами, равномерно	при	-.IL éX <
icrri	!oJx)	= / Y x j .

Доказательство этой теоремы имеет наглядный геометрический смысл, однако прежде чем до этого смысла доораться нужно проде

лать некоторые	вычисления. Итак,	дана	непрерывная функция / f x ) .
Рассмотрим	частную сумму	Л ц	(х) её ряда •ЗСурье
	'п.
здесь	Л
	Л

		Ьт=~-		[ fU) iui		rni dt	t	m = d ,	n .
Учитывая эти		выражения для			коэффициентов		Фурье, имеем
4	-	Г		гJL		ч- i.tirrwj		С	• "1	-
4-	> '			^(t)coimtdt		ч- i.tirrwj		f(i)hrinït(ii\		-
	nil l	I					- E		-'
" к	I \T +		^....'слгпхаЧіпі-+шіпииііпіЩі(і)с[І						=
= 4		+	#		шІі-ѴтЛНЫі.
Подстановка		-£ =	x h t/, приводит			к следующему		выражению
	Л » - "		/	f /е	г	£c.Ojniu)J(x-,lL)diL

(мы использовали здесь свойство чётности функции косинус). Под

интегралом стоит	периодическая по iL с периодом Р'Л функция. Как
явствует из геометрического'смысла интеграла, величина		интеграла
от периодической	функции по любому отрезку длины равной	периоду
	- 31 -

имеет одно и то же значение. Поэтому

Мы уже имели дело с выражением

о^ F . . с с л , п

ипридавали ему компактный вид, напомним эти преобразования

{.иь £ U	ь j r СГУ m t f )	£ ни	£	+
+ Êff	«Л(т.+$и-іі,і(т-£}и\	=	^	(>l*à)u

й* пришли к такому выражению для частной суммы ряда фурье

Эта формула известна под названием интеграла Дирихле, а выражение

называется ядром Дирихле. Интеграл Дирихле ( I ' ) используется при изучении сходимости (в обычном смысле) рядов Фурье.

Но мы занимаемся суммированием рядов фррье методом средних арифметических, т . е . предметом нашего внимания должно быть выра жение

По формуле ( I	)	получаем	Л ,'±
			Л ,'±
		і ь	: г	2 toi f
l	f	J>L (COlintt	-Olli	І»т1) II) .
r C J A t t - U - 7 T T - T u				-f{x*u)a<L	=

- 32 ~

Или

я a —f-

Интеграл

(2)

называется

интегралом

Фейера,

а выражение

1 / 1

• i

/і и и

~ '

Ф М ^ т з я

( і ^ р /

называется ядром

Фейера.

Остановимся

на

некоторых

свойствах ядра Фейера.

И л и .

I .

Ядро

Фейера

неотрицательно,

т . е .

при любом

ф(П,

U ) ^

0 .

Это очевидно.

Ф к < ? ) =

В самом

деле,

Справедливо

равенство^

= J

ф(н,и)сІи

Доказательство. Возьмём

специальный

случай функции

/Ос J

тождественно

равной

единице:

-f(x)

. Эту функцию можно рас

сматривать как тригонометрический полином, состоящий из одного свободного члена. Её ряд Фурье есть одночлен

'а последовательность частных сумм ряда Фурье этой							фушщии будет
при любом / I	=	0, 1,2, . . .		. Далее,	при любом		II = 0,1, . . .
		(),,(-<)	=	^ 7		=і
Теперь формула	(2)	нам даёт			„
		L	C I	МИ	—s—«-1	/

что и требовалось доказать. - 33

Нарисуем график		ядра	Фейера. Обратим внимание	на то, что
чётная	функция,	т . е .	её график симметричен относительно оси ор
динат.	Функция	Ф ( > 1 - , и м е е т максимум при		а=0

		и
По обе стороны	от	точки максимума фуіпщия убывает и в точках
U = І 2Я"/гь	+ і	линия доходит до оси абсцисс. Этот участок

графика будем называть пиком. По обе стороны от пика идут лежа


щие на оси абсцисс затухающие волны. Чем				больше tv	, тем вы
ше пкк и	тем	заметнее боковые волны. Вглядимся в график ядра
Фейера и	нам	станет ясным наглядный смысл той теоремы, которую
ыы доказываем.
Рассмотрим при фиксированном			Л	фугащию

