книги из ГПНТБ / Киселев В.А. Расчет пластин

Окончательно:

Рассекая теперь пластину плоскостью, параллельной плоскости YOZ, проходящей через точку і, и вновь повторив все рассуждения, приведенные ранее, будем иметь:

131

132

13-членное уравнение в конечных разностях в общем виде для рас­ чета ортотропных пластин на упругом основании с двумя коэф­ фициентами постели, пригодное как для статической, так и для

133

По этому уравнению составляется необходимое число уравнений для определения прогибов пластины в узловых точках нанесенной на нее сетки. По этим прогибам далее вычисляются изгибающие и крутящие моменты и поперечные силы. Составим для этого их выражения.

/) Изгибающие моменты по (3.21) — (3.27)

Применяем (4.45) и (4.50):

134

Приведенные поперечные силы Ѵхі и Ѵуі, согласно (3.35), (3.36), получаются из выражений (4.61) и (4.62) при замене

Интенсивность реакции упругого основания в точке і;.

Пластина линиями, параллельными ее краям, разделяется на пря­ моугольники размерами Хх и Ху (рис. 58). Для каждой точки сетки, где прогиб пластины wt неизвестен, должно быть составлено урав­

і надо знать перемещения во всех тринадцати точках (см. рис. 56). Из сказанного следует, что для расчета пластины надо знать не только перемещения точек сетки на пластине, т. е. внутри контура и на нем, но и перемещения некоторых точек за контуром пластины. Эти законтурные точки сетки должны иметь такие перемещения, чтобы на ближайшем крае пластины удовлетворялись граничные условия, на основе чего составляются дополнительные уравнения

для определения перемещений в законтурных точках.

Запись граничных условий позволяет дополнительные неизве­ стные — перемещения законтурных точек сетки — включить в об­ щую систему уравнений, а иногда, как, например, при шарнирном опирании края пластины и при заделке, выразить их сразу через перемещения ближайших внутриконтурных точек и таким образом

135

Привлечение прогибов законтурных точек есть по существу воображаемое продолжение пластины за ее пределы.

На основе изложенного (рис. 59) получаем:

1. Если край пластины шарнирно оперт или заделан, то прогибы пластины wt заведомо равны нулю и при записи уравне­ ний (4.56) для внутренних точек, лежащих на ближайшей к опертому краю параллельной прямой сетки, потребуются точки вне контура и тоже на одной линии, параллельной опертому контуру (светлые кружки).

то прогиб на нем неизвестен, и для написания уравнения (4.56) необходима еще одна законтурная точка сетки на пересечении бли­ жайших линий, параллельных свободным краям пластины (точка а).

4. Для определения реакций Ѵ Х І И Л И ѴУІ на опорах необходимы законтурные точки во втором ряду, параллельном опертому краю пластины (темные кружки).

5. Для определения реакций в закрепленных углах пластины необходимы точки сетки на пересечениях линий первых рядов за­ контурных точек (точки b), а при закреплениях угла с двух сторон— еще точки в первых рядах законтурной сетки на линиях продол­ жения опор (точки с).

Итак, для полного расчета пластины законтурная сетка должна состоять из двух рядов с каждой стороны и четырех точек на пере­

мещений в некоторых законтурных точках, записывают какиелибо дополнительные уравнения, связывающие эту точку с из­ вестными, на основе некоторых логических построений, как, на­ пример, или применением выражения (4.56), или путем экстрапо­ ляции. В последнем случае обычно применяют ряд Тейлора, выра­ женный или через центральные, или через односторонние разности.

136

Рассмотрим в качестве объекта рассуждений шарнирную опору, перпендикулярную оси х (рис; 60, а). Линию сетки k — m совмес­ тим с опорой. Прогибы:

Рис. 60

Для обращения изгибающих моментов Мх в нуль продолжим мысленно пластину за шарнирную опору и найдем перемещения заопорной части, удовлетворяющие поставленному условию. Бу­ дем считать опору осью симметрии. Изгибающие моменты Мх как симметричные внутренние усилия обратятся в нуль, если перемеще­ ния воображаемой заопорной части пластины будут кососимметричны относительно опоры. Поэтому законтурные точки сетки должны иметь перемещения:

137

Учитывая, что wa = isùt = wc = 0, получим wd - f % = 0. При этих условиях уравнение (4.56) будет тоже удовлетворено, если на опоре qt = 0. В иных случаях оно не удовлетворяется.^ тогда при вычислении поперечных сил и реакций на опорах следует

ожидать больших погрешностей.

Приближенно поперечная сила на опоре может быть определена как поперечная сила в ближайшей внутриконтурной точке, с добав­

2. Углы наклона касательной к упругой поверхности пластины по линии, перпендикулярной заделке, равны нулю, т. е.

- * L = 0.

дх

Обращаем мысленно заделку в шарнирную опору и продолжаем за нее пластину. Учитывая, что угол наклона касательной, т. е.

есть величина кососимметричная, которая обратится в нуль

при симметричных перемещениях заопорной части пластины отно­ сительно опоры, то:

При таких допущениях поперечная сила в сечении над опорой как кососимметричная внутренняя сила будет равна нулю. Приб­ лиженно поперечная сила на опоре может быть определена через поперечную силу ближайшей внутриконтурной точки с добавлением нагрузки между точкой и опорой, как это сказано выше.

Кроме допущений (4.69), в литературе [2, 3] перемещения пер­ вого ряда законтурных точек определяют по формуле (рис. 60)

wb = 3wd~wn,

а для второго ряда (для определения поперечных сил) [13] — и з уравнения (4.56), записываемого для контурных точек с перемеще­ ниями, равными нулю.

3.Свободный край (рис. 60, fl)

1.Изгибающий момент в плоскости, перпендикулярной

пренебрегать для простоты расчета сосредоточенно-полосовой реак-

138

цией упругого основания по свободному краю пластины, должна

Ч" ц

По (4.59) и (4.62):

1 • (—rom + 2wa—2wa - f + y

+ -ГГ [(Wa - 2®a + Wf) + ( — Щг + 2WC~WS)] = 0 . (4.73)

4.Свободный угол (рис. 61)

Вуравнение (4.56), записанное для угла, кроме угловой

точки wt входят еще перемещения 12 точек (рис. 61). Из них переме­ щения точек k, a, f, b и I входят в основные уравнения типа (4.56),

записанные для каждой из них. Перемещения точек е и g войдут в дополнительные уравнения граничных условий, записанных для точек а и b краев пластины. Остаются пока без уравнений (неопре­ деленными) перемещения пяти точек: n, d, h, с и т. Для свободного угла можно записать пять граничных условий:

139

+ Wj)—(wh—2wd +

+ we)} = 0; (4.77)

1

140