Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Постникова Л.П. Тауберова теория с приложениями к аналитической теории чисел учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 157 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

L--1	\	I	k*C
Сопоставляя	(16) и (17), получаем, что при больших

Z	№№'«->"•'			ію,
К-С
что и составляет предмет желаний.
Рассуждение, которое		мы провели это типичное			рассуждение
"на пальцах". В теории вероятностей				есть средства оформить эти
рассуждения "на пальцах" в строгое				рассуждение. В выражении
Д	& „к. к			. іг-и
У	(к-а*)	Сл	X	(1-Х)
и.
(формула (4) ) мы усматриваем			дисперсию величины		, а в лем

ме 2 неравенство Чебышева ("закон больших чисел"). Введём выра жение

Н-п {Uj есть функция распределения. Из неравенства Чебышева следует, что при iІ * X

tun	ÏJil)	= H IL}-	\	'	'	(ig)
		'	[ i	,	iL >X
•^{iij - так называемая вырожденная функция				распределения. Стан

дартным средством теории вероятностей является так называемая те

орема Хелли (см. Б.В.Гнеденко "Курс теории						вероятностей" 1954,
стр.232)		утверждающая,		что если	последовательность			Фп(Х!
функций		распределения		сходится	в основном к функции			ф(х) (схо
димость в основном это сходимость в каждой						точке	непрерывности
и	fix)	непрерывная		функция	на l ( L , h]	, г д е	Cl	и Ь точ
ки	непрерывности		^	Іж\ , то
			è	'	&

Um ( !<*)<£ Фп(х)-ЦМаіФ(х).		(20)
ci	CL

- 61 -

при а -	о , & =- 1			,	фл (х) = $л ix) и	Фм--•НО
(формулы	(18)	и	(19)	из	(20) получаем
	Uni	У	НѢІСаХЪ-Х^^ІМ			( И )

Ш изложили доказательство С.Н.Берпштейна теоремы Вейерштрасса на языке теории вероятностей.

В различных областях математики применяются соображения, основанные на интуиции теории вероятностей и оформленные в тер минах теории вероятностей. Так возникают такие направления,как вероятностная теория чисел (см. книги М.Кац "Статистическая не зависимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел" М,І963, А.Г.Постников "Введение в аналитическую теорию чисел" M,1971, И.П.Кубилюс "Вероятностные метода в теории чисел" Вильнюс,1962), •вероятностная теория дифференциальных уравнений (см. книги М.Кац "Несколько вероятностных задач физики и математики" М.І967).

Мы виним, что доказательство						С.Н.Берпштейна цервой				теоремы Вейер
штрасса	относится,			если можно так			выразиться,		к вероятностному
анализу.
	§	4.		Тауберова		теорема		Литтлвуда
Теорему		Вейерштрасса				мы будем		использовать		как	средство
для установления			тауберовых			теорем.
В качестве				обратной	теоремы к			теореме	Абеля	мы приводили
теорему	Таубера,		которая утверждает,					что если	для	степенного ря
да						е-о		^
				{ ( У ) = >; а л х							( І )
					/1	= с
с единичным радиусом сходимости существует предел
				tim	f(x)		=	а			(2)
и выполняется дополнительное						условие
то ряд
				Ул	Сіп						(4)
				п = 0	Cl
сходится и его		сумма равна			Cl
				Доказательство				теоремы	Таубера		не пред
ставляет	серьёзных трудностей ѵ Литтльвуд показал,									что	теорема
					— 62 —

остаётся в силе, если условие	(3) ослабить,	именно заменить	его
на
а,ь=0Ш.		<5)
Таким образом, для того, чтобы	заключить о	сходимости ряда	из

его суммируемости методом Абеля треубется точно тот же допол нительный постулат, какой фигурирует в теореме Харди о сходи мости ряда при условии его суммируемости методом средних ариф метических.

Как увидим, доказательство усилинения Литтлвуда тре бует значительно более искусные рассуждения, чем доказательство теоремы Таубера.

Мы будем доказывать утверждение более широкое, чем теорема Литтльвуда, а именно мы установим еледующий результат.

Теорема. Пусть коэффициенты ряда

ІМ

= F,

< Ѵ \

( i )

сходящегося при I У I < i

h-c

суть

вещественные числа

существует

постоянная

С .>(?

такая,

что

при

Гі

= 1,2, . . .