ф(>г,и) tix+u)

При больших И/ характер графика этой функции будет иметь вид пика, только несколько искажённого. Высота нового пика будет


равна		^jjf-/fr)		,	а	основание будет	прежнее,	длина основа
ния равна			Іі1т/>г + і	. Боковые волны при больших				>ъ	столь низ
ки,	что	почти всю площадь				криволинейной трапеции между осью абс
цисс и графиком функции						Ф('г,и) . /(х + а }	забирает		пик. Далее
пак	имеет		вид близкий	к	равнобедренному треугольнику,				площадь это
го	треугольника равна

JUL . /м. Jk+jL

^+і r w г-ж

Таким образом, при больших ^

<oJx) = S<p(n,x)f(x+u.)du « (ix),

а это мы и доказываем. Рассуждение, которое мы привели, не явля ется доказательством, это чаато иллюстративное рассуждение.

Теперь проведём выкладку, доказывающую теорему. Мы ухе имели дело с формулой

4 =	?Л(п ' i) J	cUL .
1	?Л(п ' i) J	. . . £ il
1

Из этой формулы следует, что при фиксированном X , -SL £Х

Или, вспоминая формулу				(2)	получим
				/	г it/t	î) -t-L	i	,
Зададим	£	>0			-£	P.		г
Зададим	£	>0	. В силу непрерывности функции					/ Г * } 4 найдётся
такое	о">	С ,	что при	I Ы \| ^
			f(x-rii)-		/Yx)\|é£ .
Теперь	разобъём		интеграл, стоящий в			правой	части	на три

о/Г

Имеем

Произведём оценку \| !)'^\|	. Поскольку при IW-J	\j-(xru.)'f(x)\i	Е
и в силу неотрицательности	ядра Фейера получим:

- 35 -

* е - i С ^ t ! L du.

Ч-МПІІ) о sen*

-s

Поскольку ядро Фейера неотрицательно, то мы только усилим оценку если распространим интеграл с отрезка 1-$, Б/ на отрезок

[- ât , *5t 1 ; это нам даёт

Наступила очередь

интеграла

. При оценке

интеграла ^

мы воспользуемся

тем, что непрерывная

функция ограничена; существу

ет такая

постоянная

С ,

что при всех

значениях <<

Н(Ч\+

с.

Имеем

J l [

ÖSE{/i- i)

j t ' „ г U

JLÇ_._

-b

ял*-pu

Шпн)

•>

• CUL i

— •

Последнее в силу очевидном неравенства

I Яп

і .

Заменяя переменную

и - ТГ ,

получим

л/ i ^ _JL£

duz...

- / j , ,

Докажем,

что_дри

c 1 - ^ ^ " ^ ' ^

'JL

•

В самом деле, производная функции

—•-—

равна

ША-б

- tin d

СМ-С i j

)

и значит

отрицательна при

< et

. Таким ооразом, мини-

ыум У функции

= ^ с -

^ достигается

при

Л. - ff-

, т . е .

- 36 -

.1 in

où

un ж

^ 2

( 4 ) . В интеграла

Применим это

неравенство

для

оценки интеграла

é:

и.значит.

^.а

Это даёт

J&'

~~ n +

if*

ti-ri

Напомним, что

мы f > 0

зафиксировали. Значит зафиксировало и SrO.

Поэтому, если

мы возьмём достаточно большое

/і

, то

будет выпол

няться

оценка

Оценка

интеграла

| 2І5

проводится

аналогично

оценке

интеграла I I ,

не нужна лишь

замена

на

- V

. Итак,

при достаточно больших Л

Собирая

оценки

интегралов

3 ?

, получим, что ка

ково бы ни было f

при достаточно больших

Л-

аэто и доказывает теорему.

