книги из ГПНТБ / Постникова Л.П. Тауберова теория с приложениями к аналитической теории чисел учеб. пособие
.pdf
|
|
Целью этого параграфа является доказательство |
следующих |
||||||||||||||||||
двух |
теорем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Теорема 3. |
Пусть |
S |
достоверное |
непериодическое |
рекур |
||||||||||||||
рентное |
событие. |
|
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
если |
ряд |
"ZI |
If- |
|
расходится, |
||||||
при |
II -* о=> |
|
|
|
Un-?- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Доказательство. Условие, |
что |
6 |
достоверно, |
модно |
выра |
||||||||||||||
зить так: общий наибольший делитель тех индексов |
j . |
|
, для |
кото |
|||||||||||||||||
рых |
-fj^ > |
0 |
, |
равен |
I . Условие, что |
событие |
|
é |
достоверно,оз |
||||||||||||
начает |
(по |
|
определении), что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Числа |
lin |
и |
числа |
/п. |
|
^связаны |
при |
il -? 1 соотношением |
|
|
|||||||||||
(JC=C |
|
|
ü L |
- |
t ) . |
Применяя |
тауберову |
теорему |
о |
свёртках, полу |
|||||||||||
чаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Un-* |
? . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что и требуется доказать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Теорема 4. |
Пусть |
С |
достоверное |
рекуррентное |
периодичес |
||||||||||||||
кое событие, период которого равен |
2 |
(Я |
>• і) |
. Пусть |
ß |
о з |
|||||||||||||||
начает |
ту |
же величину, |
что в |
теореме |
3. При |
и. |
<~-° |
|
|
|
|
||||||||||
|
К |
|
|
и |
* г л ? ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
если |
не |
делится |
на |
Д |
, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
tU |
= с . |
|
|
|
|
|
|
|
ß . |
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство: Так как |
£ |
имеет |
период |
, |
то |
в |
ряд |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
входят. только |
степени |
|
\ ^ |
. Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
J~i (і) |
является степенным рядом с |
неотрицательными |
коэффициента |
||||||||||||||||||
ми, причём |
общий |
наибольший делитель |
номеров |
положительных коэф- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
І4Г |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фициентов в ряде |
равен 1. Очевидно, |
В силу теоремы 3 коэффициенты ряда
і
стремятся к нулю, если ряд
|
|
|
|
|
|
|
|
=і |
|
s |
|
l-i |
|
|
' |
|
|
|
|
|
расходится, |
и |
стремится |
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
ряд |
J-Г.' |
j- fj. |
сходится. Но коэффициент |
при |
|
1 ' |
в |
21х(-і) |
|||||||||||
равен |
коэффициенту |
при |
4Л |
в |
іі(-і) |
, |
что |
и доказывает |
тео |
|||||||||||
рему. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проиллюстрируем теоремы |
на примерах. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
I . |
В задаче |
о |
колебаниях |
слабохарактерного |
человека |
мы име |
||||||||||||
ли достоверное |
периодическое |
событие |
с |
периодом 2. |
Так |
как |
|
|||||||||||||
'Jіг, |
|
|
то |
Р |
= Уй . Из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
- |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мы видим, |
что |
|
|
0, |
|
- |
нечётно; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
- |
четно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
значит. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tint |
Upk |
|
= i |
= & • - $ - ; |
|
|
|
|
|
||||
в согласии с теоремой 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2. |
Рассмотрим испытания Бернулли.в |
которых |
вероятность |
|||||||||||||||
успеха равна |
|
р |
(а |
