Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Киселев В.А. Расчет пластин

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 162 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

где сг — первый коэффициент постели в кгсісм?; с 2 — второй коэф фициент постели в кгс-см; w — перемещение (прогиб) срединной плоскости пластины.

Происхождение этих коэффициентов и их аналитические выра жения разными авторами объясняются различно.

Рассмотрим одно из них, представляя основание в виде упругого слоя конечной толщины Я, лежащего, в свою очередь; на абсолютно жестком основании (рис. 9). Попутно установим некоторые прибли женные связи между коэффициентами постели и механическими характеристиками упругого слоя.

Для этого вырежем из слоя бесконечно малый столбик основа

ния (рис. 10), приложив к нему сверху	давление	от	пластины
г (х, у), а по боковым граням, имеющим координаты х и у,			нормаль
ные а и касательные % напряжения.
Напряжения а и т на гранях, имеющих координаты (х + dx) и
(у + dy), показаны с учетом приращения	координат	граней.

Проведем приближенное исследование деформаций этого стол бика элементарными средствами основанное на следующих допу щениях:

1) вертикальное перемещение слоев столбика с ростом коорди

наты 2 убывает:
w0(x, у, z) = w(x, у)	,	(1.19)
где w (х, у) — вертикальное перемещение	верха столбика,	контак-

тнруемого с подошвой пластины, равное перемещению срединной плоскости пластины.

Функция f {ѵН — vz) — всякая	убывающая функция аргумента
ѵ (Я — z), обращающаяся при z =	Я в нуль. В ней ѵ — параметр,

определяющий быстроту затухания перемещений слоев пластины. Функция f (ѵН — vz) и ее параметр ѵ должны выбираться в соот

ветствии с физическими данными основания;

2)вертикальные грани при деформации остаются вертикальными,

т.е. столбик как бы находится в жесткой обойме, когда и = ѵ = 0,

значит б œ = е„ = 0, и

ах = а и = ^ - .

(1.20)

Запишем углы сдвига в основании:

.	, • dw0	,	У, 2)	s	=	dw0
УхгіХ,	У, 2) = -^;	Vvz(x,	У, 2)		=	-^-

Соответственно касательные напряжения:

у, 2 ) = ° о ^ ;

(1.21)

		.	.	n	dw0	(1.22)
						(1.22)
где G,	Eo	-модуль	сдвига	основания.
где G,		-модуль	сдвига	основания.

2 ( 1 * ц о )

Найдем продольную силу в сечении столбика на глубине г:

		Z	Z
Nz = r(x, y)dxdy—\xxzdydz			+ \ (xxz	+ ^dx^	dydz—
—\	x,/z	dx dz + 5 [ïyZ + ~		dy) dx dz
	о	о V	ОУ	I
или
Nz — r(x,	у) dx dy-\-\—^1		dx dy dz + \		dxdydz
		J dx		J dy

Соответственно	напряжения
		Nz	(X,
a	z =	— — =	(X,
		dxdy
Учитывая (1.21),		(1.22):

Деформация e2 на глубине z

y)+\' ^ d z	+ l ^ d z .
. dx	J dy
0	0

dz. (1.23)

d*2

Sr =	"ö z	цо ox	I г оCTw_		az	2ц5
	Eq					1—р.0
Учитывая (1.23),
_	az	_r(x,	у) .	Gp С fâ*w0		d2w0\	dz.
			^	E* J [	dx* ^	dy* )	dz.
			^	E* J [	dx* ^	dy* )

где

(1.24)

( l ^ | i o ) ( l - 2 | i o )

Укорочение бесконечно малого слоя столбика

Adz = ^dz--	Е*	Е* J	{ дх2 ду2 J	dz.
Е*

Полное укорочение столбика имеет вид:

Я	Я г	r(x,	у)	С J d2w0	d2w0
АЯ = J Adz		r(x,	у)	С J d2w0	d2w0	dz dz,
			Е* J V д# '		' ду2	dz dz,
			Е* J V д# '		' ду2
или
		Я	г z
r(x,	у) H ,	Go Г	Г	j а»ш„^ d g
	Е*	Е* J	J V дх2	ду2
		О Lo

Это укорочение должно быть равно перемещению (прогибу) срединной плоскости пластины:

	я
т{х, у)-.	г(х, у) H . Go С	dz.
	+ Е* , .) V d*2	ôr/2
	LO

Отсюда получаем давление пластины на основание или соответ ственно вертикальную (нормальную) реакцию на подошву плас тины

				я г z	dz. (1.25)
					dz. (1.25)
				О Lo
На основе (1.19)	получаем:
	а 2 ю 0	_	d2w	f(vH—vz) .
	дх2	~	дх2	' f (ѵН) '
	ä2w0		d2w	f(vH-vz)
Теперь	ду2		dy2	f(vH)
Теперь
			Я г	z
					dz.
			0 Lo
Окончательно
,	s			fd2w . d2w\	(1.26)
					(1.26)

