книги из ГПНТБ / Постникова Л.П. Тауберова теория с приложениями к аналитической теории чисел учеб. пособие
.pdfДругой "метрической характеристикой" последовательности ( I ) является логарифмическая плотность. Нижняя логарифмическая плот ность последовательности ( I ) определяется по формуле
£ = Ікіз- з — - J E а,
соответственно верхняя логарифмическая плотность определяется ра венством
если S - _5" , т . е . существует предел
tun. -у—р |
|
|
тг. |
|
|
|
|
то будем говорить, |
что последовательность |
( I ) |
обладает логарифми |
||||
ческой плотностью и она равна |
S . |
|
|
|
|
||
Заметим, что если последовательность ( I ) обладает асимпто |
|||||||
тической плотностью |
равной, |
скажем, |
£ , |
то |
она |
будет обладать |
|
и логарифмической плотностью |
равной |
также |
S |
, |
В самом деле, по |
||
УСЛОВИЮ При X —»• Ост |
|
|
|
|
|
|
|
^ |
I = S* |
-*• |
<>(*). |
|
|
|
|
Теперь мы проводим |
такую выкладку |
, |
|
|
|
||
ta J- £ |
х- |
VitA'J vfri Ж{ |
V |
Итак,
«I -
Обратное утверждение не всегда верно. Пример последователь ности, обладающей логарифмической плотностью, но не обладающей асимп тотической плотностью,можно найти на стр. 190 книги А.Г.Постникова
"Введение в аналитическую теорию чисел", |
М.Д97І. |
|
|
|
|
Нашей целью является доказательство |
следующей |
теоремы, |
пред |
||
ложенной Дэвѳнпортом и Эрдёшом (см. Da.ren.peit |
П., |
&гси?і- |
Р |
||
On іе^иеаш |
<?f pc-Ut<-Vt intege-u |
, |
ûcta |
|
|
Теорема. Если верхняя логарифмическая плотность последова тельности (I ) положительна_
S > С)
то в последовательности (I ) можно найти подпоследовательность
такую,что
Доказательство будет опираться на ряд промежуточных пред ложений (лемм).
Для данной последовательности (I ) определим число
i |
. |
j |
. . |
v |
J - |
. s 1 |
—L |
|
где Cö-, 6,C,...J |
обозначает |
общее |
наименьшее кратное |
чисел |
||||
&t Ь, Cj , .. |
. Очевидно, |
что <kç |
есть |
плотность |
тех чисел, |
|||
которые делятся |
на |
|
Ci (.і |
, но не делятся ни на одно из чисел |
||||
Отсюда следует, что
? С.
Очевидно, п .
ѳсть асимптотическая плотность чиоѳл, делящихся по меньшей мере
на одно из чисел , . . . , Ят • Таким образом, при любом 171 m
Из этого неравенства следует, что ряд
сходится. |
Обозначим сумму этого |
ряда |
через |
& |
. Очевидно, |
С < d |
^ і . Положим далее |
для |
^ = |
1,2, . . . |
|
1 " ' |
а І |
fa Iм- |
[Cif |
' ^ J Д |
^ У |
La*>aha*ï |
так что |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ài |
= Л) |
(-0- |
|
|
Рассмотрим |
при 6 •> 1 произведение |
% (4) |
iÂ(> (і), где |
|||
)Ç (і) |
дзета |
функция |
Римана |
|
|
|
Г о
і
i
обозначим
где
|
|
^ |
, ^ |
= J |
|
12 |
|
|
|
(-i) |
|
|
|
(2) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если M. не делится |
на |
Cl ^ , |
то |
сумма, |
стоящая в |
правой |
части |
|||||||||
формулы |
(2), пустая, |
С- у |
(п) |
= С |
. Если |
'1 |
делится на &у |
и не |
||||||||
делится |
ни |
на одно |
CLJ. , |
± |
^ |
J |
|
, |
то |
в |
сумме |
(2) |
есть |
|||
один член : ('.=£) и |
|
|
/ j . (л ; = -/. |
Если |
ц |
делится |
на Cl |
, и ещё |
||||||||
на какие-то |
р |
чисел |
l l ± , . . . |
, |
(L |
j„ |
, |
то |
|
|
|
|
|
|||
|
|
і |
,І fVM = '.- |
^ |
|
|
|
K - i j |
|
= |
0. |
|
||||
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
, , |
|
|
|
|
|
|
- 93 ~
где
р |
, . |
1^)11 |
кратно |
но не |
кратно |
•••Jü-i>-i |
(3) |
|
' ' I 1 |
|
|_ С |
в о с т а л ь н ы х |
случаях. |
|
|
|
|
|
Для данной |
последовательности |
(I) |
обозначим через |
|
|||
|
|
|
ь і 7 L,--J*, |
••• |
_ |
|
( 4 ) |
|
последовательность натуральных чисел кратных хотя бы одному из чи сел O'i последовательности ( I ) . Очевидно, что последовательность
(4) включает в себя последовательность (I) в качестве подпоследо вательности. Последовательность (4) назовём последовательностью кратных исходной последовательности ( I ) . Последовательность (4) будем изучать аналитическим методом, именно введём ряд Дирихле
>і=1 <<•
где
9(п
Мы,очевидно, имеем (при |
6^1) |
где положено
AU) = z : ÂJi).