вероятность неуспеха |
равна |
Cj- ) . Событие |
||||||||||||||
â |
-появление серии успехов |
длины |
2 |
|
. Пусть |
|
^п. |
означает |
||||||||||||
вероятность |
наступления |
события |
S |
на |
|
II |
-ом испытании, |
— |
||||||||||||
вероятность |
того, |
что первая |
серия |
успехов |
.длины |
t |
появится при |
|||||||||||||
/1 |
-ом испытании. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Поскольку |
Д ? С . то |
£ |
непериодическое |
|
рекуррентное |
|||||||||||||
событие. По определению |
Uc |
- 1 . |
Очевидно, |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
142 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tlL |
-iL£ - |
• •• - |
iL2-L |
~ 0- |
(4) |
|
||||
Вероятность |
того, что |
2 |
испытаний |
с |
номерами |
|
|
||||||
|
|
|
П-г |
+ і, |
П- |
2 + £; |
•'• , |
гг-і, |
П- |
|
|||
приведут |
каждое |
к успеху^равна |
. В этом |
случае событие |
8 |
||||||||
произойдёт |
при одном из этих |
2 |
испытаниях. Может случаться, что |
||||||||||
событие |
à |
произойдёт |
на (fi - |
-ом шаге |
( к. |
= 0 , 1 , . . . , 2-1), а |
|||||||
последующие |
К событий будут успехами, вероятность такой ситуа |
||||||||||||
ции равна |
|
Un-а |
РК |
• Поскольку |
эти |
2 |
случаев составляют |
пол |
|||||
ную группу |
несовместимых подсобытий |
события, состоящего в появле |
|||||||||||
нии успехов |
в |
11-1+і |
|
-ом, |
п |
+ £-?• |
-ом; |
п-і -ом, |
|
П.-ом испытаниях, то
|
Un |
+ |
+-+U-n-z*iP3'i |
= F*- |
(5) |
|
|
Умножим |
равенство |
(5) на і "~ и просуммируем |
>1 =1, |
ï+i, |
1+2,... |
||
Учитывая |
(4) и что |
іі0 = I , получим слева |
|
|
|
|
|
( îL (І ) - |
І ) ( ' l i р і+ р У V • • • + р * ' 1 І |
2 • 1 ) |
, |
|
|||
а справа |
|
|
|
|
|
|
|
Суммируя эти две геометрические прогрессии, |
получим |
|
|
откуда
і |
-3 |
+ Ъ р * і г г і |
|
(6) |
им* |
(±-і)(І-рг1*) |
' |
|
|
|
|
|||
В силу (2) |
|
|
|
|
Q$(i) = |
|
Р---І |
. |
. (?) |
i |
- y |
p-s +• |
•••+/?г'хіг'1) |
Непосредственной |
выкладаой можно убедиться в том, что величина |
'T'(l) конечна |
' Г / • ) - 1 ~ І: г |
|
t |
|
- 143 - |
Таким образом, |
по |
теореме 3 |
|
|
|
||
|
3. Задача о |
возвращении к началу в испытаниях |
Бернуллк. |
||||
Пусть |
вероятность |
успеха в испытаниях Бернулли равна |
р |
, вероят |
|||
ность |
неуспеха |
^ = £ -р |
. Наступление события |
£ |
на И -ом ша |
||
ге означает, что число |
успехов в К -испытаниях |
равно |
числу не |
успехов. Это рекуррентное событие может происходить лишь на ша
гах |
с чётными |
номерами. Далее, так как |
.Д |
> О > то |
перод |
этого |
|||
события равен |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
И. |
= 2 Ii . Осуществление |
события £ |
|
на |
к |
-ом ша |
|
ге |
означает, |
что в |
П. испытаниях произошёл |
успех, |
а |
в |
Л |
испы |
таниях произошёл неуспех. Как известно, из курса теории вероят
ностей вероятность такого |
события |
равна |
« « |
- О |
Т 1 . |
По обобщённой формуле бинома заключаем отсюда, что
а по теореме I
|
|
,2Н Яі) ^ |
= 1 - \j |
L-hpcjA1'. |
|
|
|
Так как |
|
} Q |
, то при любом |
IV |
|
или, |
устремляя |
6 |
t ' 1 |
|
|
|
к единице |
|
|
||||
|
У |
|
|
|
|
|
* |
К1 |
|
|
|
=і-\р-а\. |
|
Таким образом, |
ряд |
|
|
1 |
f |
|
|
|
/ |
Z, |
hi= |
- і-ір"Ч-і |
|
сходящийся. По теореме |
Абеля |
|
|
y с о
- 144
Мы видим, |
что |
при |
р р |
событие & |
недостоверное |
и |
вероят |
||
ность хотя бы одпого возвращения к началу |
равна / - і - |
jp |
- (j j |
||||||
Если |
P~ |
I |
> т° |
событие |
S |
достоверное. |
|
|
|
|
Рассмотрим |
случай |
p-ij1 |
~ |
|
|
|
Cd) - i -
Биноминальное разложение показывает, что
Эта формула - единственный нетривальннй пункт этого примера.