а*

< £

•

es •

Пусть

при

V — 1 - С существует

(Vi

а„

у/ѵ

> '

(2)

Тогда

ряд

i-c

Т. °-п

(4)

сходится и

сумма

его

равна

Cl .

Тот же самый результат справедлив, если условие

(5 ' )

за

мешть

на

условие

Л «

>-$.•

" )

Мы изложим

простое

доказательство этой

теоремы

данное

Вилаядом. Будем предполагать,

что

выполнено условие

),если

выполнено условие

(5 " ) , то рассуждение нужно провести

с рядом

.для коэффициентов

которого

выполнено

условие

) .

Введём некоторые упрощения, которые, однако, не уменьшат

общность. Теорему

можно доказывать для случая

Cl = О

в самом

деле,

мы имеем

- 63

Um. (clc	- CL i- j>] c'L,lXa	) = Of
	•>i>

причём для ряда, стоящего в левой части, выполнены ограничения доказывавши теоремы. Коль скоро для этого случая доказана теоре ма, т . е .

а,

- a

> ;

а п

о,

_ г

ап

= а .

Лалее,

при сохранении

требования

О. -

мы можем добиться того,

1'тооы

Сі0-і\

в самом деле,

рассмотрим

препарированный ряд

(сіс

+•

tït

) X V У\а,ххп

( I '

)

Сосчитаем предел ряда

( I

) ,

когда

1-0

кпь

I іас

ajx

+ £

Ci,Lxrl) -

- и m

{acx

fix))c.

-X-*L-C

Для коэффициентов

степенного

ряда

( I

)

при

1,2, . . .

выполняется

оценка

Коль скоро для ряда ( I

)

выполнены условия

нашей

теоремы, то

или

n-S.

ап=0.

n-D

Наконец, при

сохранении

требований

сі

= СІс

= о

мы мокем добиться

того, чтобы

при

I , 2, . . .

Сігг

Это достигается делением

ряда

на

константу

из

условия ( 5 ' ) .

Предполагая наличие^упрощвюлщх

обстоятельств,

рассмотрим

множество (или семейство) J-

вещественнозначкых функций /7>)

определённых на полуотрезке (.0,1)

таких, что для

ішх

выполняют

ся два

условия:

aj(ta)

•

а) Ряд

J r

- 64 -

сходится при каждом Л , 0 й X <і £ ,

б )

ал{(**)

= 0.

X-+L-0

"=£

Условия теоремы указывают

на то, что функция /(х)

принад

лежит к семейству

$- • Легко видеть,

что наряду

некоторой

функцией

-ß(x)

семейство

Я-

должно

содержать и функцию /(Y ") .

Кроме того, к

S-

принадлежат

любые конечные линейные

комбина

ции с постоянными вещественными коэффициентами функций ив 3-

Поэтому к

принадлежат

все

многочлены от

X ,

не

содержащие

свободных членов.

Введём функцию

О ,

для

О ^Л^

j -

{ .

Для

JL.^X

Эта функция удовлетворяет условию а ) . В самом деле,

CK) jy

т.е. это конечная сумма, а конечная сумма' тривиальным обраэом есть сходящийся ряд.

Теорема будет доказана, если мы покажем, что функция f*(x) удовлетворяет условию б),ибо

	Lm.	S a . / V j = tum,		Z а л = 0 ,
.	X-Pl-0	л п	'	n^i
где	= [U2./ÙI		jr] .

Введём вспомогательную функцию

( i

Задано £ > 0 . Функцию /	(к)	мы можем заключить между двумя
непрерывными функциями	fi ( X)	и	fi	(х)
h (*)<f	fx)	< h	(X),	• ( 6 ) '

- 65 -

так что
								(7)
	Эти функции можно усмотреть на
	прилагаемом			графике. Возьмём
	/; > 0	достаточно				малым и				опре
	делим I	. J _ .			п	< X <			£
		1-Х		'					£
	j	Линейная			фушсция.возра-
	І / У І - -'стающая				от	- 2		до		і	,,
		при	j	é	л - jf r			?
	„А		'	Ü ^
	L	i	-	,	r , к			<			i . - , ,
		1-Х		'	L '	•*		- &			с
		Линейная			функция,					возрас-
Рис. 7	^ тающая от					-	;,т			до	2
Рис. 7		при		fr	Х&. i/ü
		при		fr	Х&. i/ü

