книги из ГПНТБ / Киселев В.А. Расчет пластин

гs = —/-4 = V~ am—i YKi — a?„ = ßm — ym i.

Этот случай сводится к первому — см. (2.108) — (2.109).

Такой случай возможен для изотропной пластины без упругого основания, когда Нх = Ну = 0. Заменяющие функции были опре­ делены ранее, см. (2.176) — (2.179).

Все полученные функции для различных корней характеристи­ ческого уравнения, удовлетворяющие единичной матрице и имею­ щие производные по табл. 4, входящие в выражения (3.83) — {3.95), могут быть обозначены единообразно через F± (у), F2 (у),

F3 (у) и FA (у) и сведены в общую таблицу.

Если на пластину действует вибрационная нагрузка

q (х, у, t) = q (х, у) (A sin Qt + В cos Ѳ^),

то к дифференциальному уравнению (3.56) в левую его часть надо

приближенно присоединяемого основания на единицу площади,

111

учитывающей влияние основания на колебания пластин. Диф­ ференциальное уравнение без учета сил сопротивления будет

Здесь w (x, y, i) — прогиб пластины, изменяющийся во времени. Для установившихся колебаний положим

Это дифференциальное уравнение по форме совпадает с исход­ ным дифференциальным уравнением (3.56). Поэтому все ранее полученные результаты на основе уравнения (3.56) и все ранее рассмотренные случаи загружения в примерах изотропных пластин,, при соответствующей небольшой их обработке, применимы и для вибрационной нагрузки с заменой во всех выражениях сх на новое значение с* = сг — /п*Ѳ2 .

В заключение приведем краткие соображения о свободных коле­ баниях и устойчивости пластин. Частоты собственных колебанийпластин со, а равно и критические нагрузки Нх и Ну могут быть найдены из определителя уравнений, написанных для вычисления неизвестных начальных параметров, при отсутствии поперечных нагрузок, если его (определитель) приравнять нулю. Тогда частоту &

в аргументах различных функций (корни характеристического урав­ нения) будут искомыми величинами, в чем и состоит основная слож­ ность определения частот собственных колебаний со или крити­ ческих нагрузок Hх и Ну.

112

§ 21. Расчет прямоугольных пластин, по-разному опертых по всем четырем сторонам

Рассматриваются пластины, имеющие шарнирные опирания и заделки. Метод решения проследим на пластине с защем-

.ленной стороной х = 0 (рис. 54, а). Решение проводим по методу сил. За основную систему принимаем пластину, шарнирно опертую по всем сторонам (рис. 54, б). Неизвестные,опорные моменты по краю X — 0 раскладываем в ряд

Каноническое уравнение перемещений по освобожденному от за­

113

'y)

s)

текущее) и проинтегрируем от нуля до Ь:

114

Подставим в (3.107)

значительно сложнее рассмотренной. Можно расчет проводить и последовательно, приняв, например, пластину с одним защемлением в качестве основной системы для расчета пластины с двумя защем­ лениями, и применить далее, что было изложено здесь.

§ 22. Понятие о расчете пластин,

лежащих на упругом полупространстве

Просадка полупространства от сосредоточенной силы Р определяется по формуле (1.17)) (рис. 55, а):

у = т] в пределах пластины (рис. 55, б). Бесконечно малая сила на площадке d£,dr\ в этой точке будет

dP = г (g, r\)dldr\.

115

Бесконечно малое перемещение от нее в точке k основания с ко­ ординатами X и у

Полное перемещение точки k основания от всей неизвестной на­ грузки г(х, у)

Это перемещение основания должно быть равно прогибу пла­ стины, определяемому из дифференциального уравнения

В это уравнение также входит неизвестная реакция упругого основания.

Таким образом, расчет пластины, лежащей на упругом полу­ пространстве, сводится к совместному решению уравнений (3.110) и (3.111). Решение этих уравнений представляет значительные ма­ тематические трудности. С подробностями расчета читатель может ознакомиться в монографии М. И. Горбунова-Посадова [16].

Г л а в а 4

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ОРТОТРОПНЫХ И ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН, ЛЕЖАЩИХ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

СДВУМЯ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПОСТЕЛИ

§23. Метод Бубнова — Галеркина

Дифференциальное уравнение изгиба ортотропной пла­ стины на упругом основании с двумя коэффициентами постели в об­ щем случае при вибрационной или статической нагрузке запишем по '(3.101) в таком виде:

линейный оператор.

116

Будем искать приближенное решение уравнения (4.1) в виде

І= \

Произвольные функции этого ряда должны удовлетворять гео­ метрическим и статическим граничным условиям пластины, а коэф­ фициенты at подбираются по некоторым соображениям хорошего его приближения к действительно упругой поверхности до (х, у). Кроме того, функции фг (х, у) должны быть «похожими» на ожидае­ мую упругую поверхность пластины. Так, например, в симметрич­ ных случаях относительно двух или одной оси симметрии эти функции также должны быть соответственно симметричными. Иначе включаемая в общее выражение произвольной функции кососимметричная часть будет только искажать симметричную картину пере­ мещений, если соответствующие коэффициенты аг отличны от нуля.

При расчете симметричных пластин бывает удобно разложитьвнешнюю нагрузку на симметричные и кососимметричные состав­ ляющие и расчет пластины проводить на каждую из нагрузок в от­ дельности, назначая соответственно нагрузкам «похожие» функции.

В общем случае при двух осях симметрии нагрузка расклады­ вается на симметричную относительно двух осей, симметричную относительно одной (первой) и кососимметричную относительно второй оси, симметричную относительно второй и кососимметричную относительно первой и кососимметричную относительно двух осей.

Подставляя приближенное решение (4.3) в дифференциальное уравнение (4.1), получим левую часть ее, отличную от нуля, которая- и определяет ошибку решения

лп.

и составим интеграл по всей площади пластины, а результат при­ равняем нулю:

117

вообще, в качестве первого приближения задают всего одну функ­

как можно больше «похожа» на ожидаемую упругую поверхность пластины w (х, у ) , иначе результаты даже для первого приближения могут оказаться ненадежными.

Все приведенные ранее в этом параграфе выражения могут быть применены и для расчета изотропных пластин, если в них положить

Eh3

Di = D 2 = Ds = 1 2 ( 1 «) и оператор L = ѵ а Ѵа-

Покажем применение уравнения (4.18) на простом примере изот­ ропной шарнирно опертой по четырем сторонам пластины о равно-

'120