где:

	С!= £ *: Я ;			(1.27)
Я	г	z
Co=GoC	СП-)		d z	(1.28)
- Я J	.	/(ѵЯ)

0 LO

Если для иллюстрации теоретического получения коэффициента постели с 2 в качестве первого приближения положить f (ѵЯ — —vz) = H — z, то

я г	z	G0 Я
с, = - Я	К ' Н И dz dz ••	G0 Я

Lo При f(yH~vz) = ( Я — z ) 2

с2 = Go Я

Кроме вертикальной реакции, нормальной к подошве пластины, будут приложены еще касательные реакции, равные по закону парности касательным напряжениям по верху столбика (рис. 11):

- = о

х - G —

Часто этими касательными напряжениями пренебрегают.

Обратим внимание на то, что в наших рассуждениях слой упру

гого основания	принимался с		постоянным	модулем	упругости
Е0 по глубине,	а	его перемещения до0 (х, у		z) — следующими
выражению (1.19),		причем лишь	для простоты	было принято, что
f (ѵН — vz) = H — z. Разумеется, возможны				и иные	допущения

относительно модуля упругости основания и относительно переме

щений,	которые не нарушат приведенные логические построения,
а лишь	их осложнят.

Отметим, что учет касательных напряжений в основании по этой модели наделяет его распределительными свойствами, какими обла дает основание по второй модели. Следовательно, основание дефор мируется и за пределами пластины.

Третью модель упругого основания можно считать обобщением первой модели путем введения второго коэффициента постели с2 . Таким образом, первая модель является частным случаем треть

ей, если	в третьей	модели	положить	с а =	0.
Особо	заметим,	что на	свободном	крае	пластины, благодаря

резкому изменению угла наклона касательной к деформированному основанию, возникает сосредоточенно-полосовая реакция R (рис. 12), вносящая, как увидим далее, вполне ощутимые осложнения в расчет пластин.

Иная трактовка связи между коэффициентами постели и меха ническими характеристиками материала слоя основания с примене нием других функций f(vH — vz) дана в работе [5], где можно полу чить и более подробные сведения по этому вопросу.

Поскольку при установлении связей между коэффициентами постели и механическими характеристиками основания принимают ся некоторые допущения, то получаемые числовые значения коэф фициентов постели должны контролироваться опытом.

Г л а в а 2

РАСЧЕТ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН

§ 4. Цилиндрический изгиб пластины

Рассмотрим прямоугольную, весьма длинную по оси у пластину со свободными краями, перпендикулярными этой оси, при любых закреплениях остальных двух сторон, ей параллельных (рис. 13). Нагрузку на пластину будем принимать не зависящей от координаты у. При таких условиях прогибы пластины также не будут зависеть от координаты у и срединная плоскость в деформи рованном состоянии будет представлять собой цилиндрическую по верхность. Поэтому такой изгиб и называется цилиндрическим.

При большой длине пластины по оси у можно положить гу = 0.

Тогда по (1.10) -дтд- =	0, а	dx2 -
ö(/2	" d*2	dx2 -
Напряжения ах и	по (1.12),	(1.13)	будут:
	Ez	d^w		(2.1)
	1 — [X2 dx2			(2.1)
	1 — [X2 dx2
	Ez •	d'lw		(2.2)
	öl 1	•Т7 =	Рах-	(2.2)
	1 — a2	dx-

Обозначим через Мх изгибающий момент на площадке с нор малью, параллельной оси х, приходящийся на единицу длины пластины по оси у (размерность момента в кгс-смісм) (рис. 14).

йMy

Рис. 13

Рис. 14

Зависимость между изгибающим моментом Мх и напряжениями стж при нейтральном слое посередине высоты пластины будет

	ft/2
Mxdy=	^ СГ;,. dz Л/z.
	- Л / 2

С учетом (2.1) она получит вид

			d*w	Л/!2	s-		Eh*
^		Е	d*w	С л	s-	dz	Eh*
^	= — ^ 4 - ^			j "	г2	dz	12(1 — ц 2	)
	х ~	1—р,а	"dxa	J "	"		12(1 — ц 2	)
Окончательно				—ft/2
Окончательно				d2t£)
				d2t£)
			— —D—		кгс-см/см,
			*	dx2

d*w

dx2

. •		(2.3)
. •	v	'