Для дальнейшего нам важно иметь некоторый запас сведений о дзета функции Римана. Как известно, из теории чисел при à ^і. 'змѳет место тождество
- 94 «
_ п |
i |
' 1 =1
?
p l . pi
где произведение в правой части распространено по всем простым числам. Из этого тождества с помощью формальных преобразований получаем
|
|
|
in |
ZU) |
= |
|
|
|
|
|
|
і т ) |
|
|
|
||
|
|
|
|
^ |
|
|
|
V |
|
l-4z |
pi |
|
^ |
|
A |
P* P* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r> |
|
|
||
|
|
|
|
A |
(n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
„ А - |
i |
/г * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Л - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
/\-lfl) |
так |
называемая функция |
Мангольдта |
|
|
|
|
|||||||||
|
\ ( П ) ~ |
\^'П'Р |
' |
/ z -= /° * |
п Р ° с |
т о е |
У9 |
; |
|
|
|
||||||
|
^ |
|
|
/ |
^ |
. |
в |
противоположном |
случае. |
||||||||
Из |
равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
n-.l |
|
|
|
|
|
' |
|
. 4 . |
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
сравнивая коэффициенты, находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
^ |
Л |
= |
Z |
|
Л |
/ |
f |
j |
|
|
|
|
(5) |
|
Лемма I . При любом |
|
|
и |
|
І! |
< |
|
Д$ |
|
|
|
|||||
|
Док^з^е.льство. |
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
<Су/г) |
|
- |
\->/г |
|
кратно, |
хотя |
бы одному |
из <я'/_,„,., Cln ) |
||||||||
|
h! ' |
|
~ |
j С |
|
в |
противоположном |
случае |
|
|
|
||||||
и |
определим функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
95 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
/л _ V 1 |
Ѳт(і)_ |
|
Имеем |
|
|
|
|
m |
|
|
Для всех |
натуральных |
il- |
|
||
|
|
|
|
|
|
(6) |
й |
самом деле, |
если |
|
|
ТО И Си (Ii) = £ |
|
|
|
|
|
|
|
для всех делите |
лей |
CL |
числа |
ti ; |
если |
ѲІпіп)-1}то |
|
Из неравенства |
( 6 ) мы получаем, |
что для 5 >1 |
||||
|
1Z. |
9тіп)Іпп. |
^ |
~ |
^ѲтША[%) |
|
|
tTL |
|
|
п=І |
|
|
|
|
|
T."! |
|
• V 4 / Z_j / i I |
|
или |
|
|
|
|
|
|
Но так как
/ Ab
то(при l^x i |
df |
Отсюда следует, |
что функция |
следовательно, |
функция |
|
m |
ùb (ZI Л„М) |
нв»#«р*стающая, а |
ѵ _ 1 |
|
Z лѵ(б)
тоже невозрастающая. Лемма доказана.
- 96 -
Лемма 2. Когда 6 приближается к единице со стороны боль ших значений, то
Доказательство. Но лемме I мы имеем при і ? і и любомПі
Следовательно,
Но при любом |
|
à |
(л) |
- |
Z d |
, ( i |
) ^ Â . |
|
|
||
'il |
|
• |
fi |
|
,n. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
И значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лемма доказана. |
|
s -г"J |
|
|
|
|
|
||||
Для любой последовательности |
( I ) |
последовательность |
|||||||||
Лемма 3. |
|||||||||||
кратных (4) обладает логарифмической плотностью. |
|
||||||||||
Доказательство: ГА? имеем |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Il r i |
|
|
Ч |
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îij значит, при |
J |
-^- |
i |
|
|
|
|
|
|
||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>.i(i)- |
— |
Л |
|
п р |
в |
|
и |
Г |
^ ѵ |
б п р и ^ і |
|
ТО |
|
|
|
/7 " ' ^ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
- 97 -
и значит, при |
J |
^£> |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
«к» |
|
0{п) |
|
|
|
|
Очевидно, |
@(п |
> О, по теореме |
Харда и Іиттлвуда при X |
<х» |
||||||
иди, |
заменяя |
X = |
|
, получим |
|
|
|
|||
что и требуется |
доказать. |
|
|
|
|
|
||||
|
При доказательстве |
леммы 3 мы опирались на тауберову |
теоре |
|||||||
му Харда и Литтлвуда, |
Заметим,что позднее Дзвенпорт и Эрдёш пред |
|||||||||
ложили элементарное доказательство |
этого предложения: см. об этом |
|||||||||
в книге |
ЯаІееѵіШт. |
Я., |
HotА, Ж Т.} %^q-uenee.{ |
|
||||||
nrat.I, |
L9£Git |
Oxfoid, |
|
196б1,ре5*-*££ |
|
|||||
|
Докажем теперь |
теорему. |
Обозначим исходную последователь |
|||||||
ность ( I ) |
через |
С^С0 |
• соответственно |
последовательность |
||||||
(4) |
её кратных |
через |
УУС |
. Предположим, |
что последовательность |
|||||
( I ) |
такая, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы доказать наше утверждение,достаточно установить, что в существует тазсое число , что
- ГО
flu.