№видим, что в теории рядов Фуоьѳ метод суммирования методом средних арифметических привёл к успеху. Есть и другие методы сум мирования. Об их применениях к теории рядов Фурье можно прочесть в

гл.	I I I известной книги А.Зигмунда				"Тригонометрические ряды"				т . І ,
M	1965.
		Из теоремы Фейера следует утверждение, которое мы назовём
второй		теоремой	Вейерштрасса.
		Теоремг. Задана		непрерывная	периодическая о периодом				Й $
функция		/ ( К )	. Каково бы ни было £> О				найдётся	такой тригоно
метрический полином				Т (х ) , что	будет	выполняться		неравенство
				ft*)	T W \|	<	5

- 3? -

В самом деле,				выражение			является при любом			IL
тригонометрическим полиномом. Теперь надо взять II достаточно боль
шим.
Метод "Пика",			который использовался					при доказательстве		теоре
мы Фейера, применяется и в других							(аналогичных)		вопросах. Например,
методам	вполне	аналогичным				методу,	с помощью которого доісазывалась
теорема	Фейера, можно доказать, что если							j- (х)	непрерывна на от
резке -1 ^		X	{	, то
			г . !			JUL	rit			(5)
						1+ll^-i'X)1-
					S.
Частные	утверждения			такого		типа оформляются в общую теорию так на
зываемых сингулярных				интегралов. Об этой				теории	см. книгу И,П. На
тансона	"Теория функций				вещественной переменной'.' M, 1957, гл.X.
	Л хочу,	наконец,			обратить внимание			Ваше на то, что интеграль
ная формула Коши в теории функций							комплексного		переменного имеет

тесную связь с "идеей пика".Интегральная формула Коаи утверадает,

что	если	-p(Z)	аналитическая			функция в односвяэной области $0
и на её границе, а				4L	внутреішяя точка области S>				, то
						і	-iL
Возьмём теперь			за	Ю	прямоугольную		область	с вершинами в точках
	II		і		tt	п1	J . : 1	-1 + i h.
где	II	натуральное число
					с		'.л	г = о	it
					с		'.л
Мы имеем при			~ i		Рис. 5
Мы имеем при			~ i	< Y < і
		Ä t	-;	?. - X		Я 1с J u-x-ijr		Sit) 1-х i it

- 38 -

					У»
ffTTTTT c		t			J„ ( i-x -, it			-i	-х-it	1 л г
Пусть И- —-	. Два	последних			интеграла при			этом	стремятся к		нулю
и мы имеем
I (к) - tun			/г.	/	—	f(o)d.6'
I (к) - tun		-^-			—		——r
В обосновании	последнего		перехода				мы несколько поспешили, но				всё
это легко восстанавливается				и мы получаем формулу					(5),	правда	для
аналитических	на отрезке		[-1,		1]		функций		.

§ 7. Применение теоремы Харли

Мы занимались суммированием рядов Фурье методом средних ариф метических. В одну из прошлых лекций мы доказывали теорему ХардиЛандау, которая утверждает, что при определённых условиях из сум мируемости ряда методом средних арифметических следует его сходи мость в обычном смысле. Мы вспомним теорему Харди в более слабом варианте, именно вспомним теорему Харда (без Ландау).

Теорема. Если ряд

суммируем методом средних арифметических к сумме LI и если для его членов возможна оценка

то ряд сходится и в обычном смысле к сумме CL .

Теоремой Харди мы воспользуемся для того, чтобы из теоремы Фейера вывести утверждения, относящиеся к сходимости ряда Фурье в обычном смысле. Именно, мы докажем сейчас следующее утверждение:

Теорема.Задана непрерывная фуішция ограниченной вариации

Дх) . Выпишем ряд	Фурье этой функции
X +	(аШ і1 + Ьп Ш ь >и)-	(2)

Ряд Фурье (2) сходится при .любом значении X к сумме ^(Х) Доказательство. Тіозьмо'?л какое-либо числовое значение X и

подставим его в ряд (2), мы получим числовой ряд. Согласно теореме - 39 -

Фейѳра, этот	ряд суммируется методом средних арифметических к сум
ме £(х) ,	Но мы уже обращали внимание на то, что для функции ог
раниченной	вариации

а л СМ /IX + 6п Uli ИХ = 0(ж)

Следовательно, по теореме Харда ряд (2) сходится к сумме Теорема доказана.

Я буду удовлетворена, если этим разделом своего курса спо собствовала повторению Вами темы "Ряды flty-рье", впрочем, должна заметить, что некоторых приіпшпиальных вопросов теории рядов Зурье, как например, принципа локализации, равенства Парсеваля я не касалась.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 154 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