	где
	D = Eh?\		12(1— ц2 ) = £ / : ( 1 — ц2 ) кгс-см2/см.								(2.4)
	Введенная	величина			D	называется			цилиндрической		жест
	костью пластины при			изгибе.
	Уравнение (2.3) подобно дифференциальному уравнению упру
	гой линии балок. Поскольку D >							EJ, то прогибы пластины			будут
	меньше прогибов балки-полоски							единичной		ширины, выделен
	ной из пластины плоскостями, перпендикулярными оси у.
	Для исключения из уравнения (2.3) неизвестного изгибающего
	момента дифференцируем по х дважды:
		—-f=			— D — = q (х) + r {х).
			dx2			dx*
	Для пластины на упругом основании								с двумя коэффициентами
постели с учетом (1.26)					получим
		^	+	^ Ш _ ^ . ^ = _ 1 1 £ ) .							(2.5)
		dx*		D		D		dx1	D
	Это уравнение аналогично дифференциальному уравнению бал
ки на упругом основании с двумя коэффициентами постели.
	Из выражений (2.1)			и	(2.3)	следует
						мх
						J
с	Это значит, что напряжения ах							в пластине будут одинаковыми
с	напряжениями в		балке-полоске,					выделенной		из пластины. Но
в	пластине есть	еще	напряжения				(2.2):
					оу	=	цвх.

§ 5. Чистый изгиб пластины

Чистым изгибом пластины в окрестности данной точки срединной плоскости называется деформация, вызываемая изгибаю щими моментами в сечениях, перпендикулярных осям х и у (рис. 14), когда в этих сечениях нет других заменяющих (внутрен них) усилий. В этом случае, согласно (1.12), (1.13), будем иметь:

Мх	Обозначим		далее через:
Мх	— изгибающий момент на площадке, где нормаль									параллельна
оси	X, приходящийся на				единицу длины			пластины		по оси у , в
кгссм/см; Мѵ			— изгибающий			момент на		площадке,		где нормаль
параллельна оси у , приходящийся							на единицу длины пластины по
оси X, в кгс-см/см.
	Тогда	можем		записать:
			Il		А.
			2		2
	Л4..ау=		{	ovdzduz	=	[	( —		- f - u —	\dzdy;
			h_		Ji_
	• Mvdx	=	\	audzdxz=	I		^ - t ^	+	p^dzdx.
			2		2
Окончательно				с учетом (2.4):
										( 2 ' 8 )

* . + «

—

(2.10)

Выражениями (2.8) — (2.10) устанавливается связь между изги бающими моментами и прогибами пластины.

§ 6. Кручение пластины

Чистым кручением пластины в окрестности данной точки срединной плоскости называется деформация, вызываемая крутя щими моментами в сечениях, перпендикулярных осям х и у (рис. 15), когда в этих сечениях нет других заменяющих (внутренних) сил.

Касательные напряжения по (1.14)

Ez	d2w	I	( 2 Л 1 )
= - — • — •
14- (X	дхду

Обозначим здесь:

іпх — крутящий момент на площадке с нормалью, параллельной оси X, приходящийся на единицу длины, в кгс-см/см; ту—крутя щий момент на площадке с нормалью, параллельной оси у , прихо

дящийся на единицу	длины, в кгс-см/см. В соответствии с этим
можем записать	_
	foc. пуЗличкаяТГ

ЭКЗЕМПЛЯР

т. -.аУ = \	vxvdzdyz=	\	——f-.p^-dzdy*.
Jfc	u	Jft	дхду

ami 0*

rix

Рис. 16

После	интегрирования	получим
	Eh3	ff*w		=
	12(1 фц.)		охо</
Также	получим, что
	ту = тх=—		D{\—

§ 7. Общий случай изгиба

- D ( l - \| x )	(2.12)
	дхду
jx)	(2.13)
дхду

пластины

Рассмотрим равновесие бесконечно малого элемента пла стины (рис. 16).

	1.	%Z =		-Qxdy+(Qx+dj?dxyy-
	- Q „	+ (Qv +	j j	dy) d z ~ Ü	+ 0 d x =
После	упрощений	получим
		a<2*	dQu		(2.14)
		дх	ду		(2.14)
		дх	ду
*	Момент от касательных		напряжений тхг		относительно нормали в цент
ре тяжести площадки dyh высшего				порядка малости.

2. 2 A ï ï =	— Mvdx+	\My + -^dy\	dx— mxdy+
+ [mx +	f dx) dy+	(Qx-Qx-fxdx)	f -

	/	dQ,, \				du
—lQy+-^dy\dxdy				+ (q + r)dxdy—		= 0.
Упрощая	это	выражение,	получим
		дМу	дтх	-Qy	= 0.
		ду	дх	-Qy	= 0.
3.	^M1i	= Mxdy—[Mx+^dx)dy				+ medx-

— ( mV '	дт,ldyyx+^Qy	+ d ^ d y - Q y ^ +
— ( mV '	ду
+ ( Qx	+ d-^dx) dy dx-(q	+ r)dxdy^- = 0,

или с упрощением

дМх	дту	Qx	= 0.
дх	ду

Из выражений (2.15), (2.16) имеем

дМх	дт,
дх	ду
дМу	дтх
Qv = ~ +	- - •
ду	дх

Составим частные производные:

(2.15)

(2.16)

(2-18)

дх	дх2	дх	ду
dQy _д*Мѵ		дЧп*
ду	ду2	дх	ду

<<< < Предыдущая 12 / 162 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