В самом деле, прилагая подобные рассуждения к последовательности
найдём такое û - i £ £ |
ч т о |
|
- 98 - |
|
|
-Fl? |
|
E |
|
T T |
> |
о. |
|
|
|
||
|
|
|
|
CL.- е Otji |
|
|
|
|
|
|
|||
Эту процедуру можно продолжать неограниченно, |
что |
нам и надо, что |
|||||||||||
бы оправдать |
утверждение |
теоремы. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Итак, нам надо обосновать только первый шаг алгоритма. В си |
||||||||||||
лу |
сходимости |
ряда |
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
можно выбрать такое |
большое 3 |
< |
что |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
И |
Ai |
<f. |
|
|
|
( 8 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Убедимся в том, что число - & { 0 |
для которого |
выполнена формула |
|||||||||||
(7) |
можно найти среди |
чисел |
CiL |
, СС^ , Cl5 |
, |
... |
, |
Сіг . |
|||||
В самом деле, |
если предположить |
обратное, |
а именно, |
что для любо |
|||||||||
го |
|
CLlL = О-і , а£, |
•••> а |
г |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
/ |
У |
-г-со |
in |
,.і |
сц«.У |
|
|
f • |
|
ч |
|
|
|
|
|
|
аіі |
|
|
|
|
|
|
||||
(здесь ііпъ |
можно |
эамеішть |
просто |
на и-лъ |
) t то |
|
|||||||
|
|
|
^ |
~ - |
И |
тт |
> |
І9) |
|
|
|
|
|
„{•-*•<•>> |
си Л' |
&J; |
Oi |
|
|
|
|
где |
Ь{ элементы |
последовательности |
(4) |
или |
последовательности |
|||||
(4) |
(сумма |
J>T ^ |
Ѵ' ) |
равна |
асимптотической |
плотности последо- |
||||
вательности |
чисел,делящихся хотя |
бы па одно из чисел Сі^ , |
,..,аг |
|||||||
и, следовательно, их логарифмической плотности. Теперь на основа нии леммы 3 мы заключаем, что правая часть формулы (9) равна
і - È і , , Z л* •
- 99 -
Неравенство S ^ <~ противоречит неравенству (8). Это про тиворечие показывает, что число CL-} для которого выполнено со отношение (7), можно найти среди чисел Сіх, „.. , G.L , Теорема доказана.
§ 10. Та^сіероаа теорема для рядов Стшітьеса
Adeлевы и тауберовы теоремы доказываются не только для степѳшшх рядов и радов Дирихле, но и для рядов иного типа, в частности, для рядов Стнлтьаса.
Рядом Ствлтьеса будем называть ряд вида
где |
Às, |
A j , |
. . . |
, |
Л t |
, |
. . . фиксированная последовательность |
||||||
|
|
|
|
CUA^A, |
|
-, |
• |
, |
— |
|
|
||
С |
, |
(!, |
|
|
СК |
, |
. . . фиксированная последовательность |
||||||
іійб^ііцяентов ряда ( I ) . Мы |
будем |
рассматривать |
ряды |
Ш |
при |
||||||||
паложкѵеХьншс |
значениях. Л |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Палее 'іедуюшая |
теорема |
является |
теоремой |
абелева |
типа для |
||||||
рядов |
Стжлтьеса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Тсррача |
I . |
Пусть ряд ( I ) саднится при Л |
•'' 0 |
и пусть |
|||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ànv |
|
/ Г |
S (А) |
= я . |
|
|
О) |
||
|
доказательство; Обозначим |
|
|
|
|
* |
|||||||
|
|
|
|
J k x ) |
: |
I |
G . |
|
|
|
(4) |
||
Расшифруем смысл выражения |
|
л ^ х |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
( ^ |
Л |
|
|
|
|
|
изенвдно, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||
- 100 -