Неравенство (6) очевидно, а неравенство (7) будет справедливо, если

взять г)	достаточно	малым.
Теперь применим теорему			Вейерштрасса. Мы можем найти такие
полиномы	1±*(х)	и	* )	• ч т о при С £\ < і

Полозам
f j x )	=	ix)	-	I
^ Г х )	^	^ £ (X)	+	f
это тоже полиномы.	№	видим,	что

- 66 -

далее ^

Обозначим			$i>ix)-fit*),
ул>;		=	$i>ix)-fit*),
мы имеем
f	f	(x)rfx		< £ .
Cl	'
Введём ещё полиномы
Pt (* ) = X i			(1-Х	) Cj'i{x)l

Это полиномы без свободного члена. Так как

то при	£	ь X £ L
Теперь
V	,-,	і */.. 11 Г"-

лI= 1r l "	. • > - . / '
ибо

(V - x n) = (l - x.)( ^ + x +	/
Пусть
Мы получаем
- в? -

(8)

u(L-x)ri.

Ê ааГ(хл)-Е					a/lPi(x'l)^(i-x)fxnZéKxnK=
n = i-		n = i			n = i	K = o
Поскольку
.-	Um..y	а,лРх(хл)		=	0,
X -» 1-0		n = i
ТО
TT		ji	-	i c«		c>o
X
4
последнее	в силу	(18).	Далее,
	х-* і-о		" = і.

и, повторяя аналогичные выкладки, получаеы

Ho £ сколь угодно мало. Значит,

	lùnv	£	aJ*(xV		=	0,
	x-,1-0	n=L	-	6В	-
г 550, как ШІ ввдели,
		доказывает		теорему.
Не доясь бить		назойливыми, еще раз повторим, что теорема
ІЕТтлвуда,	которую мы только что доказали,					есть обратная теорема
ко второй	теореме Доеля.

5. Накотоше

сведения о

r ^ - f l m i T f l l

грал

Рассмотрим при фиксированном

X ? О не собственный инте

оо

t-'e-'dt.

Это|

интеграл

сходящийся,

ибо в

окреотноотк

нуля шіееы

= 1+

0(і)

интеграл

fa*'L+o(t*))dt

при

X >

сходится,

на бесконечности же

сходимость

следуем

ив быстроты убывания функций

. Таким образом,

при лю

бом

X > О

определена

функция

Г Ix)

t*~

€

d t ,

( I )

которую называют

гамма-функцией.

чим

Пусть

X > і

произведём

интегрирование по частям, полу

-"о

Внвинтвграяьнні

член пропадает

и таким образом,

при X > £

Г(х)

=(Х-І)

Г ( Х - і ) .

(2)

Пусть /1 - натуральное

число. Повторное

применение

равенства

(2)

нам даёт

Но так как

"°

-t

то

Га)

J е "

=i,

•

Г » =(П-£)1,

( 3

)

Таким образом,

Г (х)

можно рассматривать как обобщение

факториа

ла.

Теорема. При

X > CÏ ,

Ц > О

П К ^ у )	-f		(4)
Доказательство.	Рассмотрим	сначала случай	X ? і , ^ > і
Из определения гамма функции ( I )		с помощью замены	переменной

і- і , I > С получаем

Заменяя	в	этой	формуле X	на X +	и одновременно ?		на
£ + і	1 оудем		иметь
			о		'о	с
Интеграл,		стоящий в правой		части	последней	формулы,можно	рас

сматривать как повторный. Нам нужно переменить порядок интегри рования. Но здесь нужно быть осторожным, беспечная перемена по рядка интегрирования в несобственном интеграле чревата ошибками. Мы должны иметь формальное основание для этой операции. Этим основанием является следующее утверждение математического анали за.

Лемма.	Пусть функция	при I	? Сі- ,	? С
непрерывна и	неотрицательна.	Предположим, что	интеграл

есть	непрерывная функция			от	\Ѵ	,	а	интеграл
			с
есть	непрерывная функция			от	2	.	Тогда,		если	существует один
из интегралов
	с	a			à			с
то существует			р другой интеграл,			причём
		cl w	f f(i, w) d i		r (	и i[		/	( z, w"J	dw
		с	a		CL			с
		Доказательство этого			утверждения				можно найти в учебітке

Г.M. Фихтенгольца "Курс дифференциального и интегрального исчис ления", 1966,т . II, стр.7Г6.

- 70 -

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 157 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