Имеем |
|
|
|
|
|
|
Г л . ) - |
^ |
„„в |
_ |
£і |
|
|
Зададим С < і |
< |
і |
. Можно |
найти |
такое |
IIС ( •< ) , что при |
12 |
|
2nfea4 |
|
|
|
|
и значит,при |
.Л-' •? |
J\!e(i) |
|
|
|
Внвду |
этого |
|
|
|
|
|
|
л |
• |
|
i |
|
: |
' — Г ' |
' It'll |
I .1 |
I '- |
Ho ' |
можно взять сколь угодно близким к единице. Таким образок, |
||||
ряд |
У' 9.4 j / x |
Р А О Х О ' И І Т С Я - |
РА; имрем |
Р ~ О и теорема 4 нам |
« • /
дяёт
il
что,шірочем, можно вывести и непосредственно из выражения для і(рп
- 145 -
J О Д E P i |
А H И Е |
ПРЕДИСЛОВИИ РЕДАКТОРА |
3 |
ОТ АВТОРА |
4 |
I.СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ МЕТОДОМ СРЕДНИХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ |
§ |
I . Дѳмма о пределе среднего арифметического |
t . . |
5 |
||
S |
2. |
Теорема Me pce pa |
|
|
8 |
§ |
3. Теорема Харда-Ландау о восстановлении сходимости. |
. . . |
13 |
||
§ |
4. Суммирование рядов методом средних арифметических. |
. . |
17 |
||
§ |
5. |
Сведения из теории рядов Фурье |
|
22 |
|
§ |
6. |
Суммирование радов Фурье методом средних арифметических..30 |
|||
у |
7. |
Применение теоремы Харда. |
|
|
39 |
|
|
I I . ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ТАУБЕРОШ ТЕОРЕШ ДЛЯ СТЕПЕННЫХ |
|
|
|
|
|
РОДОВ И РЯДОВ ДИРИХЛЕ |
|
|
|
•• |
I . Суммирование рядов методом Абеля |
|
41 |
||
§ |
2. |
Теорема Таубера |
|
|
40 |
S |
3. Теорема Вѳйерштрасса о приближении непрерывных функций...51 |
||||
§ |
4. |
Тауберова теорема Днттлвуда |
|
|
62 |
$ |
5. Некоторые сведения о гамма-функции |
|
69 |
||
I |
6. |
Степенные ряды и ряды Дирихле. |
|
77 |
|
4 |
7. |
Тауберова теорема Харда и Литтлвуда. . |
|
81 |
|
§ |
8. Задача об удвоений последовательности |
|
88 |
||
І |
Э. Последовательность кратных |
|
|
90 |
|
§ |
10.Тауберова теорема для рядов |
Стилтьеса |
|
100 |
|
|
|
ТІТ. ПРИМЕНЕНИЕ ТАУБЕРОШХ ТЕОРЕМ В ТЕОРИИ |
|
|
|
|
|
ВОССТАНОВЛЕНИЯ |
|
|
|
§ |
I . Сведения о преобразования Лапласа. |
|
112 |
||
§ |
2. |
06 одном функциональном уравнении. |
|
119 |
|
* |
3. |
ï-iyJepoBt seopeaa о свертках |
,. |
|
127 |
і |
4. |
йэкорректные события |
|
|
136 |
Л. П. ПОСТНИКОВА
ТАУВЕРОВА ТЕОРИЯ С ПРИЛОЖЕНИЯМИ 1С АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ ЧИСЕЛ |
|
|
Редактор |
Олисова |
В.Г. |
ЕА-01367 Подписано к |
печати |
17/У~73г. Зак. 242 |
Формат 60 X 84 1/15 |
Объеи 9,25 п . л . Тир. 500 |
|
Отпечатано |
на ротапринте КГУ |